当前位置:首页 >> 数学 >> 高中导数课件

高中导数课件


第一章导数及其应用 1 2 3
变化率及导数 导数的计算 导数在研究函数中的应用 生活中优化问题举例 定积分的概念

4 5

Tankertanker Design

§1.1变化率及导数 ? 问题1 气球膨胀率
? 很多人都吹过气球,回忆一下在吹气球的过程中, 可以发现,随着气球内空气容量的增加

, 气球的半 径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这 种现象呢 ?
如何描述呢?

Tankertanker Design

? 我们知道,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)乊间的 ? 关系是: 4 V (r ) ? ?r 3
3

若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 :

r (V ) ?

3

3V 4?

当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了:
r (1) ? r (0) ? 0.62(dm)

气球的平均膨胀率为:
r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0

Tankertanker Design

?
当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了:
r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)

气球的平均膨胀率为:
r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1

可以看出:随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小

思考?

Tankertanker Design

? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨 胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
? 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系:

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
? 如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状 态, 那么: h(0.5) ? h(0) ? ?在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v? ? 4.05(m / s);
0.5 ? 0

? ?在1≤ t ≤2这段时间里,

v?

h(2) ? h(1) ? ?8.2(m / s); 2 ?1

?
49 0?t? 计算运动员在 65 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?

(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

1.1.1平均变化率

? 定义:式子

化率. ? 令 ?x ? x 2 ? x1

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

称为函数

f (x )

从 x1 到 x2 的平均变

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 )

? 则平均变化率可表示为: ? y
?x ? 注:? x 并不是表示 ? 与 x 的乘积 ?y 也是一样 ?

Tankertanker Design

理解

为什么不能为零
?如果无限接近零 表示什么?

? ? 1,式子中 ? x、 y 的值可正、可负,但? x 的值丌能为 0 , ?y 的值可以为 0 ? 2, 若函数 f (x) 为常函数时, ?y ? 0 ? 3, 变式

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

Tankertanker Design

探索??
? 观察f (x) 的图像 ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率 x 2 ? x1

若 x2 无限接近 x1 , 2 此时平均变化率又表 示什么又表示什么?

? 表示什么?

y f(x2) f(x2)-f(x1) f(x1)

x2-x1

B

A x x1 x2

直线AB的斜 率

O

Tankertanker Design

做两个题吧!
? 1 、已知函数 的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点 2 f ( x) ? ? x ? x ,则 =() B(?1 ? ?x,?2 ? ?y) ?y / ?x ? A 3 B 3 - ?x ? C D 2 3?x - ( ?x )2 3 (?x2) 附近的平均速度。 ? 2、求y=x 在x=x0 ?

2 x0 ? ?x

Tankertanker Design

求平均变化率一般步骤
? ?求函数的增量

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 )
? ?计算平均变化率
?y f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x 2 ? x1

1.1.2导数的概念


又如何求 瞬时速度呢?
?
. 瞬 时 速

时 刻 的 速 度 称 为

物 体 某 一

?

动 状 态 。 我 们 把

度 描 述 运

?

态 , 需 要 用 瞬 时 速

运 动 状

?

映 他 在 这 段 时 间 里

度 不 能 反

?

水 运 动 中 平 均 速

在 高 台 跳

?

?

,

平均变化率的几何意义
? 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
? 那么如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

?h v? ?t h( 2 ? ?t ) ? h( 2) ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t

Tankertanker Design

平均变化率的几何意义

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

?t ? 0

时,在 [2,2 ? ?t ]这段时间内

?t ? 0 时, 在 [2,2 ? ?t ] 这段时间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, 当△t = – 0.001时,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.051
v ? ?13.0951 v ? ?13.09951 v ? ?13.099951 v ? ?13.0999951

v ? ?13.149 v ? ?13.1049 v ? ?13.10049 v ? ?13.100049 v ? ?13.1000049

当△t =0.001时,
当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0.000001, ……

当△t = –0.0001时,
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001, ……

观察
?

当?t ? 0时,是越来越接近 - 13 .1的。 v

?

从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.

