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全国中学生物理竞赛课件4:角标运算矢量图解运动问题


V=v1+v2
v2 V v1

V12=v1-v2
V12

v1

v2

v1

v2

若设质点A对静止参考系C的速度(绝对速度)为vAC,动参 考系B对C的速度(牵连速度)为vBC,而A对动参考系B的速度 (相对速度)为vAB,

则有 v ?v ?v

*

引入中介参照系.

同样地,位移的合成与分解为 加速度的合成与分解为

v AB ? v AC ? v BC S AC ? S AB ? S BC S AB ? S AC ? S BC a AC ? a AB ? a BC a AB ? a AC ? aBC

AC

AB

BC

注意矢量运算式中下标的规律性! * 根据实际效果分解运动. v ? v1 ? v2

当物体实际发生的运动较复杂时,我们可将其等效 为同时参与几个简单的运动,前者称作合运动,后者则 称作物体实际运动的分运动.这种双向的等效操作过程 叫运动的合成与分解,是研究复杂运动的重要方法.

运动的合成与分解遵循如下原理: ? 独立性原理 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
互不相干的,物体的任意一个分运动,都按其自身规律进行,不会 因有其它分运动的存在而发生改变.

合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个 分运动的结果,对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.

?

等时性原理

? 矢量性原理 描述运动状态的位移、速度、加速度等 物理量都是矢量,对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行
四边形定则作上述物理量的运算.

雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落,人打着伞以3 m/s的速度向 东急行,如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨,伞柄应指向 什么方向? 本例求雨相对人(伞)的速度,引入中介参照系-人 雨对地的速度(绝对速度) v雨=4 m/s 竖直向下 人 人对地的速度(牵连速度)v人=3 m/s 向东

v

雨对人的速度(相对速度)V雨对人 三速度矢量关系为

? ? ? v雨对人 ? v雨 ? v人
? ? tan
?1 v人

?

O

v雨

伞柄方向与竖直成

v雨

? tan

?1

3 ? ? 37 4

?
V雨对人

一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动,与此同时,另一质点以v2 速度从B点出发做匀速运动,如图所示,已知A、C相距l,B、C相距d,且 BC⊥AC,若要两质点相遇,v2的最小速率为多少?其方向如何?

由“两质点相遇”知A处质

C
d v2 θ v1 B

l

v AB ? v1 ? v2 ? ? ? v1 ? v AB ? v2 v2m ? v1 sin?
= d d ?l
2

点相对于B处质点的速度 ?vAB方向沿AB连线 ? ?

v1 θ

A

θ v2m v2

由几何三角形与矢量 三角形关系得:

2

v1

vAB

方向与BC成

sin

-1

d d ?l
2 2

v1

⑴关于航行时间

船对岸的速度(绝对速度) v 水对岸的速度(牵连速度)v水 船对水的速度(相对速度)v舟

渡河时间取决于船对水的速度v舟:

t?

s舟 v舟

当v舟方向垂直于河岸时,船相对于水的分运动位移S舟=d最小, 故可使渡河时间最短: d

tmin ?

v舟
v v 舟
v水

S

S舟

河岸 d v舟

v

v水

河岸

S水

水速大小不影响渡河时间!

⑵关于实际航程
为使航程最小,应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ 尽量地小! 若v舟>v水,船的实际位移为河宽d航程即最短,故 v舟的方向 v 与船的航线成 ? ? sin ?1 水 船头指向上游
若v舟<v水,船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在 船头指向上游且与实际航线垂直,与上游河岸成 ? ? cos?1 v舟 这时船的实际航程为
河岸

v舟

d?

v水

v水

v舟
河岸

v舟 d θ

v
v水

v舟

v θ v水
河岸

v

d
河岸

θ v水

v舟

当船的航程最短时,航行时间不是最短.

