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2012届高三数学一轮复习:数列练习题2


第6章
一、选择题

第2节

a 1.(2010· 宁夏)一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则b等于( 1 A.4 1 C.3 [答案] C
?2x=a+b ? x 3 [解析] ? ,∴a=2,b=2x. ? 2b = x + 2x ?

)

1 B.2 2 D.

3

a 1 ∴b=3. 2.(文)(2010· 茂名市模考)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= 4 A.5 1 C.20 [答案] A [解析] ∵an= 1 1 1 =n- , + n+1 1 B.5 5 D.6 1 ,则 S4 等于( + )

∴S4=a1+a2+a3+a4

? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? 4 = 1-2 + 2-3 + 3-4 + 4-5 =5,故选 A. ? ? ? ? ? ? ? ?
(理)已知等差列{an}共有 2008 项, 所有项的和为 2010, 所有偶数项的和为 2, 则 a1004=( A.1 1 C.502 [答案] B [解析] 依题意得 1005 a1+a2008= 502 , + 2 + 2 =2010, 1 =2,a2+a2008=251, B.2 1 D.256 )

1003 故 a2-a1=- 502 =d(d 为公差), 又 a2 +a2008=2a1005,

1 1 1003 ∴a1005=502,a1004=a1005-d=502+ 502 =2. 3.(文)(2010· 山东日照模拟)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32, 若 am=8,则 m 为( A.12 C.6 [ 答案] B [解析] 由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8 =4a8= 32, ∴a8=8. ∴m=8.故选 B. (理)(2010· 温州中学)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3= 9,S6=36,则 a7+a8+a9= ( ) B.45 D.27 ) B.8 D.4

A.63 C.43 [答案] B

[解析] 由等差数列的性质知, S3, S6-S3, S9-S6 成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6), ∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=45. 4.(2010· 浙江省金华十校)等差数列{an}中,Sn 是{an}前 n 项和,已知 S6=2,S9=5,则 S15 =( A.15 C.45 [答案] A
?S6=2 ? [解析] 解法 1:由等差数列的求和公式及? 知, ?S9=5 ?

) B.30 D.60

?6a1+ 2 d=2 ? 9×8 ?9a1+ 2 d=5
6×5

?a1=-27 ,∴? 4 ?d=27
1



15×14 ∴S15=15a1+ 2 d=15.

Sn S9 S6 5 2 2 解法 2:由等差数列性质知,{ n }成等差数列,设其公差为 D,则 9 - 6 =3D=9-6=9,∴ 2 D=27, S15 S9 5 2 ∴ 15 = 9 +6D=9+6×27=1,∴S15=15. 5.(文)(2010· 福建福州一中)设数列{an}的通项公式为 an=20-4n,前 n 项和为 Sn,则 Sn 中 最大的是( A.S3 C.S5 [答案] B [解析] 由 an=20-4n≥0 得 n≤5,故当 n>5 时,an<0 ,所以 S4 或 S5 最大,选 B. (理)(2010· 山师大附中)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表 示{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 [答案] B [解析] ∵3d=(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=99-105=-6,∴d=-2,由 a1+a3+a5= 105 得 3a1+6d=105,∴a1=39,∴an=39-2(n-1)=41-2n, 由 an≥0,n∈N 得,n≤20,∴a20>0,a21<0,故选 B. 6.(文)(2010· 辽宁锦州)公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比 数列,且 b7=a7,则 b6b8=( A.2 C.8 [答案] D [解析] ∵2a3-a72+2a11=0,{an}为等差数列, ∴a72=2(a3+a11)=4a7, ∵{bn}为等比数列,b7=a7,∴a7≠0,∴a7 =4, ∴b7=4,∴b6b8=b72=16. (理)(2010· 重庆市)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3、S9、S6 成等差数列,则( 1 A.S6=-2S3 B.S6=-2S3 ) ) B.4 D.16 B.20 D.18 ) ) B.S4 或 S5 D.S6