? 为了表述方便我们用 h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t ? 表示当t=2, ?t趋于零时,平均速度v 趋于确定值 - 13.1
?

? 注:确定值-13.1,我们称是
h(2 ? ?t ) ? h(2) 当?t趋于零时的极限 ?t

探究
? 1、运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示?

? 2、

函数f ( x)在x ? x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的定义
? 一般地,函数y=f(x)在 x ? x 0 时瞬时变化率是:
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim ?x ?0 ?x

? 我们称它为函数 y ? f ( x)在x ? x0时的导数,记作:f ' ( x0 )或y ' | x ? x ? 即:

0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
'

注解: y | x ? x0 表示函数y关于自变量x在x0 处的导数
'

Tankertanker Design

关于导数的几点说明:
(1). f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同 ;
?

f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

(2).瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

Tankertanker Design

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
?

1. 求函数的改变量 ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ; 2. 求平均变化率 ?x ?x ?f 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x 一差、二化、三极限

Tankertanker Design

例题
? 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要 对原油进行冷却和加热. 如果第x h时, 原油的温度(单 位: o C )为 f ( x) ? x 2 ? 7 x ? 15( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和 第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

? 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的 ? 瞬时变化率就是 f ?(2) 和 f ?(6).

根据导数的定义,

4?x ? (?x) 2 ? 7?x f (2 ? ?x) ? f (2) ? ? ?x ? 3 ?x ?x

Tankertanker Design

? 所以,

?f f ?(2) ? lim ? lim (?x ? 3) ? ?3. ?x ?0 ?x ?x ?0
同理可得 f ?(6) ? 5.

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.

练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说 明它们的意义.

? ? ?

如果质点A按规律 时的瞬时速度为 A.6 B.18

则在t=3s 3 s ? 2t C.54 D.81

Tankertanker Design

?

Tankertanker Design

1.1.3导数的几何意义
?
' 我们知道导数f(x 0)表示函数f ( x)在x ? x 0时的瞬时变化率,

反映了f ( x)在x ? x0附近的变化情况,那么f ' ( x 0 )的几何意义 是什么呢?
如图,当点Pn ( x n , f ( x n ))( n ? 1,2,3,4)沿着曲线f ( x)趋近 于点(x0 , f ( x0 ))时,割线PPn的变化趋势是什么?

y
T
P1

y
T
P2

y
T
P3

y
T
P4

O

P

P P

P

x
(1)

O

( 2)

x

O

(3)

xO

( 4)

x

Tankertanker Design

当点Pn 趋于点P时,割线PPn 趋于确定的位置 这个确定位置的直线PT称为点P处的切线。

? 分析:割线斜率和此切线的斜率有什么关系呢? ? 想一想,算一算!
割线PPn 斜率k n ? f ( x n ) ? f ( x) xn ? x

当点Pn 无限接近点P时,k n 无限接近切线PT 的斜率。因此,函数f ( x )在x ? x 0 处的导数就 是切线PT 的斜率k;即 k ? lim
?x ? 0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? f ' ( x) ?x

Tankertanker Design

结论
? 导数的几何意义:函数在某一点的导数,就是该 点的切线斜率。 ?
f ( x) ? x 2 ? 3在点P( , 1 4)处的切线方程 练习:求:

我得好好想想

Tankertanker Design

§1.2导数的计算
? 1.2.1几个常用函数的导数 ? 1、y

? f ( x) ? c 其中c为常数
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x

?y 所以, lim ?0 ?x ?0 ?x

y

y ?0
'

y?c
O

若y ? c(如图)表示路程关于时间的函数, 则y ' ? 0可以解释为某物体的瞬时速度始 终为0,即一直处于静止状态。

x

2、y ? f ( x) ? x
?y x ? ?x ? x ? ?1 ?x ?x

?y lim ?1 ?x ? 0 ?x
y

y ?1
'

? 所以,
若y ? x(如图)表示路程关于时间的函数, 则y ' ? 1可以解释为某物体瞬时速度为1的 匀速直线运动。
O

y?x

x

Tankertanker Design

3、y ? f ( x) ? x 2
?

