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3.1.1 《倾斜角与斜率》


高二数学必修 2 第三章 直线与方程

导学案

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3.1.1

《倾斜角与斜率》

【学习目标】1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素;

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,理解它们之间的关系; 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式。 【重点】直线的倾斜角和斜率的概念,过两点直线的斜率公式。 【难点】斜率概念的学习,倾斜角与斜率的关系。

预 习 案
1.倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴 与直线 l 之间 所成的角 ? 叫做直线 l 的 ;特别地,当直线与 x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角 为 ;倾斜角的范围是 。 2.平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素: 、 3.斜率: 把一条直线的倾斜角 ? 的 叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 表示, 即: 试一试:(1) ? ? 60? ,则 k ? 注:倾斜角是 90? 的直线没有斜率! 思考:(1)任何直线都有倾斜角? (2)任何直线都有斜率? 倾斜角 ? 与斜率 k 的关系: ;(2) ? ? 120? ,则 k ? ;

k (1) 当 ? ? 0 时,
?

k ; (2) 当 ? ? 0 ,90 时,
? ?

?

?

, 且 k 随 ? 的增大而 , 且 k 随 ? 的增大而

; ;

k (3) 当 ? ? 90 时,
?

k ; (4) 当 ? ? 90 ,180 时,
? ?

?

?

4.斜率的计算公式:(1)若直线经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ,则 斜率 k (2)若直线经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ,则 斜率 k 试一试:求下列两点直线的斜率. (1)(1,1),(2,4); (2)(2,3),(2,5);

(3)(3,–2),(6,–2)

探 究 案
探究点一:倾斜角与斜率的关系 例 1. 已知 A(3, 2), B(0, 1), C(0, -1), 求直线 AB、BC、CA 的斜率, 并判断其倾斜角是什么角?

y

l2 l3 x l1

针对练习:如图,图中的直线 l1、l 2、l3 、的斜率分别为 k1, k2 ,k3,则( A. k1< k2 <k3 B. k3< k1 <k2 C. k3< k2 <k1 D. k1< k3 <k2

)

高二数学必修 2 第三章 直线与方程

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探究点二:根据斜率公式求斜率 例 2. 若经过点 P(1- a ,1+ a )和 Q(3, 2 a )的直线的倾斜角为钝角,求实数 a 的取值范围.

针对练习:已知 A( x,?2), B(3,0), 且k AB ?

1 , 则x ? 2

探究点三:三点共线问题 例 3. 证明:A(1,-1)、B(-2,-7)、C(0,-3)三点共线。

小结:若 k AB ? k AC (或 k AB ? kBC , k AC ? kBC ),则 A,B,C 三点共线。 针对练习:若 A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线,则 x 的值为

巩 固 提 升
1.下列叙述中不正确的是( ). A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0 o 或 90? D.若直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan? 2.经过 A(?2,0), B(?5,3) 两点的直线的倾斜角为 3. 已知直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为 4. 若过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m 的值为 5. 已知直线 l 的倾斜角为 ? ,且 0? ? ? ? 135? ,则直线的斜率 l 的取值范围是( ) A. ? 0, ?? ?
王新敞
奎屯 新疆

B. ? ??, ???

C. ?? 1,???

D. ? ??, ?1? ??0, ???

6. 如图, ? ABC 是正三角形, ?CDE ? 30 ,求三条直线 AB 、 BC 、 AC 的斜率。
?

y

C
E A D

O

B

x


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