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2013年高三理科数学综合测试题一


2013 届高三第二学期理科数学训练题(一)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 M ? {x | x2 ? 9}, N ? {x ? z | ?3 ? x ? 3},则 M ? N ? A. ? B. {?3} C. {?3,3} D. {?3,

?2, 0,1, 2} ( ) ( )

2 2.已知命题 p : ?x ? R, x ? x ?

1 ?0 4 1 2 C. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4 2 3. 在复平面内,复数 对应的点与原点的距离是 1+i
A. ?x ? R, x ? x ?
2

1 ? 0 ,则命题 p 的否定 ? p 是 4 1 2 B. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4 1 2 D. ?x ? R, x ? x ? ? 0 4
( )

A.1

B.2

C. 2

D. 2 2

4.如图,是一个几何体的正视图(主视图) 、侧视图(左视图) 、俯 视图,正视图(主视图) 、侧视图(左视图)都是矩形,则该几何体 的体积是 ( ) A.24 B.12 C.8 D.4

2? ? ) 的图像,只需把函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图像( ) 3 6 ? ? A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 2 2 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 4 4 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a, b, c ,若∠C=120°, c = 2a ,则( ) A. a > b B. a < b C. a = b D. a , b 的大小关系不能确定
5.为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

x2 y2 7.若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1、 2, F 线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 2bx a b
的焦点分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为 A. ( )

4 17 2 5 4 C. D. 17 5 5 m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数 8.对于任意两个正整数 时, m ※ n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定义

16 17

B.

下,集合 M ? {(a, b) a ※ b ? 12, a ? N?, b ? N?} 中的元素个数是 (

)

A.10 个 B.15 个 C.16 个 D.18 个 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 9.已知 | a |=1,| b |= 2, < a, b >= 60 ? ,则 | 2a + b |= . 10.某校有高级教师 26 人,中级教师 104 人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收

?

?

? ?

? ?

入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查,已知从其他教师中共抽取 了 16 人,则该校共有教师 人. 11. 若 关 于 x 的 不 等 式 m ? x ?1? ? x2 ? x 的 解 集 为 x 1 ? x ? 2 , 则 实 数 m 的 值 为 .

?

?

12.若 x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? y ?

1 1 1 ,则 ? 的最小值是 3 x y

. ___. 结束

13. 在如下程序框图中,已知: f0 ( x) ? xe x ,则输出的是_____ 开始 输入f 0 (x )

i?0

i ? i ?1


fi ( x) = f 'i - 1 ( x)
i =2009


输出 f i (x)

(二)选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能从中选做一题. 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? sin ?? ?

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的 4?

弦长为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知: △ ABC 内接于 ? O ,点 D 在 OC 的延长 线上, AD 是 ? O 的切线,若 ?B ? 30? , AC ? 1 , 则 AD 的 长 为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , 且 | a ? b |? (I)求 cos(? ? ? ) 的值;?

?? ?

??

? ?

2 5. 5

5 (II)若 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,且 sin ? ? ? ,求 sin ? 的值. 13 2 2

17. (本小题满分 12 分) 为深入贯彻素质教育,增强学生体质,某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了 甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛。足球赛具体规则为:甲、乙、丙三支足球队进行单 循环赛(即每两个队比赛一场).共赛三场,每场比赛胜者积 3 分,负者积 0 分,没有平局. 在每一场比赛中,甲胜乙的概率为

1 1 1 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 . 3 4 3

(Ⅰ)求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲队积分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18(本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 A B C D 菱 形 , PD ? 平 面 A B C D 为 ,

PD ? AD ? 2, ?BAD ? 60? , E 、 F 分别为 BC 、 PA 的中点。
(I)求证: ED ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? DEF 的体积; (Ⅲ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值。

19. (本小题满分 14 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 3x .
3 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? e f ( x) 在 [0,2] 上是单调减函数,求实数 a 的取值范围.
x

20. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 , A 是椭圆 C 上的一点, a2 2

???? ???? ? ? 1 AF2 ? F1F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F (?1, 0) ,交 y 轴于点 M , 若 MQ ? 2 QF ,求直线 l 的斜率.

21. (本小题满分 14 分) 在数列 ?an ? , ?bn ? 中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an?1 成等差数列, bn,an?1,bn?1 成等 比数列( n ? N )
*

(Ⅰ )求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4; (Ⅱ )求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:

1 1 1 5 ? ?…? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

第二学期理科数学训练题一参考答案及评分说明
1-8:BACB CADB 9. 2 3 10.182 14. 4 3 11.2 12. 9 ? 6 2

13. f2009 ( x) ? 2009ex ? x ? ex 16.解: (I)∵ | a ? b |?

15. 3

? ?

又 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,? ∴ a ? b ? 1, ∴ 1 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 1 ? ∴ 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? ∴ cos(? ? ? ) ?

?? ?

??

?2 ? ? ?2 4 2 b 5 ,∴ a ? 2a? ? b ? , 5 5
?3 分

?2

?2

4 5

2 5
?6 分

3 5
2

(II)∵ ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,∴ 0 ? ? ? ? ? ? ,又由(1)得 cos(? ? ? ) ?
2

3 , 5
?9 分

∴ sin(? ? ? ) ?

4 5

又 sin ? ? ?

5 ,?? ? ? ? 0 13 2

∴ cos ? ?