?y ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? 2 x ? ?x ?x ?x

?y y' ? lim ? lim ( x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
y ' ? 2 x表示函数y ? x 2图像(如图)上点(x, y) 处切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化,切线的 斜率也在发生变化。另一方面,从导数作为函数 在一点的瞬时变化率来看,y ' ? 2 x表明:当x ? 0时, 随着x的增加,y ? x 2 减少的越来越慢;当x ? 0时, 随着x的增加,y ? x 增加的越来越快。
2

函 y?x 数 表 , 示 则 路 y' ? 2 x 程 关 可 于 以 时 解 间 释 的 为
2



某 物 体 作 变 速 直 线 运 动 ,

它 在 时 刻 时 的 速 度 为

x

2x

y
y ? x2

O

x

Tankertanker Design

1 4、y ? x
?
1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x x ? ( x ? ?x) ? ? ? ? ?x ?x ?x x( x ? ?x)?x ?y 1 1 ? y ' ? lim ? lim (? 2 )?? 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? ?x x
1 试着讨论一下,画出y ? 的函数图像, x 仿上处理,描述它的变化情况,并求出 函数在点( ,1)处的切线方程。 1

Tankertanker Design

5、y ? f ( x) ? x
?
? ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) x ? ?x ? x ? ? ?x ?x ?x ( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) 1 ? ? ?x ( x ? ?x ? x ) x ? ?x ? x

?y 1 1 ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

?y ?
'

1 2 x

这个函 数又如 何描述 呢?

f ' ( x)与f ' ( x0 )的区别

? ' ( x)表示的函数f ( x)上每一点的 f
导数,本身表示一个函数,它反 映了函数f ( x)上每点切线斜率的变 化情况。

?f ' ( x )表示的是函数f ( x)上某一点
0

(x 0 , y 0)上的切线斜率,它表示的 是一个数。

Tankertanker Design

1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则
1、若f ( x) ? c, (c为任意常数)则f ' ( x) ? 0
2、若f(x) x n (n ? Q * ), 则f ' ( x) ? nx n?1 ?

3、若f ( x) ? sin x, 则f ' ( x) ? cos x
4、若f ( x) ? cos x, 则f ( x) ? ? sin x
'

我要想法 记住这些!

5、若f ( x) ? a x , 则,f ' ( x) ? a x ln a

6、若f ( x) ? e x,则f ' ( x) ? e x
1 7、若f ( x) ? log ,则f ' ( x) ? x ln a 1 8、若f ( x) ? ln x,则f ' ( x) ? x
x a

导数的运算法则
? 1、 ? f ( x) ? g ( x)?' ? f ' ( x) ? g ' ( x)
[ ? 2、 f (x) ? g(x)]' ? f ' (x)g(x) ? f (x)g' (x)

? 3、f ( x) ?? ? f ' ( x) g ( x) ? g ' ( x) f ( x) , ( g ( x) ? 0) ? ?
'

? g ( x) ?

g 2 ( x)

Tankertanker Design

例题
?
[例 1] 求下列函数的导数: 1 x x 5 3 x (1)y=x ;(2)y= 4;(3)y= x ;(4)y=2 ;(5)y=2sin cos . x 2 2
12

[解析]

(1)y′=(x12)′=12x11.

?1? 4 ? 4?′=(x-4)′=-4x-5=- 5. (2)y′= x x ? ?

(4)y′=(2x)′=2xln2.
? x x? (5)y′=?2sin2cos2?′=(sinx)′=cosx. ? ?

Tankertanker Design

导数运算法则推广
? 函数和不差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数 的和(或差). ? ?f (x)± (x)± (x)± f2 f3 …± n(x)??? f 即 : = ? 1

f′1(x)± 2(x)± f′n(x) f′ …± 2.由[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).立即可得 [Cf(x)]′=Cf′(x).
? f(x) ? ? 1 ? g(x)f′(x)-f(x)g′(x) 由 ?g(x)? ′= ,可得 ?g(x)? ′=- 2 g (x) ? ? ? ?

g′(x) . g2(x)

Tankertanker Design

例题
?
[例 2] 求下列函数的导数: 1 4 (1)y= x5- x3+3x+ 2; 5 3 (2)y=(3x5-4x3)(4x5+3x3); 3 (3)y=3 x4+4 x3.

