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高考三角函数和解三角形经典习题


1. 已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2?

A.

?

4 5
0?? ?

3 B. 5 ?

3 C. 5

4 D. 5

?

2. 已

知 A.

3 ? 3 3 5 ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? ,sin( ? ? ? ) ? 4 4 4 5 4 13 , sin(? ? ? ) 的值是
C.

9 65

B.

16 65

56 65

D.

49 65

3. 已知θ 是第三象限角,若 sin4θ +cos4θ =

5 ,那么 sin2θ 等于( 9
D.-



A.

2 2 3

B.-

2 2 3

C.

2 3

2 3

1 3 y ? sin2x ? 3cos 2 x ? 2 2 的最小正周期等于( 4. 函数

)

?A? π

? B? 2π

? C?

π 4

? D?

π 2

?? 4? ? 5. 设ω >0,将函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 2 的图象向右平移 个单位后与原图像 3 3? ?
重合,则ω 的最小值应该是 2 4 3 A. B. C. D. 3 3 3 2 π? ? 6. 为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象 3? ?
5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6

A.向左平移

5π 个长度单位 学 12 5π D.向右平移 个长度单位 学 6

B.向右平移

?? ? 7. 已知函数 f ? x ? ? A tan(? x ? ? ), ? ? ? 1, ? ? ? ,y=f(x)的部分图像如图所示, 2? ?
则 f(

?
24

) 等于

A. 2 ? 3

B.

3

C.

3 3

D. 2 ? 3 ) D.

8. 在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A.
1: 2 : 3

B.

3 : 2 :1

C.

1: 3 : 2

2 : 3 :1


9. 在△ABC 中, lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 , 若 则△ABC 的形状是 (

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 10. ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________.

A.

15 3 17 3 19 3 21 3 B. C. D. 4 4 4 4

11. 若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值是 学 A. ?1 B. 2
1 C. ? ? 2 2 1 D. ? 2 2 学科

12. 若三角函数 f(x)的部分图象如图,则函数 f(x)的解析式,以及 S=f(1) +f(2)+…+f(2012)的值分别为( )

1 ?x ? 1, S ? 2012 A. f ? x ? ? sin 2 2

1 ?x ? 1, S ? 2012 B. f ? x ? ? cos 2 2 1 ?x ? 1, S ? 2012.5 C. f ? x ? ? sin 2 2 1 ?x ? 1, S ? 2012.5 D. f ? x ? ? cos 2 2 13. 函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(



14. 函数 y=cos(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )为奇函数, 该函数的部分图象如图 所示,A、B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为 2 2,则该函数的 一条对称轴方程为( )

A. x=

2 π

B.x=

π 2

C.x=1

D.x=2

? ? 15. 函数 f ( x) ? sin 4 ( x ? ) ? sin 4 ( x ? ) 是() 4 4
A.周期为π 的奇函数 C.周期为 2π 的奇函数 B.周期为π 的偶函数 D. 周期为 2π 的偶函数

答案解析
2 2 1. 由题意知, tan ? ? 2 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,将其带入 sin ? ? cos ? ? 1 ,可得到

cos 2 ? ?

1 3 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? . 5, 5 答案选 B。
3? 3? ? ? ? ? ? 3 ?? ? ?? ? ? , ? ? ? ? ? 0. cos( ? ? ) ? sin(? ? ) ? 4 , 4 4 2 4 4 4 5

2. ?

?
4

?? ?

? 4 ? ? ,? cos(? ? ) ? ? 2 4 4 5 3? 5 3? 3? ? sin( ? ? ) ? , ? ? ? ??, 4 13 4 4 3? 12 ? cos( ? ? ) ? ? . 4 13 ? 3? ? sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ? ? ) 4 4 ? 3? 3? ? ? ?[sin(? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) cos ? ? ] 4 4 4 4 56 ? 65
? ?? ?
故答案选 C。

?

?

3. 将原式配方得(sin2θ +cos2θ )2-2sin2θ cos2θ =

5 1 2 5 8 2 ,1 ? sin 2? ? ,sin 2? ? 2 9 9 9
3? 2

由已知知道θ 在第三象限,故 2kπ +π <θ <2kπ +

从而 4kπ +2π <2θ <4kπ +3π 故 2θ 在第一、二象限,所以 sin2θ =

2 2 ,故应选 A. 3

4. 把原式化为 y=Asin(ω x+φ )的形式再求解.
1 3 y ? sin2x ? 3cos 2 x ? 2 2

1 1 ? cos2x 3 ? sin2x ? 3 ? ? 2 2 2 1 3 ? sin2x ? cos2x 2 2 ? sin(2x ? ), 3
∴最小正周期 T=π 。应选 A

?

