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2012年上海市高中数学竞赛试题及答案(word版)


2012 年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小
A1

题 7 分,后 4 小题每小题 8 分)
B1 A2 F2 F1

1.如图,正六边形 A B C D E F 的边长为 1,它的 6 条
1 1 1 1 1 1

对角线又围成一个正六边形

A B C
2 2

2

D 2 E 2 F2

,如此
C1

B2

E2

继续下去,则所有这些六边形的面积和 是 .

C2

D2

E1

D1

2.已知正整数 a1 , a 2 , ? , a1 0 满足: 小可能值是 .

aj ai

?

3 2

,1 ? i ? j ? 1 0 ,则 a 1 0

的最

3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?
co t ? ? co t ? ? co t ? ? ? 4 5

17 6



,
17 5

cot ? cot ?

? co t ? co t ? ? co t ? co t ? ? ?

,则
A D

tan ? ? ? ? ? ?

??

.
F

4. 已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2 lg ? x ? 1 ? 仅有一个实数 解,则实数 k 的取值范围是 .
B E

C

1

5.如图, ? A E F 是边长为 x 的正方形 A B C D 的内接三角形, 已 知
x ?
? A E F ? 90 ?



AE ? a, EF ? b, a ? b





.

6 . 方 程 2 ?3 ? 3
m n

n ?1

?2

m

? 13 的 非 负 整 数 解

?m, n? ?

.

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的, 两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相 邻两个小球的颜色均不相同的概率是 作答) 8 . 数 列
2 ? n ? 1? n?2

(用数字 .

?an?
a n ?1 ? n n?2





如 .



: 若

a 1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ?

a n , n ? 1, 2, ?

am ? 2 ?

2011 2012

,则正整数 m 的最小值为

.

二、解答题
A B 9.本题满分 14 分) ( 如图, 在平行四边形 A B C D 中, B ? x , C ?1



对角线 A C 与 B D 的夹角 ? B O C ? 45 ? ,记直线 A B 与 C D 的距离为
h(x)

. 求 h ( x ) 的表达式,并写出 x 的取值范
D C

围.
2

O A B

10 .( 本 题 满 分 14 分 ) 给 定 实 数 a ? 1 , 求 函 数
f (x) ? ( a ? sin x )( 4 ? sin x ) 1 ? sin x

的最小值.

11 .( 本 题 满 分

16

分 ) 正 实 数 x, y, z 满 足

9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证:

(1) xy ? yz ? zx ? (2)

4 3 ;

x? y? z? 2.

12. (本题满分 16 分)给定整数 n ( ? 3) ,记 f ( n ) 为集合

?1, 2, ? , 2
最小值:
(a ) (b )

n

? 1? 的满足如下两个条件的子集 A 的元素个数的

1 ? A, 2 ? 1 ? A ;
n

A

中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)

元素的和. (1)求
f (3)

的值;

(2)求证: f (1 0 0 ) ? 1 0 8 .

3

2012 年上海市高中数学竞赛答案 1、 9
3 4

2、92 4、 ? ? ? , 0 ? ? ? 4?
a
2

3、11 5、 7、 2
5
a ? (a ? b)
2 2

6、 ? 3,

0?,

? 2, 2 ?

8、 4 0 2 5

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
OB ? OC
2 2

?

1 2

( AB ? BC ) ?
2 2

1 2

( x ? 1) .
2

①………(2 分)

在 ? O B C 中,由余弦定理
BC
2

? O B ? O C ? 2 O B ? O C cos ? B O C
2 2

, ②

所以 O B 2 ? O C 2 ? 由①,②得 所以
?

2O B ? O C ? 1 ,
x ?1
2

OB ?OC ?

2 2
1 2



③………(5 分)

S ABCD ? 4 S ?OBC ? 4 ?

O B ? O C sin ? B O C

2 OB ?OC ?

x ?1
2

2


x ?1
2

故 所以

AB ? h(x) ?
2

2

, ………(10 分)

h(x) ?

x ?1 2x



2 由③可得, x ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 .

因为 O B ? O C ? 2 O B ? O C ,结合②,③可得
2 2

4

1 2

( x ? 1) ? 2 ?
2

x ?1
2

2 2


1? x ?
x ?1
2

解得(结合 x ? 1 ) 综上所述, h ( x ) ?

2 ?1.

2x

,1 ? x ?

2 ? 1 .…(14 分)

10.解

f (x) ?

( a ? sin x )( 4 ? sin x ) 1 ? sin x

? 1 ? sin x ?

3( a ? 1) 1 ? sin x

?a?2



当1 ?

a ?

7 3

时, 0 ?