[分析] 这些函数是由基本初等函 数经过四则运算得到的简单函数, 求导时,可直接利用函数加减的求 导法则进行求导.

Tankertanker Design

例题
?
[例 2] 求下列函数的导数: 1 4 (1)y= x5- x3+3x+ 2; 5 3 (2)y=(3x5-4x3)(4x5+3x3); (3)y=3 x4+4 x3. 3

[解析]

?1 5 4 3 (1)y′=?5x -3x +3x+ ?

? 2?′ ?

?1 5? ?4 3? =?5x ?′-?3x ?′+(3x)′+( ? ? ? ?

2)′=x4-4x2+3.

(2)∵y=12x10-7x8-12x6 ∴y′=120x9-56x7-72x5.

Tankertanker Design

1.2.3复合函数求导
?

1、引例
(1)求 y ? sin 2 x 的导数 解1 解2
y ? ? (sin 2 x)? ? cos 2 x

思考:(2)求 y=lnsinx的导数 ??

因为 所以

y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x

y ? ? 2[(sin x)? cos x ? sin x(cos x)?]
? 2(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 cos 2 x

解1是错误的。 因为 y ? sin x 是基本初等函数,而 y ? sin 2 x 是复合函数。

2、复合函数定义
? 设
y ? f (u)
x 而 u ? ? (x) 为 u 关于 的函数

? 且函数

u ? ? (x)

的值域包含在 f (u ) 的定义域内,

y 通过 u 的联系也是自变量 x的函数, ? 那么
? 我们称 为 ? 其中

y

x

的复合函数,记为 y ? f [? ( x)]

,

u 称为中间变量

Tankertanker Design

3、复合函数求导法则
?

复合函数y ? ( g ( x))的导数和函数y ? f (u ), u ? g ( x)的导数间关系为:y ' x ? y ' x ?u ' x
即y对x的导数等于y对u的导数 与u对x的导数的乘积。

Tankertanker Design

例题
? 例1、求 y ? (3 x ? 2) 5 的导数。

解:u ? (3 x ? 2), y 'u ? 5u , u ' x ? 3
4

? y ' x ? y 'u ?u ' x ? 5(3 x ? 2) 4 ? 3
? 15(3x ? 2) 4
? 例2、求 ? 解:

y ? e 3 x 的导数。
熟悉了复悉了复合函数法则后 逐层求导

y? ? (e3 x )? ? e3 x (3x)? ? 3e3 x

中间间变量默记在心,由外及里、

§1.3导数在研究函数中的应用

1.3.1函数的单调性与导数

?

右图
v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5

? (1)表示跳水运动员高

度h随时间t变化的函数的 图像,(2)表示高台跳 水运动员的速度v随时间t 变化的函数图像 ? 思考?运动员从起点跳到 最高点,以及从最高点到 入水这两段时间的运动状 态有什么区别?

v
h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10

h

a
(1)

b

t

b
a

t

(2)

通过观察图像可以发现:
?
①运动员从起跳到

最高点,离水面的高度h
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,v(t ) ? h?(t ) ? 0. ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0.

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

y y
y?x

y ? x2

y
y ? x3

O O

x

x

O

x
y? 1 x

y

O

x

可以发现上面四幅图有一个共同特征:

在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间内单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么 函数 ? y

f (x)

在这个区间内单调递减.

? 实际上上述特征适合所有函数, ? 它是所有函数特征。(函数必须 ? 存在导函数)

如果在某个区 间内 f ' ( x) ? 0 , 那么函数有什么特征?

例题
? 题1 已知导函数 f ?(x) 的下列信息: f ?( x) ? 0; 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,

f ?( x) ? 0.

试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.

? 解:当1 < x < 4 时,
增;

f ?( x) ? 0;

可知 f (x) 在此区间内单调递 在此区间内单调

当x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 可知 f (x) 递减; f ?( x) ? 0. ? 当 x = 4 , 或 x = 1时,

?