?? 4? ? 5. 将 y ? sin ? ? x ? ? ? 2 的 图 像 向 右 平 移 3 3? ?
? ? 4? y ? sin ? ? ? x ? 3 ? ?

个 单 位 得 到

? 4? x ? 4? x ? ?? ? ? ? ? ? 2 ? sin ? ? x ? ? ? ? 2 , 所 以 3 =2k π , 3 3 ? ? 3? ?

??

3k 3k 3 ,又? ? ? 0 ,所以 k>=1, ? ? 2 ? 2 ,故应该选 C。 2

6. 看 清 题 意 , 先 统 一 函 数 名 称 , 再 根 据 图 像 平 移 的 法 则 解 决 问 题 。 函 数
π? ? ?? 5? ? ? ? ? ? 5? ? y ? cos ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 3? 3 2? 6 ? ? ? ? ? 12 ?
故要将函数 y ? sin 2 的图象向左平移 x

? , 所以ω =2, 函数的解析式为 f ( x) ? tan(2 x ? ? ) , 2 ? ? 图像过(0,1)点,tanφ =1,φ = ,所以 f ( x) ? tan(2 x ? ) , 4 4 ? ? ? f ( ) ? tan(2 ? ? ) = 3 24 24 4 8. 根据题意,三角形内角和为π
7. 由题意看图可知, A=1, T=
A?

5π 个长度单位,选择答案 A. 学科 12

?
6

,B?

?
3

,C ?

?

1 , a : b : c ? sin A : sinB : sin ? C 2 2

3 2 : :? 2 2

,所以答 1: 3 : 2

案选 C
lg sin A sin A ? lg 2, ? 2, sin ? A cosB sin C cos sin B C
cos C?

9.

2 cos C B sin ,
B B cos C? sin( ? C )? 0, ? C,所 B sin 0,

sin( ? C )? 2 cos sin , sin B B C B

以三角形为等腰三角形,故答案选 D。 10. 由正弦定理,有sinB=sinC,即sin120° sinC,所以 sinC= =
= 1-sin2C= AC AB 7 5 5sin120° 5 3 = ,所以 cosC 7 14

5 3?2 11 1-? = ,又因为 A+B+C=180° ,所以 A+C=60° ,所以 ? 14 ? 14 3 11 1 5 3 3 3 1 × - × = ,所以 S△ABC= 2 14 2 14 14 2

si nA=sin(60° -C)=sin60° cosC-cos60° sinC= 1 3 3 15 3 AB· ACsinA= ×5×7× = . 2 14 4

11. 由 0 ? x ?


?
3

,令 t ? sin x ? cosx ?

2 sin( ? x

?
4

而 ),

? ? 7 ? x ? ? ? ,得 1 ? t ? 2 . 4 4 12

t 2 ? 1 ? 2 sinx cos , 得 sin x cos ? x x

t 2 ?1 t 2 ?1 1 ? (t ? 1)2 ? 1 , 有 ,得 y ? t ? 2 2 2

( 2)2 ? 1 1 1? 0 ? y ? 2 ? ? 2 ? .∴ 答案选 D. 2 2

12. 设 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b,( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? )
A? 1.5 ? 0.5 1 2? ? , 最 小 正 周 期 T ?4? 2 2 ? 1 f (0) ? sin ? ? 1 ? 1,sin ? ? 0,? 0 ? ? ? ? ,?? ? 0. 2

, 由 图 像 得 到 , A= , ??

?
2

, b=1 ;

3 1 ? x ? ? 1 , f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? ? 1+ +1=4 ,因为 T=4, 2 2 ? f ( x) 是以 4 为周期的函数,所以,S= f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?+ f (2012)=503 ?4=2012 ,
故答案选 A。

1 ?? f ( x) ? sin ? 2 ?2

13. 由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非偶函数,选项 A、D 为
奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数,故答案选 C。

14. 函数 f ( x) ? y ? cos(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的最大值为 1,最小值为-1,所以函数
T= 2

?2 2 ?

2

? (1 ? (?1))2 ? 4 , ? ?

?
2

, 又因为函数是奇函数,f (0) ? cos(? ) ? 0 ,

0 ?? ?? ,? ?

?
2

,所以 f ( x) ? y ? cos(

?

x ? ) ? ? sin( x) ,正弦函数对称轴 2 2 2

?

?

?
2

x ? k? ?

?
2

,所以 x=1 是该函数的一条对称轴。

15. 因为
f ( x) ? sin 4 ( x ? ) ? sin 4 ( x ? ) ? cos 4 ( x ? ) ? sin 4 ( x ? ) ? cos 2( x ? ) ? sin 2 x 4 4 4 4 4 所以答案应该选 A

?

?

?

?

?


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