1 C.S6=2S3 [答案] C

D.S6=2S3

[解析] ∵S3、S9、S6 成等差数列,∴2S9=S3+S6, ∵Sn 是等比数列{an}前 n 项的和,∴2q9=q3+q6, 1 ∵q≠0,∴2q6=1+q3,∴q3=1 或-2,q3=1 时,S3、S9、S6 不成等差数列,应舍去,∴ 1 1 q3=-2,∴S6=(a1+a2+a3)+(a1+a2+a3)q3=S3(1+q3)=2S3. 7.(2010· 重庆中学)数列{an}中,a1=3,a2=7,当 n≥1 时,an+2 等于 an· an+1 的个位数 字,则 a2010=( A.1 C.7 [答案] D [解析] 由条件知,a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,……可见{an}是 ) B.3 D.9

周期为 6 的周期数列,故 a2010=a6=9. S2009 8.(2010· 广东五校、启东模拟)在等差数列{an}中,a1=-2010,其前 n 项的和为 Sn.若 2009 S2007 - 2007 =2,则 S2010=( A.-2010 C.2009 [答案] A S2009 S2007 [解析] ∵ 2009 - 2007 =2, ∴(a1+1004d)-(a1+1003d)=2,∴d=2, 2010×2009 ∴S2010=2010a1+ d=-2010. 2 9.(文)将正偶数按下表排成 4 列: 第1列 第1行 第 2 行 [ 来 源 :Z 16 § xx § 14 12 10 2 第2列 4 第3列 6 第4列 8 ) B.-2008 D.2010

k.Com] 第3行 18 …… 则 2010 在( ) B.第 502 行,第 2 列 D.第 251 行,第 4 列 20 28 22 26 24

A.第 502 行,第 1 列 C.第 252 行,第 4 列 [答案] C

[解析] 2010 是第 1005 个偶数, 又 1005=8×125+5,故前面共排了 125×2+1=251 行,余下的一个数 2010 应排在第 4 列. (理)已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,那么 a2011 的值是( A.2008×2009 C.2010×2011 [答案] C [解析] 解法 1:a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形 式,可变形为: a1=0×1 a2=1×2 a3=2×3 a4=3×4 猜想 a2011=2010×2011,故选 D. 解法 2:an-an-1=2(n-1), an-1-an-2=2(n-2), … a3-a2=2×2, a2-a1=2×1. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =2[(n-1)+(n-2)+…+1]. =2 - 2 -1+ =n(n-1). B.2009×2010 D.2011×2012 )

∴a2011=2010×2011. 10.在函数 y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列, 则函数 y=f(x)的解析式可能为( A.f(x)=2x+1 B.f(x)=4x2 )

?3? C.f(x)=log3x D.f(x)= 4 x ? ?
[答案] D

?3? ?3? [解析] 对于函数 f(x)= 4 x 上的点列(xn,yn),有 yn= 4 xn,由于{xn}是等差数列,所以 ? ? ? ? ?3?xn+1 yn+1 ?4? ?3? ?3? xn+1-xn=d,因此 yn = 3 = 4 xn+1-xn= 4 d,这是一个与 n 无关的常数,故 ? ? ? ? ? ?xn 4 ? ?
{yn}是等 比数列.故选 D. 二、填空题 11.一个等差数列前 4 项之和为 26,最末 4 项之和为 110,所有项之和为 187,则它的项数 为________. [答案] 11 [解析] 34, 又∵Sn= + 2 =187,∴n=11. ∵a1+a2+a3+a4=26,an+an-1+an-2+an-3=110,∴a1+an= 26+110 = 4

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 1 12.已知数列{an}:2,3+3,4+4+4,…,10+10+10+…+10,…,设 bn= ,那 anan+1 么数列{bn}的前 n 项和 Sn=________. [答案] 4n n+1

1 2 n n [解析] 由条件知 an= + +…+ = , n+1 n+1 n+1 2 ∴bn= 1 ? 4 ?1 =4 n-n+1 , + ? ?