例题
? 题1 已知导函数 f ?(x) 的下列信息:
f ?( x) ? 0; f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时,
当1 < x < 4 时, 当 x = 4 , 或 x = 1时,

f ?( x) ? 0.

试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.

? 解:函数图像如右:

y

O

1

4

x

例题
? 题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? );
(4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1.
f ( x) ? x 3 ? 3x 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x 2 ? 1) ? 0. ? 解:(1)因为

f ( x) ? x 3 ? 3x 在 x ? R 上单调递增. 因此, 函数 2 ? (2)因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1).
当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1 时, 函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 单调递增;当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数单调递增

例题
? 题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? );
(4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1.
? 解:(3)因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? )
f ?( x所以 x ? 1 ? 0. ) ? cos

因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? ) 上单调递减.

f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1 ? (4)因为

所以

?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 24 f

例题
? 题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? );
(4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1.
? 解:当
时, 函数

f ?( x) ? 0 , 即

f (x)

当 f ?( x) ? 0 , 即

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 时, 函数 f (x) 单调递减. ?x? 2 2

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 x? 或x ? 2 2 单调递增;

题3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面 积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图 象.

h
O

h
t
O

h
(B ) t
O

h
t
O

( A)

(C )

(D )

t

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那 么函数在这个范围内变化得快。

? 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之,
函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数 y ? f (x) 在 (0, b) 或 (a,0) 内的图

象“陡峭”,在 ,?? ) (b
或 , a) (??

内的图象平缓.

求可导函数 f (x) 单调区间的步骤:
? (1)求 f ' ( x) ? (2)解丌等式 f ' ( x) ? 0 (或 f ' ( x) ? 0 ) ? (3)确认并指出递增区间(或递减区间)
证明可导函数 方法:

f (x) 在(a,b)内的单调性的

(1)求

f ' ( x)

(2)确认 f ' ( x) 在(a,b)内的符号 (3)作出结论

1.3.2函数的极值与导数
? 问题情境
观察右下图为函数 y ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 的图象, y 问题1:函数在 x ? 0 的函数值与它 附近所有各点的函数值的关系? 我们说 f (0) 是函数的一个极大值; 问题2:函数在x ? 2 的函数值与它附近所 有各点的函数值的关系? 我们说 f (2)是函数的一个极小值。

A

2 0
B

x

1、定义函数极值(extreme value)
? 一般地,设函数 y ? f (x) 在 x ? x0 及其附近有定义 ? 如果 f ( x0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的函数值 ? 都大,则称 f ( x ) 是函数的一个极大值
0

? 如果 f ( x )的值比 x 0 附近所有各点的函数值 y ? 都小,则称 f ( x ) 是函数的一个极小值
0

0

A

注:

f ( x0 )

------ 极值

点 x 0 ------极值点 2

0

B

x

2、探索思考:
? ①函数 ? ? ? ?

y ? f (x) 在哪些
y

点取得极大值? 哪些点 取得极小值? ② y ? f (x) 在这些点的 导数值是多少? y ③在这些点附近, ? f (x) 的导数的符号有什么 规律? ④函数的极大值一定大于O 极小值吗?

a

x1

x2

x3

x4

b

x

例题
? 求 f ( x) ?

x

3

3

? 4 x ? 4 的极值

? 解: ∵ f ' ( x) ? x 2 ? 4 ,由 f ' ( x) ? 0 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2 . ? 当 x 变化时, f ' ( x) 、f (x) 的变化情况如下表:
x

(-∞,-2)
+

-2

(-2,2)

f?(x) f(x)

0
极大值28/3

-

2 0

(2,+∞) +

∴ 当 x ? ?2 时, y 极小值=28/3;当x ? 2 时, y 极大值=-4/3.

求函数极值步骤:
? ? ? ?
1、求导数 2、解方程 f ' ( x) ? 0 3、列表: 4、结论: 1):如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; 2):如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么f(x0)是极小值.

探索思考:

?

导数值为0的点一定 是函数 的极值点吗?

函数的导数为 零的点,不一定 是该函数的 极值点.

