当前位置:首页 >> 工学 >> 17-18版 第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质

17-18版 第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质


2.2.3 2.2.4

直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质

1.理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义.(重点) 2.能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理.(重点) 3.能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的 简单命题.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 直线与平面平行的性质定理

阅读教材 P58~P59“例 3”以上的内容,完成下列问题. 自然语言 符号语言 图形语言 作用 证明两直线平行 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行 a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平 行.( )
1

(2) 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 , 它 就 和 这 个 平 面 内 的 任 何 直 线 无 公 共 点.( ) )

(3)过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行.(

(4)如果直线 l 和平面 α 平行,那么过平面 α 内一点和直线 l 平行的直线在 α 内.( ) 由线面平行的性质定理知(1)(4)正确;

【解析】

由直线与平面平行的定义知(2)正确; 因为经过一点可作一条直线与已知直线平行, 而经过这条直线可作无数个平面,故(3)错. 【答案】 教材整理 2 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

平面与平面平行的性质定理

阅读教材 P60“思考”以下至 P61“练习”以上的内容,完成下列问题. 自然语言 符号语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 交线平行 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b

图形语言

作用

证明两直线平行

已知平面 α∥平面 β,过平面 α 内的一条直线 a 的平面 γ,与平面 β 相交, 交线为直线 b,则 a,b 的位置关系是( A.平行 C.异面 【解析】 【答案】 ) B.相交 D.不确定 由面面平行的性质定理可知 a∥b. A

[小组合作型]
2

线面平行性质定理的应用 215,四边形 EFGH 是空间四边形 ABCD 的一个截面,若截 如图 2面为平行四边形,求证:AB∥平面 EFGH.

图 2215 【精彩点拨】 要证明 AB∥平面 EFGH,只需证 AB 平行于平面 EFGH 内

的某一条直线,由于 EFGH 是平行四边形,可利用其对边平行的特点,达到证 题的目的. 【自主解答】 ∴EF∥HG. ∵HG?平面 ABD,EF?平面 ABD, ∴EF∥平面 ABD. ∵EF?平面 ABC, 平面 ABC∩平面 ABD=AB, ∴EF∥AB. ∵AB?平面 EFGH, EF?平面 EFGH, ∴AB∥平面 EFGH. ∵四边形 EFGH 为平行四边形,

运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面 与平面相交的交线,然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互 转化关系.

[再练一题] 1.如图 2216,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,过 AA1 作一平面交平面 BCC1B1 于 EE1.
3

求证:AA1∥EE1.

图 2216 【证明】 在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1∥BB1,

∵AA1?平面 BCC1B1,BB1?平面 BCC1B1, ∴AA1∥平面 BCC1B1. ∵AA1?平面 AEE1A1, 平面 AEE1A1∩平面 BCC1B1=EE1, ∴AA1∥EE1. 面面平行性质定理的应用 217,已知 α∥β,点 P 是平面 α,β 外的一点(不在 α 与 β 之 如图 2间),直线 PB,PD 分别与 α,β 相交于点 A,B 和 C,D.

图 2217 (1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4,AB=5,PC=3,求 PD 的长. 【精彩点拨】 (1)利用面面平行的性质定理直接证明即可.

(2)利用平行线分线段成比例定理可求得 PD. 【自主解答】 (1)证明:∵PB∩PD=P,

∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又 α∥β,∴AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD, PA PC 4 3 15 ∴AB=CD,∴5=CD,∴CD= 4 ,

4

27 ∴PD=PC+CD= 4 .

1.利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤:(1)先找两个平面,使 这两个平面分别经过这两条直线中的一条;(2)判定这两个平面平行;(3)再找一 个平面,使这两条直线都在这个平面上;(4)由性质定理得出线线平行. 2.应用面面平行的性质定理时,往往需要“作”或“找”辅助平面,但辅助平 面不可乱作,要想办法与其他已知量联系起来.

[再练一题] 2.如图 2218,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M ∥平面 BC1N,AC∩平面 BC1N=N.求证:N 为 AC 的中点.

图 2218 【证明】 因为平面 AB1M∥平面 BC1N,平面 ACC1A1∩平面 AB1M=AM,

平面 BC1N∩平面 ACC1A1=C1N,所以 C1N∥AM,又 AC∥A1C1, 所以四边形 ANC1M 为平行四边形, 所以 AN∥C1M 且 AN=C1M, 1 又 C1M=2A1C1,A1C1=AC, 1 所以 AN=2AC,所以 N 为 AC 的中点. [探究共研型] 平行关系的综合应用 探究 1 应用线面平行性质定理有什么技巧?

【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到

5

交线还需作出辅助平面, 而且证明与平行有关的问题时,要与公理 4 等结合起来 使用,扩大应用的范畴. 探究 2 面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用?