1 1 1 1 1 ∴Sn=4[(1-2)+(2-3)+…+(n- )] n+1 4n = . n+1

? π π? 13.(09· 上海)已知函数 f(x)=sinx+tanx.项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈ -2,2 ,且公 ? ?
差 d≠0.若 f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当 k=_______________时,f(ak)=0. [答案] 14 [解析] ∵f(x)=sinx+tanx 为奇函数,且在 x=0 处有定义,∴f(0)=0. ∵{an}为等差数列且 d≠0,

且 f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0, ∴an(1≤n≤27,n∈N*)对称分布在原点及原点两侧 ∴f(a14)=0. ∴k=14. 14.给定 81 个数排成如图所示的数表,若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成等差 数列,且表中正中间一个数 a55=5,则表中所有数之和为______. a11 a12 … a19 a21 a22 … a29 … … … … a91 a92 … a99 [答案] 405 [解析] S=(a11+…+a19)+…+(a91+…+a99)=9(a15+a25+…+a95)=9×9×a55=405. 三、解答题 15.(09· 安徽)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设 cn=an2· bn,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1<cn. [解析] (1)a1=S1=4,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n. 又 a1=4 适合上式,∴an=4n(n∈N*). 将 n=1 代入 Tn=2-bn,得 b1=2-b1, ∴T1=b1=1. 当 n≥2 时,Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn, 1 ∴bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,∴bn=2bn-1, ∴bn=21-n. (2)解法 1:由 cn=an2· bn=n2· 25-n, 1? cn+1 1? 得 cn =2 1+n 2. ? ? 1 4 当且仅当 n≥3 时,1+n≤3< 2,即 cn+1<cn. 解法 2:由 cn=an2· bn=n2· 25-n 得, cn+1-cn=24-n[(n+1)2-2n2] =24-n[-(n-1)2+2].

当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn<0,即 cn+1<cn. 16.(2010· 山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn = (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an2-1 [分析] (1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于 a1、 d 的方程组解出 a1 和 d, 代入通项 公式及前 n 项和公式可求得 an,Sn. (2)由 an 可得 bn,观察 bn 的结构特点可裂项求和. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=7,a5+a7=26,
?a1+2d=7 ? 所以有? ,解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26 ?

所 以 an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+ =n2+2n. 1 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= = an2-1 1 1 1 1 1 ? 1? 所以 Tn=4· 1-2+2-3+…+n-n+1

- ×2 2

1 +

1 = · -1 4

1 ? 1 1 ?1 =4· n-n+1 , + ? ?

?

?

1 ? 1? =4· 1-n+1 = ? ?

n , + n + .

即数列{bn}的前 n 项和 Tn=

[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和,解决此类题目 要注意合理选择公式 ,对于数列求和应掌握经常使用的方法,如:裂项、叠加、累积.本 题应用了裂项求和. 17.(文)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=an2+n-4. (1)求证{an}为等差数列; (2)求{an}的通项公式. [分析] 利用 an 与 Sn 的关系及条件式可消去 Sn(或 an),得到 an 与 an-1(或 Sn 与 Sn-1) 的关系式,考虑待求问题,故应消去 Sn. [解析] (1)当 n=1 时, 有 2a1=a12+1-4, 即 a12-2a1-3=0, 解得 a1=3(a 1=-1 舍去). 当 n≥2 时,有 2Sn-1=an-12+n-5,又 2Sn=an2+n-4,两式相减得 2an=an2-an-12 +1, 即 an2-2an+1=an-12, 也即(an-1)2=an-12,

因此 an-1=an-1 或 an-1=-an-1. 若 an-1=-an-1,则 an+an-1=1,而 a1=3,所以 a2=-2 这与数列{an}的各项均为正 数相矛盾,所以 an-1=an-1,即 an -an-1=1,因此{an}为等差数列. (2)由(1)知 a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式 an=3+(n-1)=n+2,即 an=n+2. (理)(2010· 新课标全国)设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由已知得,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2= 22(n+1)-1. 而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由 bn=nan=n· 22n-1 知 Sn=1· 2+2· 23+3· 25+…+n· 22n-1.① 从而 22· Sn=1· 23+2· 25+3· 27+…+n· 22n+1.② ①-②得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n· 22n+1. 2 =3(4n-1)-n· 22n+1 1 =3(22n+1-2-3n· 22n+1) 1 =3[(1-3n)2n+1-2] 1 ∴Sn=9[(3n-1)22n+1+2].


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