1.3.3函数的最大(小)值与导数
? 上一小节问题:函数的极 ? ? ? ?
大值一定大于极小值吗? 如又下图: 极大值: f ( x1 ), f ( x3 ) 极小值: f ( x2 ), f ( x4 ) 但:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x4 ) ? f ( x3 )

y

y ? f (x)

? 由此可见:极大值未必就
比极小值大。

O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

1.3.3函数的最大(小)值与导数
? 我们知道,极值反映的是局部性质,而不是函数在整个定
义域的性质,函数极值是反映了在某一段的性质,在这一 段上是最大(小)值,但在实际问题中,我们更关心的是 整个定义域上的最大(小)值。 ? 那么如何来求在定义域上的最大(小)值呢?

最值求法
? 定义:函数 f (x) 在某一闭区间的最大值、最小值统称为
最值。

y
y ? f (x)

a

x1

x2

x3 x 4

O x4

x5

x6

x7

b

x

观察上图,可知此函数最值 在端点取得。

最值求法
? 由以上两图可知,一个函数的最值有可能在极值点处取得 ?
,也有可能在端点处取得。 一般地,求函数 y ? f (x) 在 [a, b] 内的最值步骤 如下: 1、求函数 (a, b) 内的极值 2、求端点值 f (a), f (b) 3、比较极值与端点值,最大的就是最大值,最小的就是 最小值

? ? ?

例题
1 3 ? 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在 3

[0,3] 上的最值。
f ' ( x) ? x 2 ? 4 ? 0
1 3 4 f (2) ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? ? 3 3

? 解:1、令 f ' ( x) ? 0

?
?

?
? ?
2、 3、

x?2

f (0) ? 4, f (3) ? 1
f (2) ? f (3) ? f (0)

?

最大值: 4,最小值 -

4 3

§1.4生活中优化问题举例
?

例1

例2

导数

例3

总 结

例1海报版面尺寸的设计
? 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传,先让 你设计一张如图所示的竖向张贴海报,需要版心面积为 2 2 128 dm ,上下两边各空2 dm2 ,左右各空 1 dm ,如何设 计海报尺寸才能使四周空白面积最小? ? 解:设版心高为:x dm ,则版心宽为:128 dm x ? 此时四周空白面积为:
S ( x) ? ( x ? 4)( 128 ? 2) ? 128 x
? 2x ?
x

? 求导: ' ( x) ? 2 ? 512 ,令 S ' ( x) ? 0 S 2
128 ?宽为: ? 8(dm) x

512 ? 8, x ? 0 x

?

x ? 16

x ? (0,16)S ' ( x) ? 0, x ? (16,??), S ' ( x) ? 0 ? S (16)为最小值

故当版心高为 dm, 宽为: 时面积最小 16 8dm

例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响
? (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些? ? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

? 背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 瓶子的制造成本是 0.8? r 2 分,其中 是瓶 子的半径,单位是厘米.已知每出售1ml 的饮料,制造商 获利 0.2 分,且制造商制作的瓶子的最大半径为6cm .

r

? 问题(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?

例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响
? 解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

4 3 y ? f (r ) ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r 2 3 3 r 2 ? 0.8? ( ? r ), 3

0 ? r ≤6



f '( r ) ? 0.8( r ? 2r ) ? 0
2



r ? 2时, f '(r ) ? 0

当 r ? (0, 2) 时 , f '( r ) ? 0 当 r ? (2,6) 时 , f '( r ) ? 0

例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响
? 当半径 r ? 2 时, f ' (r ) ? 0 它表示 f (r ) 单调递 增, 即半径越大,利润越高; ? 当半径 r ? 2 时, f ' (r ) ? 0 它表示 f (r ) 单调递减, ? 即半径越大,利润越低. 1.半径为2cm 时,利润最小,这时

f (2) ? 0

表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响

? 注:如果不用导数工具,直 接从函数的图象上观察, 你有什么发现?(见下图 )

y
r3 f (r ) ? 0.8? ( ? r 2 ) 3

O

x

例3磁盘的最大存储量问题
? (1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? ? (2)你知道磁盘的结构吗? ? (3)如何使一个圆环状的磁盘尽可能多的信息? ? ? ? ? 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度 必须大于m,每比特所占用的磁道长度不 得小于n。为了说明数据检索便利,磁盘 格式化时要求所有磁道具有相同的比特数