【提示】 两个平面平行的判定定理与性质定理的作用,关键都集中在“平 行”二字上. 判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”;性质定理揭 示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”. 前者给出了判定两个平面平 行的一种方法;后者给出了判定两条直线平行的一种方法. 探究 3 你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗? 三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系如图所示:

【提示】

如图 2219,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN.求证:MN∥平面 AA1B1B.

图 2219 【精彩点拨】 用判定定理证明较困难,可通过证明过 MN 的平面与平面

AA1B1B 平行,得到 MN∥平面 AA1B1B. 【自主解答】 如图,作 MP∥BB1 交 BC 于点 P,连接 NP,

∵MP∥BB1,

6

CM CP ∴MB =PB.
1

∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN, CM DN ∴MB = NB ,
1

CP DN ∴PB= NB , ∴NP∥CD∥AB. ∵NP?平面 AA1B1B,AB?平面 AA1B1B, ∴NP∥平面 AA1B1B. ∵MP∥BB1,MP?平面 AA1B1B,BB1?平面 AA1B1B, ∴MP∥平面 AA1B1B. 又∵MP?平面 MNP,NP?平面 MNP,MP∩NP=P, ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. ∵MN?平面 MNP,∴MN∥平面 AA1B1B.

1.三种平行关系的转化 要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决 立体几何中的平行问题时, 一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类 问题的最有效的方法. 2.面面平行的性质定理的几个推论 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两平行平面间的平行线段相等. (3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.

[再练一题] 3.如图 2220,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB
7

∥CD,AB=2CD,E,E1 分别是棱 AD,AA1 上的点.设 F 是棱 AB 的中点,证 明:直线 EE1∥平面 FCC1.

图 2220 【证明】 因为 F 为 AB 的中点,所以 AB=2AF.

又因为 AB=2CD,所以 CD=AF. 因为 AB∥CD,所以 CD∥AF, 所以 AFCD 为平行四边形. 所以 FC∥AD. 又 FC?平面 ADD1A1,AD?平面 ADD1A1, 所以 FC∥平面 ADD1A1. 因为 CC1∥DD1,CC1?平面 ADD1A1,DD1?平面 ADD1A1, 所以 CC1∥平面 ADD1A1,又 FC∩CC1=C, 所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1?平面 ADD1A1, 所以 EE1∥平面 FCC1.

1.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 A1B1,CD,B1C1 的中点, 则正确命题是( )

图 2221 A.AE⊥CG B.AE 与 CG 是异面直线 C.四边形 AEC1F 是正方形
8

D.AE∥平面 BC1F 【解析】 由正方体的几何特征知,AE 与平面 BCC1B1 不垂直,则 AE⊥CG 不成立;由于 EG∥A1C1∥AC,故 A,E,G,C 四点共面,所以 AE 与 CG 是异 面直线错误;在四边形 AEC1F 中,AE=EC1=C1F=AF,但 AF 与 AE 不垂直, 故四边形 AEC1F 是正方形错误;由于 AE∥C1F,由线面平行的判定定理,可得 AE∥平面 BC1F.故选 D. 【答案】 D

2.如图 2222,四棱锥 PABCD 中,M,N 分别为 AC,PC 上的点,且 MN ∥平面 PAD,则( )

图 2222 A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 B ∥PA.] 3.已知直线 l∥平面 α,l?平面 β,α∩β=m,则直线 l,m 的位置关系是 ________. 【解析】 【答案】 由直线与平面平行的性质定理知 l∥m. 平行 [∵MN∥平面 PAD,平面 PAC∩平面 PAD=PA,MN?平面 PAC,∴MN

4.过两平行平面 α,β 外的点 P 的两条直线 AB 与 CD,它们分别交 α 于 A, C 两点,交 β 于 B,D 两点,若 PA=6,AC=9,PB=8,则 BD 的长为________. 【解析】 两条直线 AB 与 CD 相交于 P 点,所以可以确定一个平面,此平 PA AC 面与两平行平面 α,β 的交线 AC∥BD,所以PB=BD,又 PA=6,AC=9,PB= 8,故 BD=12. 【答案】 12

9

5.如图 2223,α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB∥α.求证:CD∥EF.

图 2223 【证明】 因为 AB∥α,AB?β,α∩β=CD,所以 AB∥CD.

同理可证 AB∥EF, 所以 CD∥EF.