假定某日刮正北风,风速为u,,一运动员在 风中跑步,他对地面的速度大小是v,试问他向什么方向跑的时候, 他会感到风是从自己的正右侧吹来的?这种情况在什么条件下成 为无解?在无解的情况下,运动员向什么方向跑时,感到风与他 跑的方向所成夹角最大? 本例求相对速度,引入中介参照系-人 风对地的速度(绝对速度)u 人对地的速度(牵连速度) v 风对人的速度(相对速度)V ? ? ? ? ? 由题给条件,速度关系为 u ? V ? v 且 V ? v 当运动员朝南偏西 ? ? cos
?1

专题4-例1


? ? m θ

V

v 感到风从正右侧吹来 u

u

?

v
?1

当v>u时,无此情况!

v u 由 ? sin ? sin ?
当 ? ? 90 时 ?max
?

u ? sin v
?1

当运动员朝南偏西 cos 奔跑时感到风与他跑的方 向所成夹角最大!

u v

一只木筏离开河岸,初速度为v0 ,方向垂直于 岸,划行路线如图虚线所示,经过时间T,木筏划到路线上A处, 河水速度恒定为u,且木筏在水中划行方向不变.用作图法找到 2T、3T……时刻此木筏在航线上的确切位置.

专题4-例2

明确速度关系
木筏对岸的速度v 木筏对水的速度V,
v0 V0 O

y

A?

A??

S筏A

S筏对水
u S水T B S水T B? v0 V

方向不变
水对岸的速度u,

S水T B?? x(河岸)

大小方向不变
三速度矢量关系为

? ? ? v ?V ? u

v

某一恒力作用在以恒定速度v运动的物体上, 经过时间t,物体的速率减少一半,经过同样的时间速率又减少一 半,试求经过了3t时间后,物体的速度v3t之大小.

专题4-例3

??? ? ? ? ? ? ? ?v ? vt ? v ? vt 2 ? vt 1 ? vt 3 ? vt 2
在矢量三角形中运用 A 余弦定理:
2

明确矢量关系!

α

v vt

O

B ?v? 2 2 ? ? ? v ? ?v ? 2v ? ?v ? cos ? ? 2?

v2t

C

v3t

?v? 2 2 ? ? ? v ? ? 2?v ? ? 2v ? 2?v ? cos ? ? 4?
2 v3 t

2

D

? v ? ? 3?v ? ? 2v ? 3?v ? cos ?
2 2

7 v3 t ? v 4

从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体, 讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大. 物体做抛体运动时,只受重力作用.在落下h高度的 时间t内,速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;

专题4-例4

矢量△“面积”

??? ? ? 矢量关系: ?v ? vt ? v0

落地时速度v的大小为vt ?

2 v0 ? 2 gh

v0
θ

1 S? ? gt ? v0 cos ? 2
2 0? 2 t

h
θ

1 1 ? gx ? v0 ? vt ? sin ?? ? ? ? 2 2
v0

?

△v

v0 90 即v ? tan ?1 v ?? 当 ? ?x ? ? ? ?? 2 ? sin ?? ?v 2 ? v 2 时 ?? v0 v0 ? vt2 0 t x g max ? g

x

vt

网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回.为 使球能沿着与原轨道垂直的方向射回,球拍应以什么样的速度vP运 动?如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α,速度vP 和此法线的夹 角φ是多少?设任何时刻球拍和球都是做平动的. 关于矢量间关系的隐含条件: 1.重球拍的“重”-可以认为拍的速度vp在碰球前后保持不变; 2. 网球弹性地射回-在碰撞前后,球相对于拍的速度大小相等、 方向相反; 3. 球和拍都是做平动-球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切 向速度分量. AB OA y 在矢量三角形中: OC ? , AB ? 2 cos ?

专题4-例5

v0 故v p ? 2 cos ?

球拍速度与球拍法线方向夹角
?? ? ? ? 2? ? ? ? ?2 ?

O

?

?
vt
vt球对拍B

x

? ? ? 2?

A v0球对拍

v0

? ? vp
C

如图所示,甲、乙两船在静水中航行速度分别为 v 甲和v乙 ,两船从同一渡口向河对岸划去.已知甲船想以最短时间 过河,乙船想以最短航程过河,结果两船抵达对岸的地点恰好相同, 2 2 v乙 :v. 则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲∶t乙= 甲
起、止点相同,甲、乙合速度 方向一致,运动合成情况如示: 两船航程相同,时间应与合 速度成反比,由图
V 甲合

α

V甲

t甲 t乙

?

v乙合 v甲合

?
2

v水 sin ? v水 / sin ?

? sin 2 ?
2
V 乙合 V乙

? v乙 ? 而 sin ? ? ? ?v ? ? ? 甲? 2 t甲 ? v乙 ? 故 ?? ?v ? t乙 ? 甲 ? ?

α
V水

骑自行车的人以20 km/h 的速率向东行 驶,感到风从正北方吹来,以40 km/h 的速率向东行驶, 感到风从东北方向吹来,试求风向和风速.
人对地的速度 v人1=20 km/h ,v人2=40 km/h,方向正东 风对人的速度 v风对人1方向正南, v风对人2方向西南

风对地的速度v风?

