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空间向量法解决立体几何问题


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空间向量与立体几何

姓名

知识点归纳 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行 2 垂直转化 线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直
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直线与平面的平行和垂直关系的证明思路
a b c
a // c ? ? ? a // b b // c ?

线 线 平 行

?
?

a b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ? ? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ? a // ?

? a

?

a b

线 面 平 行

?

? // ? ? ? ? a // ? a ? ??
a, b ? ?

? ? o a a ? b ? O ? ? ? // ? ? b ? a // ? , b // ? ? ?

面 面 平 行

?
?

?

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

b a

b a
a // ? ? ? ? a // b b // ? ?

?
a // b ? ? ? b // ? a // ? ?

a ? ? // ? ? ? ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ?a // b ? ? b a, b ? ? ? b a a?b ?O ? ? ? o ? ? ? // ? a' a' , b' ? ? ? b' ? a // a' , b // b'? ?

?
?
a ??? ? ? ? // ? a ? ??

a ? ? // ? ? ??a?? a ? ??

?

P A a ? O PA ? ? 于A,
PO斜交? 于A, a ? ?. a ? OA ? a ? PO

线 线 垂 直
? b

m, n ? ? ? ? m?n ? G ? ? a ?? m n ? G a ? m, a ? n? ?

a

a

?b

a ??? ?? a?b b ? ??

线 面 垂 直

? ? ?, ? ? ? a ? ? ? ? b ??a ? ? b ? a ? ? , a ? b? ?
a

?

a ? ?? ??? ? ? ? a ? ??

面 面 垂 直

? ?a ? b ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? a ? ? ?b ? c c O ? ? a ? ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ? ?c ? a
知识梳理 1.空间直角坐标系:

? b

? a ? b ? c ? O ? ?? ? ? ? ? a ? b, b ? c ? ? ? ? ? ? c ? ?? ? ? aO ? c?a ? ?

在空间选定一点 O 引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们 称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平 面, yOz 平面, zOx 平面; 作空间直角坐标系 O ? xyz 时,一般使 ?xOy ? 135 (或 45 ) , ?yOz ? 90 ; 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正方向,

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称这个坐标系为右手直角坐标系。规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系. 2.空间直角坐标系中的坐标: 如图给定空间直角坐标系 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组

( x, y, z ) 叫 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,
记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. 3.空间两点间距离 若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? 特别地,A到原点的距离 AO ? (2)夹角公式: cos a ? b ?
2

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2
2 2

x1 ? y1 ? z1

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

空间向量法解决立体几何问题 一、引入两个重要空间向量 1、直线的方向向量; 2、平面的法向量。 二、立体几何问题的类型及解法 1、判断直线、平面间的位置关系; (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。 一.引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量: 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 如图 1,在空间直角坐标系中,由 A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2)确定的直线 AB 的方向向量是

AB ? (x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1)
2.平面的法向量 如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面α ,称这个向量垂 直于平面α ,记作 n⊥α ,这时向量 n 叫做平面α 的法向量

z

B y

A x

在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图 2,设 a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α 内的两个不共 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a 且 n⊥b,则 n⊥α .换句话说,若 n·a = 0 且 n·b = 0,则 n ⊥ α

求平面的法向量的坐标的步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组

? x1 x ? y1 y ? z1z ? 0 ? ? x2 x ? y2 y ? z2 z ? 0

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第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y. 第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标. 例 1 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是面 AC 的中心,求面 OA1D1 的法向量

练习: 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1, D1 中, E,F 分别为棱 AB,BC 的中点, 试在棱 BB 上找一点 M,使得 D1M ? 平面 EFB1

二.立体几何问题的类型及解法 1.判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线 a,b 的方向向量分别为 a ,b. ①若 a∥b,即 a=λ b,则 a∥b.②若 a⊥b,即 a·b = 0,则 a⊥b
a

a b
b

(2)直线与平面的位置关系 直线 L 的方向向量为 a,平面α 的法向量为 n,且 L 不在α .内 ①若 a∥n,即 a =λ n, 则 L⊥ α ②若 a⊥n,即 a·n = 0,则 a ∥ α .

n

a L

L

n

a

例 3 棱长都等于 2 的正三棱柱 ABC-A1B1C1,,D,E 分别是 AC,CC1 的中点,求证: (I)A1E ⊥平面 DBC1; (II)AB1 ∥ 平面 DBC1

练习:1:两个边长为 1 的正方形 ABCD 与正方形 ABEF 相交与 AB, ?EBC ? 90 .M,N 分别为 BD,AE 上的点,
0

且 AN=DM,(1)求证:MN//平面 EBC; (2)求 MN 长度的最小值

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2:在正方体 ABCD-A1B1C1, D1 中,O 为 AC 和 BD 的交点,G 为 CC1 的中点,求证:A1O ? 平面 GBD

3. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 BB 1 , CD 的中点,求证 D1 F ? 平面 ADE .

