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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第2章 函数、导数及其应用-5


第二章
函数、导数及其应用

第五节

指数与指数函数

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.根式 (1)根式的概念. 根式的概念 1 ________,那 如果□ 么x叫做a的n次方根 符号表示 备注 n>1且n∈N*

根式的概念 当n是奇数时,正数的n次方根是一个 2 □ 3 ______,负数的n次方根是一个 □

符号表示

备注 零的n次

n

a

方根是零

________ 当n是偶函数时,正数的n次方程有 5 ________ ______,这两个数互为□ 4 □ n 负数没有 ± a(a> 偶次方根 0)

(2)两个重要公式. ? 6 ?n为奇数? ?□ n n ? ? 7 ① a =? ?a≥0? ?□ ?|a|=? ? ? 8 □ ?a<0? ? ? n
n

?n为偶数?

n 9 ②( a) =□________(注意a必须使 a)有意义.

2.有理数的指数幂 (1)幂的有关概念. ①正分数指数幂:a 1); ②负分数指数幂:a
- m n m n

10 ____(a>0,m、n∈N*,且n> =□

11 ________= □ 12 __________(a> =□

0,m、n∈N*,且n>1).

13 ________,0的负分数指数幂 □ 14 ③0的正分数指数幂等于 □ ________. (2)有理数指数幂的性质. 15 ____________________(a>0,r,s∈Q); ①aras=□ 16 ____________________(a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=□ 17 ________________(a>0,b>0,r∈Q). ③(ab)r=□

3.指数函数的图像与性质 y=ax a>1 0<a<1

图像

1 xn=a 答案:□ 6 a □ 7 a □

2 正数 □ 3 负数 □ 4 两个 □ 5 相反数 □ 9 a □ 10 □ n a
m

8 -a □

1 11 □ m an

12 □

1 n am

13 0 □ 14 无意义 □ 15 ar □ y>1

+s

16 ars □ 17 arbr □ 18 (0,1) □ 19 □

20 0<y<1 □ 21 0<y<1 □ 22 y>1 □ 23 增函数 □

24 减函数 □

1 个关系——分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的, 分数指数幂与根式可以 互化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.

2 个注意点——应用指数函数性质时应注意的两点 (1)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质跟 a 的取值有关, 要特别注意应分 a>1 与 0<a<1 来研究. (2)对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0(≤0)的指数方程 或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的取值范 围.

3 个关键点——指数函数图像的画法 画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像,应抓住三个关键点:
? 1? (1,a),(0,1),?-1,a?. ? ?

1.化简[(-2) ] A.-9

6

1 2

-(-1)0 的结果为( C.-10

) D.9

B.7
6
1 2

解析:原式=(2 )

-1=7.

答案:B

2.函数f(x)= 1-2x的定义域是( A.(-∞,0] C.(-∞,0) B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

)

解析:∵1-2x≥0,∴2x≤1,∴x≤0. 答案:A

3.已知函数f(x)=4+ax 1的图像恒过定点P,则点P的坐标是


(

) A.(1,5) C.(0,4) B.(1,4) D.(4,0)

解析:当x=1时,f(x)=5. 答案:A

4.若函数y=(a2-3a+3)· ax是指数函数,则实数a的值为 __________.
解析:∵a2-3a+3=1,∴a=2或a=1(舍).

答案:2

5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是__________.
解析:由题意知0<a2-1<1,即1<a2<2, 得- 2<a<-1或1<a< 2.

答案:(- 2,-1)∪(1, 2)

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一 【例 1】 求值与化简:

指数幂的化简与求值

解析:

?名师点拨 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数 是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运 用指数幂的运算性质来解答.

通关特训 1

?2? 解析:原式=?3? ? ?

1 3

× 1+2 × 2

3 4

1 4

?2? -?3? ? ?

1 3

=2.

答案:2

考点二

指数函数的图像及其应用

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2x-2,则函数 y=|f(x)|的图像可能 是( )

A

B

C

D

(2)设 f(x)=|3x-1|,c<b<a,且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式 中一定成立的是( A.3c>3a C.3c+3a>2 ) B.3c>3b D.3c+3a<2

把x轴下方 解析:(1)y=2 ――→ y=2 -2 ――→ y= |f(x)|,故选 2个单位 的部分翻折上去
x

x 向下平移

B. (2)画出 f(x)=|3x-1|的图像如下图:

要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立, 则有 c<0 且 a>0.由 y=3x 的图 像可得 0<3c<1<3a, ∵f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,f(c)>f(a), ∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2.
答案:(1)B (2)D

?名师点拨 指数函数图像的应用 (1)与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数 的图像,通过平移、对称变换得到其图像. (2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型 函数图像数形结合求解.