R

r

例3磁盘的最大存储量问题
? 现有一张半径为R的磁盘,它的 存储区是介于r与R之间的 环形区域(如图) ? (1)是不是r越小,磁盘的存储量越大? ? (2)r为多少时?,磁盘具有最大存储量,(最外面的磁 道不存储任何信息)
解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间 的宽度必需大于 m ,且最外面的磁道不存储任何信 R?r 息,故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比 m 特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装 2? r 满,即每条磁道上的比特数可达 。 n

R

r

例3磁盘的最大存储量问题
R?r 2? r 2? × ? r(R ? r) ?∴磁盘总存储量 f (r ) ? m mn n 它是一个关于 r 的二次函数, 从函数解析式上可以判 断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大. 为求 f (r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 .
f ?( r ) ? 2? ? R ? 2r ? mn

令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ? 当r ?

R 2

R R 时, f ?(r ) ? 0 ;当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 . 2 2 R 因此 r ? 时,磁盘具有最大存储量。 2 2? R 2 此时最大存储量为 mn 4

总结
? 有上述例子不难发现,解决优化问题的基本思路是:

优化问题

用函数表示的数学 问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程中实际上是一个典型的数学建模过程。

§1.5定积分的概念

1.5.1曲边梯形的面积
? 问题的提出
y

? 求曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线
y ? f ( x ) ( f ( x ) ? 0) 、
x 轴与两条直线 x ? a 、
o a
b x

x ? b 所围成.

? 用矩形面积近似取代曲边梯形面积

y

y

o

a

b
(四个小矩形)

x o

a
(九个小矩形)

b

x

显然,小矩形越多,总矩形面积就 越接近曲边梯形面积。

?
?

观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

播放

?

曲边梯形如图所示, 在区间[a, b] 内插入若干

个分点,a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b,

把区间[a, b] 分成 n
个小区间[ xi ?1 , xi ], y
长度为 ?xi ? xi ? xi ?1 ;

在每个小区间[ xi ?1 , xi o a 上任取一点? i,

?i

b

x

以 [ xi ?1 , xi ]为底, (? i ) 为高的小矩形面积为 f

Ai ? f (? i )?xi

?

曲边梯形面积的近似值为

A ? ? f (? i )?xi
i ?1

n

当分割无限加细,即小区间的最大长度

? ? max{ ?x1 , ?x2 ,? ?xn }
趋近于零 (? ? 0) 时,

曲边梯形面积为

A ? lim ? f (? i )?xi
? ?0 i ?1

n

1.5.2汽车行驶的路程
? 问题的提出 ? 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,已知速度

v ? v(t ) 是时

间间隔 [T1 , T2 ] 上 t 的一个连续函数,且 ( t ) ? 0 v 求物体在这段时间内所经过的路程 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值.

?
(1)分割 T1 ? t 0 ? t1 ? t 2 ? ? ? t n?1 ? t n ? T2

? t i ? t i ? t i ?1
部分路程值

?si ? v (? i )?t i
某时刻的速度

(2)求和

s ? ? v (? i )?t i
i ?1

n

(3)取极限 ? ? max{?t1 , ?t 2 ,?, ?t n } 路程的精确值 s ? lim ? v (? i )?t i
? ? 0 i ?1
n

1.5.3定积分的概念
?
在 定义设函数 f ( x ) 在[a , b] 上有界, [a , b]中任意插入
若干个分点

a ? x ? x ? x ??? x
0 1 2

n ?1

? x ?b
n

各小区间的长度依次为 把区间[a , b] 分成n 个小区间,

?x i ? x i ? x i ?1 ,( i ? 1,2,?) , 在各小区间上任取
一点? i (? i ? ?x i ), 作乘积 f (? i )?x i ( i ? 1,2,?)

