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函数的最大值与最小值教案


§1.3 函数的最大值与最小值(第 1 课时)
泰和中学 胡常达
【教学目标】 1.使学生理解函数的最大值、最小值的概念,并能正确把握最大值、最小值与极大 值、极小值的区别与联系. 2.使学生初步掌握求函数最大值、最小值的方法与步骤. 【教学重点】最大值、最小值概念,求函数最大值、最小值的方法。 【教学难点】闭区间[a,b]上连续函数的最值定理。 【教学方法】

发现式教学法,通过引入实例,进而对实例的分析,发现并抽象出普遍规律,这一 点与上一堂完全一样。 【授课类型】新授课 【教 具】多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入: 1.求可导函数 f(x)极值的步骤: (1) 确定函数的定义域; (2)求导数 f ’(x); (3)求方程 f ’(x)=0 的根; (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格,检查 f ’(x)在方程根左右的符号 ①如果左正右负(+ ~ -) , 那么 f(x)在这个根处取得极大值 ②如果左负右正(- ~ +) , 那么 f(x)在这个根处取得极小值; 2.连续函数的最大值和最小值定理 如果 f(x)是闭区间[a , b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间 [a , b]上有最大值和最小值。

注:

我们只考虑在闭区间[a,b]上连续的, 并且在开区间(a,b)内可导的函数.如果将这一 前提条件设为“在开区间(a,b)上连续可导的函 数”,那么,会出现什么情况呢?如图图(1)中的 函数 y=f(x)在(a,b)上有最大值而无最小直;图 (2)中的函数 y=f(x)在(a,b)上有最小值而无最大 值;图(3)中的函数 y=f(x)在(a,b)上既无最大值 也无最小值;图(4)中的函数 y=f(x)在(a,b)上有 最大值也有最小值. 二、讲授新课 观察下图一个定义在区间[a,b]上的函数 f(x) 的图象 问: ①何处取得极大(小)值?能在 x=a,x=b 处 取得极大(小)值吗?②何处取得最大(小) 值?最大(小)值可以怎样定义?③一般地, 极值与最值有何区别?最值处是否一定取 得极值?极值处是否一定取得最值?④一 般地,最大(小)值可以在何处取得? 1.最值的定义:可导函数 f(x)在闭区间 [a,b]上的一切点(包括端点 a,b)处的函数 值中的最大值(最小值),叫做函数 f(x)的最 大值(最小值). 2.函数的最值与极值的区别与联系: (1)函数的最值(最大值、最小值)是整体性概念,函数的极值(极大值、极小值)是局部 性概念.
1

(2)一个函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个;而极大值、极小值可 能有两个以上. (3)可导函数的极大值、极小值不一定是最大值、最小值,但在定义区间内部(端点除 外)的最大值、最小值一定是极大值、极小值.如上图 3-15 所示,f(x1)是最小值,也是 极小值. 3.求 f(x)在[a , b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在(a , b)内的极值; (2)将 f(x)的各极值与 f(a) ,f(b)比较 ;最大的一个是最大值,最小的一个是最小 值。开区间(a , b)内连续函数 f(x)不一定有最大值与最小值 三、讲解范例 例1
'

求函数 y ? x ? 2 x ? 5 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值与最小值。
4 2 3

解: y ? 4 x ? 4 x ? 4 x( x ? 1)( x ? 1) 令 y ? 0 ,得 x ? 0, ?1, ?1 当 x 变化时,y′ 、 y 的变化情况如下表:
'

x y′ y

-2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 13 0 4 + 0 5 -

1 0 4

(1,2) +

2

13
实验室

从上表可知,最大值是 13,最小值是 4. 四、巩固练习 课本 P132 练习 五、知识拓展 例 2 求函数 f ( x) ? 5 x ? 2 x ? 3 ? 4 ? x 的值域.

?x ? 3 ? 0 得 f ( x) 的定义域为 ? ?3, 4? ?4 ? x ? 0 1 1 f '( x) ? 5 ? ? x?3 2 4? x 因为 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? ?3, 4? 上单调递增。
解:由 ? ∴ 当 x ? ?3 时, ymin ? ?15 ? 7 ;当 x ? 4 时, ymin ? 20 ? 2 7 故的值域为 ? ?15 ? 7, 20 ? 2 7 ?

?

?

六、小结及作业 1.小结

2.作业 P134 T1(1)(2)

七、板书设计(略)八、教学后记:

2


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