12 13

∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ?
? 4 12 3 5 33 ? ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65

?12

17.解:(Ⅰ)设甲队获第一且丙队获第二为事件 A,则 p? A? ? (Ⅱ) ? 可能取值为 0、3、6, 则甲两场皆输:

1 1 ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? . ??3 分 3 4 ? 3 ? 18
????4 分 ????5 分 ????6 分 ????8 分

? 1 ?? 1 ? 1 P?? ? 0? ? ?1 ? ??1 ? ? ? . ? 3 ?? 4 ? 2 1 ? 1? ? 1? 1 5 甲两场只胜一场: p?? ? 3? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? 4 ? ? 3 ? 4 12 1 1 1 甲两场皆胜: p?? ? 6 ? ? ? ? . 3 4 12

? ? 的分布列为:

?
P

0

3

6

1 2

5 12

1 12
???10 分

E? ? 0?

1 5 1 7 ? 3? ? 6 ? ? . 2 12 12 4

??12 分

18、证明: (I)连结 BD,由已知得 BD=2, 在正三角形 BCD 中,BE=EC, ? DE ? BC ,又 AD // BC ,

? DE ? AD ???? 2 分 又 PD ? 平面 ABCD , ? PD ? DE , ????3 分 AD ? PD ? D , ? DE ? 平面 PAD。 ????4 分 1 1 1 2 (Ⅱ)? S ?PDF ? ? S ?PDA ? ? ? 2 ? 1 , 2 2 2
且 DE ? 3 , ?? 5 分

1 1 3 ?VP ? DEF ? VE ? PDF ? ? S?PDF ? DE ? ?1? 3 ? 3 3 3
?? 8 分 (Ⅲ)证法一:如图建立空间直角坐标系 D ? AEP , 则由(I)知平面 PAD 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0)

??

? B(1, 3,0), C(?1, 3,0), P(0,0, 2) , ??? ? ??? ? ?CB ? (2,0,0), PB ? (1, 3, ?2) ?? ? 设平面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ?? ??? ? ? x?0 ?n2 ? CB ? 0 ? ? ? 由 ??? ??? ,? ? ? ? 3 y ?n2 ? PB ? 0 ? z ? ? ? 2 ?? ? 取 y ? 2 得 n2 ? (0, 2, 3) ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 2 7 ? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? ? 7 n1 ? n2 1? 7

????11 分 ????13 分

? 平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为 ? 平面 PAD ? 平面 PDE 又 BC ? DE, BC ? PD ? BC ? 平面 PDE, 又? BC ? 平面 PBC ? 平面 PBC ? 平面 PDE

证法二:由(I)知 DE ? 平面 PAD, DE ? 平面 PDE ,

2 7 7

????14 分

????9 分

? ? DPE 就是平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角

????10 分 ????12 分

3 ? 在 Rt?PDE 中, PE ? 22 ? ? 22 ? 7 4
2 19.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2) .

? c o s? P E ? D

2 7

2 7 ??14 分 ? 7

?????2 分

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,所以 f ?(2) ? 0 ,即 6(2a ? 2) ? 0 ,4 分 所以 a ? 1 .经检验,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点. 即 a ? 1 .??6 分
' x 3 2 2 (Ⅱ)由题设, g ( x) ? e (ax ? 3x ? 3ax ? 6x) ,又 e ? 0 ,
x

所以, ?x ? (0, 2] , ax ? 3x ? 3ax ? 6 x ? 0 ,??????7 分
3 2 2

这等价于,不等式 a ? 令 h( x ) ?

3x 2 ? 6 x 3x ? 6 ? 对 x ? (0, 2] 恒成立.??????9 分 x3 ? 3x 2 x 2 ? 3x

3x ? 6 ( x ? (0, 2] ) , x 2 ? 3x
??????11 分

3( x 2 ? 4 x ? 6) 3[( x ? 2)2 ? 2] 则 h ( x) ? ? ?? ?0, ( x 2 ? 3x) 2 ( x 2 ? 3 x) 2
'

( 所以 h( x) 在区间 0, 2] 上是减函数,
所以 h( x) 的最小值为 h (2) ? 所以 a ?

6 . 5

??????13 分 ???????14 分

6 6 .即实数 a 的取值范围为 (??, ] . 5 5

2 2 20.解: (1)由题设知 F1 (? a ? 2, 0), F2 ( a ? 2, 0), 其中a ?

2
2

由于 AF2 ? F F2 ? 0 ,则有 AF2 ? F F2 ,所以点 A 的坐标为 ( a ? 2, ? ) 1 1 故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?
x

2 a

?2 分

1 ? ) a a ?2 a
2

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 ? 2 ???????4 分 a2 ?1
解得: a ? 2

又 OF1 ?

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 2 ? a ?2 a2 ?1 3

所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ???????6 分 4 2

(2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线斜率为 k ???????7 分 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0, k ) 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 Q 、 F 、 M 三点共线,且 MQ ? 2 QF

???? ?

??? ?

2 ? x1 ? ? ? x1 ? ?2 ? ? 3 根据题意得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) ,解得 ? 或? y1 ? ? k ? k ? y ? ? 1 3 ?

???10 分

(?2) 2 (?k ) 2 ? ? 1或 又 Q 在椭圆 C 上,故 4 2

2 k (? ) 2 ( ) 2 3 ? 3 ? 1 ???????12 分 4 2

解得 k ? 0, k ? ?4 ,综上,直线 l 的斜率为 0 或 ? 4 ???????14 分

21.解: (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an?1 an?1 ? bnbn?1 , 2 由此可得 a2 ? 6 b2 ? 9 a3 ? 12 b3 ? 16 a4 ? 20 b4 ? 25 .???? 4 分 , , , , , 猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1)2 . 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即 ???5 分

ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1)2 ,
那么当 n=k+1 时,

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ?
所以当 n=k+1 时,结论也成立.

2 ak ?2 ? (k ? 2) 2 . bk

由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn (n ?1)2 对一切正整数都成立.????9 分 (Ⅱ)

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n .????11 分 故

1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ? …? ? ? ? ? ? …? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?
1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ?1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????14 分 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

?


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