速度矢量v风= v风对人+ v人的关系如图 由图中几何关系易得
v风 v风对人1 v人1 v人2

v风 ? 2v人1

v风对人2

? 28km/h 风向西北

从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块,一 个以速度v1竖直上抛,另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出,求 这两个石块在运动过程中,它们之间的最短距离.

一个石块对地的速度为 v1+vy 另一个石块对地的速度为 v2+vy

两者相对速度为 ??? ? ? ? ? ? ? v21 ? v2 ? v y ? v1 ? v y ? v2 ? v1

?

?

v1 l

v21
v2

? ?

以石块1为参考系,石块2的位移方向

与v21相同: 为l:

以石块1为参考系,两石块初始距离

由图 d ? l ? sin?

v1 而 sin ? ? ? v21

v1
2 v1 2 ? v2

x21

d?

v1 l
2 v1

l cos ? lv2 2h 即 ? 2 ? 另一石块落地之前 v21 v1 ? v2 g 2

这个最短距离适用于

?

2 v2

如图所示,一条船平行于平直海岸线航行,船离岸 的距离为D,船速为v0 ,一艘速率为v(v<v0 )的海上警卫小艇从港 口出发沿直线航行去拦截这条船.⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸 线的某特定点A之前出发,这点在港口后面的 v v? v ? D 处.⑵如果快艇 ⑴艇拦截到船即相遇,有艇相对 在尽可能迟的瞬时出发,它在什么时候和什么地方截住这条船? 于船的速度V方向沿AB连线 A A ? ? ? ? v0 v0 两者相对速度为 V ? v0 ? v V D v v、V夹角不会超过90°! ? ? 2 2 由速度矢量三角形得 ?1 v0 ? v B ? ? cot v 2 2 S 则 S ? D ? cot ? ? v0 ? v ? D v ⑵上述是最迟出发的临界情况! 截住船的位置在A前方 2 此时? S ? D ? csc? ? v0 ? D Dv0 相 v v0 D D ? csc? 2 t? ? v v0 ? v 2 2 2 2 V V ? v0 ? v v v0 ? v 2
2 0 2

一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1= 30°,另一次安装成倾斜角度为β2=15°,问汽车两次速度之比v1∶v2为多少时, 司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开?(冰雹相对地面是竖 直下落的)

本题题眼: 各速度的矢量关系 冰雹近、离车的速度遵守“反射定律”
第一次

第二次

? ? ? v雹对车 ? v雹 ? v1 ? ? ? v雹对车 ? v雹 ? v2

v雹离车
30
?

v1
30?
30?

由两矢量图

v雹

v1 ? v雹 ? cot 30 ? v2 ? v雹 ? cot 60
?

30?



v1 3 ? v2 1

v雹离车

15?

15?

v2
?

60 v雹

15?

敞开的旋转木马离转动轴距离为r,以角速度ω转 动,人站在木马上.下雨了,雨滴以速度v0竖直下落.试问人应该 怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨?

本题求雨相对人(伞)的速度方向,引入中介参照系-人

人具有与木马站立点相同的线速度ωr
雨对地的速度(绝对速度) v0 竖直向下 人对地的速度(牵连速度)v人=ωr 水平 雨对人的速度(相对速度)V雨对人 三速度关系为

v人
O

? ? ??? v雨对人 ? v0 ? ? r
? ? tan
?1 ? r

?
?
V雨对人

v0

伞柄方向与竖直成

v0

如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾 的照片(俯视).两列车沿直轨道分别以速度v1=50 km/h和v2= 70 km/h行驶,行驶方向如图所示.求风速 ?
观察照片,将两车之距离AB按5∶7比 例分成左、右两部分,分点C为两车相遇 处,汽雾交点为O,CO即为相遇时两车喷 出之汽被风吹后的位移,两车从相遇点C 到照片上位置历时

O v2

风速为

AB t? v1 ? v2

v1
A C

B

CO V? ? v1 ? v2 ? AB

在照片上量出AB与CO长度,代入上式得

V ? 35km/h

敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动, 重新绕上磁带.绕好后带卷的末半径r末为初半径r初的3倍.绕带的 时间为t1.要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带, 问需要多少时间?

带卷面积

? 绕薄磁带时,
ld ? ?

