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高一数学寒假作业6


课时作业 6
时间:45 分钟

函数的概念
分值:100 分

一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1.下列图象中是函数图象的有( )

图1 A.3 个 C.5 个 B.4 个 D.7 个

解析:(1),(4),(5),(7)是函数图象,其他不是,在每个图中作 y 轴的平行线,随着平行线自左向右平移,当我们发现任意位置该直 线与图象最多有一个交点时,它就符合函数的定义,是函数图象;否 则不是函数图象. 答案:B 2.函数 y= 1-x+ x的定义域为( A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} )

C.{x|x≥1 或 x≤0} D.{x|0≤x≤1}
? ?1-x≥0 解析:? ?0≤x≤1. ?x≥0 ?

答案:D 3.与函数 y= -2x3为同一函数的是( A.y=x -2x C.y=- 2x3 )

B.y=-x -2x D.y=x2 -2 x

解析:函数 y= -2x3的定义域为(-∞,0],而 y= - 2x3的定义域为[0,+∞),y=x2 -2 x 的定义域为(-∞,0),

因而排除 C、D.又 y=x -2x中,x≤0,∴y≤0,即值域为(-∞, 0],这与函数 y= -2x3的值域不同,∴排除 A.故选 B. 答案:B 4. 若集合 A={x|y= x-1}, B={y|y=x2+2}, 则 A∩B=( A.(2,+∞) C.[2,+∞) B.(1,+∞) D.(0,+∞) )

解析:A={x|x≥1},B={y|y≥2} ∴A∩B=[2,+∞),故选 C. 答案:C f?2x? 5.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域 x-1 是( ) A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1)

? ?0≤2x≤2, 解析:由题意得? 解得 0≤x<1. ?x-1≠0, ?

答案:B 6. 已知函数 f(x)=- A.-1 C.-8
? ? ? ?1? ? 1 , F(x, y)=x2+y2, 则 F?f?4?,1?等于( ?? ? ? x

)

B.5 D.3
?? ? ?

?1? ? ?1? ? 解析:∵f?4?=-2,∴F?f?4?,1?=F(-2,1)=(-2)2+1=5,故

选 B. 答案:B 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7 . 已 知 f(x) = x2 - x + 2 , 则 f( 3) = __________ , f[f(3)] =
?1? __________,f?a?=__________,f(a+b)=__________. ? ?

解析:f( 3)=( 3)2- 3+2=5- 3; f(3)=32-3+2=8, ∴f[f(3)]=f(8)=82-8+2=58;
?1? 1 1 f?a?= 2-a+2; ? ? a

f(a+b)=(a+b)2-(a+b)+2. 答案:5- 3 8.函数 y= 58 1 1 - +2 a2 a (a+b)2-(a+b)+2

x+4 的定义域为________. x+2

?x+4≥0, ? 解析:由已知应有? 解得 x≥-4,且 x≠-2. ?x+2≠0. ?

所以所求定义域为[-4,-2)∪(-2,+∞).

答案:[-4,-2)∪(-2,+∞) x2 9.函数 y= 2 (x∈R)的值域是________. x +1 x2 1 解析:y= 2 =1- 2 , x +1 x +1 ∴y 的值域为[0,1). 答案:[0,1) 三、解答题(共计 40 分) 10.(10 分)求下列函数的定义域: (1)y=(x-6)0+ x-3; (2)y= 1 x + . 1-x 2x-1

? ? ?x-6≠0, ?x≠6, 解:(1)由? 解得? 即 x≥3,且 x≠6. ?x-3≥0, ?x≥3. ? ?

∴原函数的定义域为{x|x≥3,且 x≠6}.
? ?1-x≠0, 1 (2)由? 解得 x≠1,且 x≠ . 2 ?2x-1≠0, ? ? 1? ∴原函数的定义域为?x|x∈R,且x≠1,且x≠2?. ? ?

1 11.(15 分)已知 f(x)=2x+a,g(x)= (x2+3),若 g[f(x)]=x2+x 4 +1,求 a 的值. 1 解:∵f(x)=2x+a,g(x)= (x2+3), 4 1 1 ∴g[f(x)]=g(2x+a)= [(2x+a)2+3]=x2+ax+ (a2+3). 4 4 而 g[f(x)]=x2+x+1, 1 ∴x2+ax+ (a2+3)=x2+x+1. 4

?a=1, ∴?1 2 ?4?a +3?=1.
∴a=1.

? ?a=1, 得? ? 1. ?a=±

x2 12.(15 分)已知函数 f(x)= . 1+x2 1 1 (1)求 f(2)与 f( ),f(3)与 f( ); 2 3 1 (2)由(1)中求得结果, 你能发现 f(x)与 f(x)有什么关系?并证明你 的发现; 1 1 1 (3)求 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)+f( )+f( )+…+f( ). 2 3 2011 x2 解:(1)∵f(x)= , 1+x2 22 4 ∴f(2)= 2= , 1+2 5 1 ? ?2 2 1 1 f( )= = , 2 1 5 1+? ?2 2 32 9 f(3)= , 2= 1+3 10 1 ? ?2 3 1 1 f( )= = . 3 1 10 1+? ?2 3 1 (2)由(1)发现 f(x)+f(x)=1. 1 x 证明如下:f(x)+f(x)= + 1+x2
2

1 ?x ?2 1 1+?x?2

x2 1 = =1. 2+ 1+x 1+x2 12 1 (3)f(1)= 2= . 1+1 2 1 由(2)知 f(2)+f( )=1, 2 1 f(3)+f( )=1,…, 3 1 f(2011)+f( )=1, 2011 1 1 4021 ∴原式= +1+1+1+…+ 1 =2010+ = . 2 2 2
2010个


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