(3)平面与平面的位置关系 平面α 的法向量为 n1 ,平面β 的法向量为 n2 ①若 n1∥n2,即 n1=λ n2,则α ∥β ②若 n1⊥n2,即 n1 ·n2= 0,则α ⊥β 例 4 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,求证:面 AED⊥面 A1FD

练习:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,CC1=2,求证:平面 A1BC1//平面 ABD1

2.求空间中的角 (1)两异面直线的夹角: 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量 ,则两方向向 量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了 例 5 如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则对角线 DB1 与 CM 所成角的余弦值为_____. 练习: 1: 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1=AB=AC,AB ? AC,M 为 CC1 的中点, Q 为 BC 的中点, 点 P 在 A1B1 上,求直线 PQ 与直线 AM 所成的角

2:棱长均相等的四面体 A—BCD 中,E, F 分别是棱 AD,BC 的中点,连结 AF, CE 所成的角

(2)直线与与平面所成的角 若 n 是平面α 的法向量, a 是直线 L 的方向向量,则 L 与α 所成的角θ =

?
2

? <a,n>或θ = <a,n> ?

?
2

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例 6 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a,高为

2a ,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角

练习:1:正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,C1D1 的中点,求 A1B1 与平面 A1EF 所成的角

2:在三棱锥 P—OCB 中,PO ? 平面 OCB,OB ? OC,OB=OC= 2 ,PC=4,D 为 PC 的中点,求 OD 与平面 PBC 所成的角

3.求解空间中的距离 (1)异面直线间的距离 (2)点到平面的距离 A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 AB 及垂线 AH.

| AH |?| AB | ? sin ? ?| AB | ? | cos ? AB, n ?| = | AB | ? | AB ? n | | AB | ? | n |
=

A n
B H

| AB ? n | |n|

例 9 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=

,AC=BC=1,∠ACB=90°,求 B1 到面 A1BC 的距离. 2

练习:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,CC1=2, 求证: (1)平面 A1BC1 和平面 ABD1 的距离 (2)求 B1 到平面 A1BC1 的距离

例 10 四棱锥 P-ABCD 的底面 ACBD 是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱 PA⊥底面 AC 且 PA= 4,E 是 PA 的中点, 求 PC 与平面 BED 间的距离.

基础训练: 1. ( 2009 广 东 ) 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

2、 (2009 浙江)设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

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3(09 山东)已知α β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4 设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? / / ? , ? / /? ,则 ? / /? ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? 其中真命题的序号是 ( A.①④ B.②③ ) C.②④ D.①③ ② 若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ④ 若 m / / n, n ? ? ,则 m / /?

5(2011 四川).l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A)l1⊥l2, l2⊥l3 ? l1∥l3 (C)l1∥l2 ∥l3 ? l1,l2,l3 共面 (B) l1⊥l2, l2∥l3 ? l1⊥l3 (D) l1,l2,l3 共点 ? l1,l2,l3 共面

6(2011 重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

7.(2011 北京)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, 动点 E、F 在棱 A1B1 上。点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x, A1 E=y(x,y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积: (A)与 x,y 都有关; (C)与 x 有关,与 y 无关; (B)与 x,y 都无关;
[来源:学科网 ZXXK]

(D)与 y 有关,与 x 无关;

8(2011 北京)如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE;

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9 (2011 山东文) 如图, 在四棱台 ABCD-A1B2C3D4 中, D1D⊥平面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD,AD=A1B1, ∠ BAD= 60 ? , (Ⅰ)证明:AA1⊥ BD; (Ⅱ)证明:CC1∥平面 A1BD

10 ( 2011 全 国 文 ) 如 图 , 四 棱 锥 S ? A B C D 中 , AB // CD , BC ? CD , 侧 面 SAB 为 等 边 三 角 形 ,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.(1)证明: SD ? 平面 SAB (2)求 AB 与平面 SBC 所成的角

s

D

C

A
?DAB ? 600 ,AB=2AD,PD ? 平面 ABCD
求棱锥 D—PBC 的高

B

11. ( 2011 河 南 文 ) 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , (1)求证:PA ? BD ; (2) 设 PD=AD=1,

P

D A B

C

12(2011 重庆)如题(20)图,四棱锥 P--ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ? 底面 ABCD,

PA ? AB ? 2 点 E 是棱 PB 的中点,
(Ⅰ)证明:AE 平面 PBC (Ⅱ)若 AD=1,求三棱锥 P ? CDE 的体积

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PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? BC , AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° , 13 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明 CD ? AE ; (Ⅱ)证明 PD ? 平面 ABE ;

P

E
A B
D

C

14 在正三棱锥 ABC-A1B1C1 中, AB1 ? BC1 ,求证: BC1 ? AC 1 .

15 如图 7-31, 已知矩形 ABCD, AB=2AD=2a,E 是 CD 边的中点, 以 AE 为棱, 将△DAE 向上折起, 将 D 变到 D′ 的位置,使面 D′AE 与面 ABCE 成直二面角(图 7-32) 。 (1)求直线 D′B 与平面 ABCE 所成的角的正切值; (2)求证:AD′⊥BE; (3)求四棱锥 D′—ABCE 的体积; (4)求异面直线 AD′与 BC 所成的角。


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