设磁带总长l,绕厚磁带时,由题意

2 9r初

2 ? r初

带卷面积

2r初 2? 由t1 ? ? d ? 得 5 绕多少层 ? 1 r初绕一层时间 2? t2 ? ? d /2 ?

d 2 2 l ? ? R ? r初 2

?
?

? ?

r初 r末

d

R ? 5r初



?

t2 ?

?

5 ? 1 t1

?

在听磁带录音机的录音时发觉:带轴上带卷的半 径经过时间t1=20min 减小一半.问此后半径又减小一半需要多少 时间t2 ? 与上题不同的是,放音时磁带是匀速率地通过的! 带卷半径减半历时

t1 ?

? 4r ? r
2

?

2

?

d
r/2
r

dv

通过的带长

? 2 1 2 ? 走带速度 ? ?r ? r ? 4 ? ? t2 ? dv

t1 t2 ? ? 5min 4

快艇系在湖面很大的湖的岸边.湖岸线可以认为 是直线.突然缆绳断开,风吹着快艇以恒定的速度v0=2.5 km/h沿与 湖岸成α=15°角的方向飘去.同时岸上一人从同一地点沿湖岸以 速度v1=4 km/h行走或在水中以速度v2=2 km/h游去,此人能否赶上 设人以v1速度运动时间x,以v2速度运动时间y,则有 快艇?当快艇速度为多大时总可以被此人赶上? 人赶上艇,两者位移矢量构成 闭合三角形,位移的矢量关系 v (x+y)

? ? ? v0 ? x ? y ? ? v1 x ? v2 y
2 2

0

v2y

即 ? 2 y ? ? ? 4 x ? ? ? 2.5 ? x ? y ? ? ? 2 ? 4 x ? ? 2.5 ? x ? y ? ? cos15? ? ? ? ?

v

2

v

15°

整理得

9 y 2 ? ? 50 ? 20 ?

?

6 ? 2 ? xy ? ? 89 ? 20 ? ?

?

?

6 ? 2 ? x2 ? 0 ?

?

v1x

? ? ? ?50 ? 20 ?

?

6 ? 2 ? ? 4 ? 9 ?89 ? 20 ? ?

?

2

?

6? 2 ?> 0 ?

?

此式有解,即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇!
推至 ?? 一般

?

3 ? 1 v2 ? 2

?

?

6 ? 2 v ? 16 ? 0

?

v ? 2 2 km/h

人总能赶上快艇!

? ? θ 矢量关系: ?v ? v B ? v0 v O 矢量△“面积” 1 S? ? gt ? v0 cos ? θ αB 2 其中v0 t cos ?1 ? L cos ? 1 1 2 3 L ? ? ? v0v?0 ? v0 ?sin ?? cos90? ? ? ? gL cos B ? gL ? ? ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? 1 2 2 ? v ? v ? 2 gL sin ? 2 2
0

如图所示, 在仰角 ? ? ? 的雪坡上举行跳台滑雪比 6 赛.运动员从坡上方A点开始下滑,到起跳点O时借助设备和技巧, 保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳,最后落在坡上B 点,坡上OB两点距离L为此项运动的记录.已知A点高于O点h=50 m,忽略各种阻力、摩擦,求运动员最远可跳多少米,此时起跳角 在O点起跳速度v的大小为 v0 ? 2 gh ? 10 10 m/s 为多大? 物体做抛体运动时,只受重力作 用.在发生L位移的时间t内,速度增A 量△v恒为竖直向下,大小为gt; h ???

△v

B

20 100 ? vL v 2 ? gL L? ? 当 ?? ? ? 3 ? 0即 0? ?0 ? 时 ? cos ??max? ? 200 m ? L?
0

vB

此时由

2

v0 g vB ? sin ? sin 90? ? ?

?

?

? ? 30

?

一条在湖上以恒定速度行驶的船上,有一与船固 连的竖直光滑墙壁,有一个小球沿水平方向射到墙上,相对于岸, 小球速度的大小为v1,方向与墙的法线成60°角,小球自墙反弹时 的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直.问船的速度 应满足什么条件?设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的. 设船速为v0 因为弹性碰撞,小球相对墙的入射速度与的反射速度大

小相等,速度方向 “沿着入射角与反射角”


由图知只要v0沿墙的法 线方向分量

O v1

60?

N v0

vON

v1 ? 2

A v1球对墙?

C

?v2球对墙B

v2


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