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第二章平面向量课件


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金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……

请问

:金钱豹 能追上小狗吗?为什么?
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由于大陆和台湾没有直航,因此2006年春节探亲, 乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,这里发 生了两次位移。

位移和距离 这两个量有 什么不同?

上海
台北

香港
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观察下述三个量有什么区别?

m=20kg
(1)

F=20N
(2)

V =20km/h
(3)

(2)(3)都是有大小和方向的量
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新洲二中
2013年8月18日星期日8时9分33秒
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一、向量的定义
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既有大小又有方向的量
向量的长度

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向量的模

二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示:有向线段的 长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为:AB。
大小记着:│AB│
A a



②也可以表示: a

b

c

d ….

大小记为┃a┃
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说明1: www.jtyjy.com

我们现在研究的向量,与起点无关,用有向线段表 示向量时,起点可以取任意位置。所以数学中的向 量也叫 自由向量

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如图:他们都表示 同一个向量。

a

a

1、温度有零上和零下之分,温度是向量吗?为

什么? 不是,温度只有大小,没有方向。 2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗?为什么?
不是,方向不同
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说明2: www.jtyjy.com 有向线段与向量的区别:
有向线段:有固定起点、大小、方向

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向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有 方向。
B D

B

D

A

C

A

C

有向线段AB、CD是不 向量 AB、CD 是同一个向量。 同的。
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说明3:两个特殊向量 www.jtyjy.com
1、零向量 :长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量 :长度为 1 个单位长度的向量。

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0 向量大小为0,方向

不确定的。可以是任意方向
单位向量大小为1,方向 不一定相同。 所以 0 向量只有一个, 而单位向量可以有无数个

思考:平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量,
它们的终点的轨迹是什么图形?
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三:向量之间的关系
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3.平行向量的定义: ?方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 ?我们规定零向量与任一向量平行 ?

? b
? e

a

? c ?? f

? ? ? 记做:// b// c a
? ?? 那么e与 f 之间是什么关系?

两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别?
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三:向量之间的关系
D

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4.相等向量的定义: 长度相等且方向相同的向量
A B

??? ???? ? 记作: ? DC AB
C

? 相反向量的定义:我们把与a 长度相等,方向相反的 ? ? 向量叫做a 的相反向量. 记做: a -

? a

? c

? ? c = -a

? b

? - ( - a) = ?

? ? a = -c

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三:向量之间的关系
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5.共线向量与平行向量的关系:

? ? ? a// b// c

? ? ? a,b,c为 共 线向量

? c ?? bc

? b

? a

? a

任意一组平行向量都可以平移到同一直线上

平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样?

为什么?
说明:在平行向量、共线向量、相等向量的 概念中应注意零向量的特殊性
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例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心, 在图中所标出的向量中: ??? ? E
(1)试找出与FE共线的向量;
O

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D

?? ? (2)确定与FE相等的向量;
?? ??? ? ? (3) BC相等吗? OA与
F

C

若不相等,则之间有什么关系?

?? ??? ? ? 解: (1) OA BC, ?? ??? ? ? (2) ? FE BC

A

B

?? ??? ? ? ?? ?? ? ? (3)虽然OA // BC,且| |=| |, OA BC 但是它们方向相反,故这两个向量不相等.

??? ? ??? ? OA ? ?BC

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例2:在图中的4×5方格纸中有一个向量
?

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AB ,

分别以图中的格点为起点和终点作向量, (1)其中与 AB 相等的向量有多少个? (2)与 AB 长度相等的共线向量有多少个?
( AB除外)
B
?

?

??? ? (1)共有7个向量与AB相等 ??? ? (2)共有 个向量与AB共线 15

A

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如图:以1×1方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中,可得到多少种不同 的模?有多少种不同的向量?

共有2种不同的模

共有8种不同的向量
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若改为1×2的方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中,可得到多少种不同 的模?多少种不同的向量呢? 共有4种不同的模

共有14种不同的向量
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欢迎来到: 过关竞技场
2 3 4 5

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★题:
1 6

★★题:
7 8 9 10

★★★题:
11 12
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练习:

1、单位向量是否一定相等?
不一定

2、单位向量的大小是否一定相等?
一定
BACK
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练习:

1、平行向量是否一定方向相同?
不一定

2、不相等的向量一定不平行吗?
不一定
BACK
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练习

1、与零向量相等的向量一定是什么向量?

零向量

2、与任意向量都平行的向量是什么向量?

零向量
BACK
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练习

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1、若两个向量在同一直线上,则这两个 向量是什么向量?
共线向量 或者说平行向量

2、共线向量一定在一条直线上吗? 不一定

BACK
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练习: 在质量、重力、速度、加速度、身 高、面积、体积这些量中,哪些是 数量?哪些是向量?
数量有:质量、身高、面积、体积

向量有:重力、速度、加速度
BACK
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在下列结论中,哪些是正确的?

(1)如果两个向量相等,那么它们的起点和终
点分别重合; (2)模相等的两个平行向量是相等的向量;

(3)如果两个向量是单位向量,那么它们相等;
(4)两个相等向量的模相等。 正确的有:(4)
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练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 ( B ) A.相等向量 C.共线向量 C A O B B.模相等的向量 D.共起点的向量

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练习:
1. 命题:“│a│=│b│”成立,则“ a = b ”一定成



×

BACK

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练习:
1.已知a、b为不共线的非零向量,且
存在向量 c,使 c ∥ a, c
0 c =____

∥ b, 则

BACK
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练习:
1.与非零向量 a 平行的向量中,

2 不相等的单位向量有_____个.

BACK

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练习:如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线
A

段表示的向量中请分别写出

7 (1)与向量CD共线的向量有___个,
分别是______________________; (2)与向量DF的模一定相等的向
FD,EB,BE,EA,AE 5 量有__个,分别是_________________; 2
B DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC

E

F

D

C

(3)与向量DE相等的向量有__个, CF, FA 分别是___________。

BACK
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如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是 平行四边形,请分别写出:
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(1)与ED相等的向量; (2)与ED共线的向量; (3)与FE相等的向量; (4)与FE共线的向量。
(1) 3个
F

A

E

M

(2) 9个
(3) 3个 (4) 11个

B

D

C

BACK
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课堂小结
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向量

向量的表示

向量的大小 (模)
零向量 单位向量

向量的方向
平行向量 (共线向量)
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向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学,被称为矢量.很多物理量,如力、速度、位移、 电场强度、磁场强度等都是向量。 大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段。 最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

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课后作业: P57 1、3

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