3( a ? 1) ? 2 ,此时
? a ? 2 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2

f ( x ) ? 1 ? sin x ?

3( a ? 1) 1 ? sin x



且当 sin x ?

3( a ? 1) ? 1 ? ? ? ? 1, 1 ? ? 时不等式等号成立,故

f m in ( x ) ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 .

……………(6 分)

当 a?
y ?t?

7 3

时,

3( a ? 1) ? 2 , 此 时 “ 耐 克 ” 函 数

3( a ? 1) t

在 ? 0, 3( a ? 1) ? 内是递减,故此时 ?
3( a ? 1) 2 ?a?2? 5( a ? 1) 2

f m in ( x ) ? f (1) ? 2 ?



综上所述,
7 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? ; ? ? 3 f m in ( x ) ? ? 7 ? 5( a ? 1) , a ? . ? 2 3 ?

………(14 分)

5

11.证

(1)记 t ?

xy ? yz ? zx 3

,由平均不等式
3

xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx )

?

3 2

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? 3 ? ?


3

………(4 分)
2

于是 所以

4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9 t ? 3 t ,

? 3t ? 2 ? ? 3t 2

? 3t ? 2 ? ? 0 ,
? 2 3

2 而 3 t ? 3 t ? 2 ? 0 ,所以 3 t ? 2 ? 0 ,即 t



从而

xy ? yz ? zx ?

4 3 .
2

…………(10 分)

(2)又因为 ( x ? y ? z ) ? 3( xy ? yz ? zx ) , 所以 故

(x ? y ? z) ? 4 ,
2

x? y? z? 2.

…………(16 分)

12 . 解 ( 1 ) 设 集 合 A ? ?1, 2, ? , 2 ? 1? , 且
3

A

满足

( a ), ( b )

.则 1 ?

A, 7 ? A

.由于 ?1, m , 7 ? ? m ? 2, 3, ? , 6 ? 不满

足 ( b ) ,故 又

A ?3.

?1, 2, 3, 7 ? , ?1, 2, 4, 7 ? , ?1, 2, 5, 7 ? , ?1, 2, 6, 7 ? , ?1, 3, 4, 7 ? , ?1, 3, 5, 7 ? , ?1, 3, 6, 7 ? ,

?1, 4, 5, 7 ? , ?1, 4, 6, 7 ? , ?1, 5, 6, 7 ? 都不满足 ( b ) ,故
6

A ?4.

而集合 ?1, 2, 4, 6, 7 ? 满足 ( a ), ( b ) , 所以 (2)首先证明
f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 2, n ? 3, 4, ? .

f (3) ? 5 . (6 …

分)



n 事实上,若 A ? ?1, 2, ? , 2 ? 1? ,满足 ( a ), ( b ) ,且 A 的元

素个数为 f ( n ) . 令 B ? A ? ?2
n ?1

? 2, 2

n ?1

n ?1 n ? 1? , ? 2 ? 2 ?1, 由于 2

故 B ? f (n) ? 2 . 又2
n ?1

? 2 ? 2 (2 ? 1), 2
n

n ?1

? 1 ? 1 ? (2

n ?1

? 2) ,

所以,集合
B ? ?1, 2, ? , 2
n ?1

? 1?

,且 B 满足 ( a ), ( b ) .从而 ……………(10 分)

f ( n ? 1) ? B ? f ( n ) ? 2 .

其次证明:
f (2 n ) ? f ( n ) ? n ? 1, n ? 3, 4, ? .
n



事实上,设 A ? ?1, 2, ? , 2 为 f ( n ) .令

? 1?

满足 ( a ), ( b ) ,且 A 的元素个数
? 1? ,
2n

B ? A ? ? 2 ( 2 ? 1), 2 ( 2 ? 1), ? , 2 ( 2 ? 1), 2
n 2 n n n

2n

由于

2(2 ? 1) ? 2 (2 ? 1) ? ? ? 2 (2 ? 1) ? 2
n 2 n n n

?1,

2n 所以 B ? ?1, 2, ? , 2 ? 1? ,且 B ? f ( n ) ? n ? 1 .而

2

k ?1

(2 ? 1) ? 2 (2 ? 1) ? 2 (2 ? 1), k ? 0,1, ? , n ? 1 ,
n k n k n

2

2n

? 1 ? 2 (2 ? 1) ? (2 ? 1) ,
n n n

从而 B 满足 ( a ), ( b ) ,于是

7

f (2 n ) ? B ? f ( n ) ? n ? 1 .……………(14 分)
由①,②得
f (2 n ? 1) ? f ( n ) ? n ? 3 .



反复利用②,③可得
f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51

? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92

? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 .

…………(16 分)

8


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