通关特训 2 已知实数 a,b 满足等式 2 011a=2 012b,下列五 个关系式:① 0< b< a;② a< b<0;③0 <a < b;④b< a< 0;⑤ a =b.其中不可能成立的关系式有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 )

解析:设 2 011a=2 012b=t,如图所示,由函数图像,可得 (1)若 t>1,则有 a>b>0; (2)若 t=1,则有 a=b=0; (3)若 0<t<1,则有 a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立.
答案:B

考点三

指数函数的性质及其应用
1.2

【例 3】 (1)已知 a=2 的大小关系为( A.c<b<a C.b<a<c )

?1?-0.8 ,b=? ? ,c=2log52,则 ?2?

a,b,c

B.c<a<b D.b<c<a

(2) 设偶函数 f(x) 满足 f(x) = 2x - 4(x≥0) ,则 {x|f (x - 2) > 0} = ( ) A. {x|x<-2,或 x>4} C.{x|x<0,或 x>6} B.{x|x<0,或 x>4} D.{x|x<-2,或 x>2}

解析:(1)∵a=2 ∴a>b>1.

1.2

?1?- ,b=? ? 0.8=20.8, ?2?

又∵c=2log52=log54<1, ∴a>b>c. (2)f(x)为偶函数, 当 x<0 时,f(x)=f(-x)=2-x-4.
?2x-4,x≥0, ? ∴f(x)=? -x ? ?2 -4,x<0.

当 f(x-2)>0 时,
?x-2≥0, ? 有? x-2 ? ?2 -4>0, ?x-2<0, ? 或? -x+2 ? -4>0, ?2

解得 x>4 或 x<0.
答案:(1)A (2)B

? 名师点拨 略

指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策

(1)比较大小问题. 常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用 指数函数的单调性,要特别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进 行分类讨论. (3)指数型函数中参数的取值范围问题.在解决涉及指数函数的 单调性或最值问题时,应注意对底数 a 的分类讨论.

通关特训 3 大小关系为( A.a>b>c C.c>a>b )

(1)设 a=4 ,b=8

0.8

0.46

?1?- ,c=? ? 1.2,则 ?2?

a,b,c 的

B.b>a>c D.c>b>a 1 1 则不等式- ≤f(x)≤ 的解集 3 3

?1 ?x ,x<0, (2) 若函数 f(x) =?? ? 1 ?? ?x,x≥0, ??3? 为( )

A.[-1,2)∪[3,+∞) B.(-∞,-3]∪[1,+∞)
?3 ? C.?2,+∞? ? ?

D.(1, 3]∪[3,+∞) (3)设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值 是 14,则 a 的值为__________.

解析:(1)∵a=4 =2 ,b=8

0.8

1.6

0.46

=2

1.38

?1?-1.2 ,c=?2? =21.2,又∵ ? ?

1.6>1.38>1.2,∴21.6>21.38>21.2.即 a>b>c,故选 A. ?1 ?x ,x<0, (2)函数 f(x)=?? ? ??1?x,x≥0 ??3? 1 和函数 g(x)=± 的图像如图所示, 3

从图像上可以看出不等式的解集是两

个无限区间.当 x<0 时,是区间(-∞,-3],当 x≥0 时,是 1 1 区间[1,+∞),故不等式- ≤f(x)≤ 的解集为(-∞,-3]∪[1,+ 3 3 ∞),故选 B. (3)令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). ①当 0<a<1 时, x∈[-1,1],t=a 此时
x

? 1? ∈?a, ?, a? ?

? 1? f(t)在?a, ?上为增函数. a? ?

所以

?1? ?1 ? f(t)max=f? ?=? +1?2-2=14. ?a? ?a ?

?1 ? 所以? +1?2=16, ?a ?

1 1 即 a=-5或 a=3. 1 又因为 a>0,所以 a=3. ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a 此时
?1 ? f(t)在?a,a?上是增函数. ? ?
x

?1 ? ∈?a,a?, ? ?

所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 所以(a+1)2=16, 即 a=-5 或 a=3, 又因为 a>1,所以 a=3. 1 综上得 a=3或 a=3.
1 答案:(1)A (2)B (3)3或 3

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