学业分层测评(十一)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,那么这 n 条直线中与直线 a 平行的( ) B.至多有一条 D.没有

A.至少有一条 C.有且只有一条

【解析】 过 a 和平面内 n 条直线的交点只有一个平面 β,所以平面 α 与平 面 β 只有一条交线,且与直线 a 平行,这条交线可能不是这 n 条直线中的一条, 也可能是.故选 B. 【答案】 B

2.设 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,若 a∥α,a?β,α∩β=b,则 α 内与 b 相交的直线与 a 的位置关系是( A.平行 C.异面 【解析】 ) B.相交 D.平行或异面 条件即为线面平行的性质定理,所以 a∥b,

又 a 与 α 无公共点,故选 C. 【答案】 C )

3.下列命题中不正确的是(

A.两个平面 α∥β,一条直线 a 平行于平面 α,则 a 一定平行于平面 β
10

B.平面 α∥平面 β,则 α 内的任意一条直线都平行于平面 β C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面 与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 【解析】 选项 A 中直线 a 可能与 β 平行,也可能在 β 内,故选项 A 不正

确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平 面与这个平面平行,所以选项 C 正确;依据平面与平面平行的性质定理可知, 选项 B,D 也正确,故选 A. 【答案】 A

4.如图 2224,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G,H,则 GH 与 AB 的位置关 系是( )

图 2224 A.平行 C.异面 【解析】 B.相交 D.平行或异面 由长方体性质知:EF∥平面 ABCD,

∵EF?平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 ABCD=GH, ∴EF∥GH,又∵EF∥AB,∴GH∥AB,∴选 A. 【答案】 A

5.设平面 α∥平面 β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当点 A、B 分别在平 面 α,β 内运动时,动点 C( A.不共面 B.当且仅当点 A、B 分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当点 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.无论点 A,B 如何移动都共面 【解析】 无论点 A、B 如何移动,其中点 C 到 α、β 的距离始终相等,故 )

点 C 在到 α、β 距离相等且与两平面都平行的平面上.
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【答案】 二、填空题

D

6.如图 2225,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点, 点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.

图 2225 【解析】 因为 EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD,

平面 AB1C∩平面 ABCD=AC, 所以 EF∥AC.又点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上, 1 所以点 F 是 CD 的中点,所以 EF=2AC= 2. 【答案】 2

7.如图 2226 所示,直线 a∥平面 α,A?α,并且 a 和 A 位于平面 α 两侧, 点 B,C∈a,AB、AC 分别交平面 α 于点 E,F,若 BC=4,CF=5,AF=3,则 EF=________.

图 2226 【解析】 EF 可看成直线 a 与点 A 确定的平面与平面 α 的交线,∵a∥α,

由线面平行的性质定理知,BC∥EF,由条件知 AC=AF+CF=3+5=8. AF×BC 3×4 3 EF AF 又BC=AC,∴EF= AC = 8 =2. 【答案】 三、解答题 8.如图 2227 所示,四边形 ABCD 是矩形,P?平面 ABCD,过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于点 E,交 DP 于点 F,求证:四边形 BCFE 为梯形.
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3 2

图 2227 【证明】 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴BC∥AD.

∵AD?平面 APD,BC?平面 APD, ∴BC∥平面 APD. 又平面 BCFE∩平面 APD=EF, ∴BC∥EF,∴AD∥EF. 又 E,F 是△APD 边上的点, ∴EF≠AD,∴EF≠BC. ∴四边形 BCFE 是梯形. 9.如图 2228,S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 SA, AM DN BD 上的点,且 SM = NB ,求证:MN∥平面 SBC.

图 2228 AP AM 【证明】 在 AB 上取一点 P,使BP= SM ,连接 MP, NP,则 MP∥SB. ∵SB?平面 SBC,MP?平面 SBC,∴MP∥平面 SBC. AM DN AP DN 又 SM = NB ,∴BP= NB ,∴NP∥AD. ∵AD∥BC,∴NP∥BC. 又 BC?平面 SBC,NP?平面 SBC, ∴NP∥平面 SBC. 又 MP∩NP=P, ∴平面 MNP∥平面 SBC,而 MN?平面 MNP, ∴MN∥平面 SBC.
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[能力提升] 10.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中正确的是( A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 【解析】 对于 A,如图(1)所示,此时 n 与 α 相交,故 A 不正确;对于 B, 如图(2)所示,此时 m,n 是异面直线,而 n 与 α 平行,故 B 不正确;对于 D,如 图(3)所示,m 与 n 相交,故 D 不正确.故选 C. )

图(1) 【答案】 C

图(2)

图(3)

11.如图 2229,三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面是边长为 2 的正三角形,点 E,F 分别是棱 CC1,BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC=2FB=2,当 点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF.

图 2229 【解】 如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ,PB,BQ,则 PQ ∥AE.

因为 EC=2FB=2, 所以 PE=BF.所以四边形 BFEP 为平行四边形, 所以 PB
14

∥EF.又 AE,EF?平面 AEF,PQ,PB?平面 AEF, 所以 PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P,所以平面 PBQ∥平面 AEF.又 BQ?平面 PBQ,所以 BQ∥ 平面 AEF.故点 Q 即为所求的点 M,即点 M 为 AC 的中点时,BM∥平面 AEF.

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