并作和 S ? ? f (? i )?x i ,

n

记? ? max{?x1 , ?x 2 ,? , ?x n },

i ?1

?
也不论在小区间[ xi ?1 , xi ] 上 如果不论对[a , b] 怎样的分法, 点? i 怎样的取法,只要当? ? 0 时,和 S 总趋于

在区间[a , b]上的定积分, 记为
积分上限

积分和

?a f ( x )dx ? I ? lim ? f (? i )?xi ? ?0 i ?1
b

n

积分下限

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

利用定积分的定义计算
? 例

?0

1

x 2dx .

i 将 ? 解: [0,1]n 等分,分点为 x i ? ,(i ? 1,2,?, n ) n 1 小区间[ x i ?1 , x i ]的长度?x i ? ,( i ? 1,2,?, n ) n 取? i ? xi ,(i ? 1,2,?, n )

? f (? i )?xi
i ?1

n

??
i ?1

n

? ? xi2 ?xi , ? i ?x i
2
i ?1

n

利用定积分的定义计算
? 例

?0

1

x 2dx .
n 2

? i ? 1 ? 1 n i 2 ? 1 ? n( n ? 1)(2n ? 1) ? 解: ? ? ? ? ? 3? n3 6 n n i ?1 i ?1 ? n ?

1? 1 ?? 1? ? ? 1 ? ?? 2 ? ? , 6? n ?? n?
n
1 2

? ?0 ?n??

x dx ? lim ? ? i ?xi ?0 ? ? 0 i ?1 1? 1 ?? 1? ? lim ? 1 ? ?? 2 ? ? ? 1 . n? ? 6 ? n ?? n? 3
2

由定积分的定义,可得到定积分有如下性质:

1、
2、 3、

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx, (k为常数)
b

? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?
a

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a
b

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx, (a ? c ? b)
a c

c

定积分的几何意义
f ( x ) ? 0,
f ( x ) ? 0,

?a

b

f ( x )dx ? A 曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 f ( x )dx ? ? A 的负值

?a

b

A1

A2

A3

A4

?a f ( x )dx ? A1

b

A2

A3

A4


更多相关文档:

高三一轮复习之函数与导数专题课件

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...函数与导数专题一. 函数定义域 1 1. 函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 3x ...

高中数学导数经典说课稿

高中数学导数经典说课稿_数学_高中教育_教育专区。一、关于教学目的的确定: 对导数...。通过课件动态演示,进一步在?无意注意?作用的发挥上 下文章,加深学生对?变化...

高二数学导数及应用题

高二数学导数及应用题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高二数学导数及应用题_数学_高中教育_教育专区。由莲山课件提供 http://www....

导数专题复习(配详细答案)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...导数专题复习(配详细答案)体型一: 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、...

2014高三数学二轮专题复习课件:1-5导数及其应用

2014高三数学二轮专题复习课件:1-5导数及其应用_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014高三数学二轮专题复习课件:1-5导数及其应用_数学...

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)_数学_高中教育_教育专区。高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)今日推荐 89...

高中数学_导数的概念 单元设计

高中数学_导数的概念 单元设计_数学_高中教育_教育专区。《导数的概念》主题单元...其他 笔记本,网络,主题资源网站,能反映研究性过程的课件,有关牛顿,莱布尼茨的...

实验三 导数 数学实验课件习题答案

实验三 导数 数学实验课件习题答案_数学_高中教育_教育专区。数学实验课件习题答案天水师范学院数学与统计学院 实验报告实验项目名称 所属课程名称 实验类型实验日期 实...

edu_ecologychuanke93541

视频教程,学科网全套教学,在线学习高中数学(文理)课程,学科网 微课堂 数学 高考一轮 函数与导数视频下载

导数的概念

导数的概念_数学_高中教育_教育专区。导数的概念》教案 广东省深圳市深圳中学 曾劲松...制作《数学实验记录单》及上课课件. 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认...
更多相关标签:
高中数学导数课件 | 导数课件 | 导数的概念课件 | 导数及其应用 课件 | 导数与微分课件 | 变化率与导数课件 | 导数的计算课件 | 大学导数课件 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com