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函数的应用练习题(学生)


函数的应用练习题
课程解读
一、学习目标:
1. 能利用函数的知识解决方程、不等式等简单问题。 2. 能建立函数模型解决简单的实际问题。 3. 理解数形结合的数学思想、分类讨论的数学思想、转化与化归的数学思想、换元法、待定 系数法、分离参数法等数学思想方法的应用。

二、重点、难点:
重点:利用函数知识解决方程、不等式等

简单问题。 建立函数模型解决简单的实际问题。 难点:建立函数模型解决实际问题。

三、考点分析:
函数的应用是新课标高考的重点知识,因此在复习时关键是掌握利用函数的知识解决问题 的思想与方法。 建立函数模型解决简单的实际问题是新课标高考考查学生应用意识的主要载体, 因此要掌握实际问题的建模方法与步骤才能突破解题的难点。 对这部分知识考查的题型很灵活, 主、客观题都会出现对函数应用的考查。

知识流程
一、利用函数知识解决方程、不等式等问题的数学思想和方法 1. 数学思想:数形结合、分类讨论、转化与化归等。 2. 数学方法:配方法、换元法、分离参数法等。 二、建立常见的函数模型解决实际问题的步骤 常见的函数模型:一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数 函数模型、分段函数模型、 y ? x ?

a 模型。 x 一般步骤:读题 ? 建模 ? 解模 ? 还原实际问题

练习题
一、选择题 1.某水果批发市场规定:批发水果不少于 王携带现金 3000 元到市场采购水果,并以批发 为 y 元,则 x 与 y 之间的函数关系为( A.y=3 000-2.5x,(100≤x≤1 200) C.y=3 000-100x,(100<x<1 200) ). B.y=3 000-2.5x,(100<x<1 200) D.y=3 000-100x,(100≤x≤1 200)
3a ? 4 ,则 a 的取值 a ?1

100 千克时,批发价为每千克 2.5 元,小 价买进水果 x 千克,小王付款后剩余现金

2. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f (1) ? 1 , f (2) ? 范围是( )
3 4 3 且 a ? ?1 4

(A) a ?

(B) a ?

(C) a ?

3 或 a ? ?1 4

(D) ? 1 ? a ?

3 4

3. 设 f ?x ? ? x 3 ? bx ? c 是 ?? 1, 1?上的增函数, 且 f ? ?

? 1? ?1? ? ? f ? ? ? 0 , 则方 f ?x ? ? 0 在 ? 2? ?2?

?? 1, 1?内

(

) (B)可能有 2 个实根
|x|

(A)可能有 3 个实根 4. 已知0<a<1,则方程a A.1个 B.2个

(C)有唯一实根 (D)没有实根 )

= |loga x|的实根个数是( D.1个或2个或3个 )

C.3个

5. 若logxy=-2,则x+y的最小值为(

A.

3?3 2 2

B.

2?3 3 3

C.

3 3 2
1

D.

2 2 3


6.已知 a ? ? 0, ?,设a a ,log 1 a, a 2中 最大值是M,最小值是m,那么(
2

? ?

1? 2?

A. m ? log 1 a, M ? a
2 1

a

B. m ? a , M ?
a 1

1 a2

C. m ? a 2 , M ? log 1 a
2

D. m ? a 2 , M ? a a
2

7.某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x

,x∈(0,240),若每台 )

产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( A.100台 B.120台 C.150台 D.180台

8.设函数f(x)对x ? R都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根,则这6个实根的和 为( A.0 B.9 ) C.12 D.18

9.某种细菌在培养过程中,每15分种分裂一次(由1个分裂为2个) ,经过两小时,1个这种细菌 可以分裂成( A.255个 B.256个 ) C.511个 D.512个

10. 将进货单价为80元的商品400个,按90元一个售出时能全部卖出,若这种商品每个涨价1元, 其销售数就减少20个,为了赚的最大利润,售价应定在( A.每个110 B.每个105 C.每个100元 D.每个95元 )

11. 已知 ? ? log 2 ? ? 2, ? ? log 3 ? ? 2, ,利用方程的几何意义,比较α、β 的大小( A. α<β C. α>β B. α=β D. α、β 的大小关系不能确定



12. 有一批材料可以建成长为200米的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场 地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图),则围成的矩形的最大面积是( A.100米2 B.10000米2 C.2500米2 D.6250米2 )

13.某公司在甲、 乙两地销售一种品牌车, 利润(单位: 万元)分别为L1=5.06x-0.15x

2

和L2=2x,

其中 x 为销售量 ( 单位:辆 ) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 ( ) B.45.6 D.45.51

A.45.606 C.45.56

14. 某市 2008 年新建住房 100 万平方米,其中有 25 万平方米经济适用房,有关部门计划以后 每年新建住房面积比上一年增加 5%,其中经济适用房每年增加 10 万平方米.按照此计划,当 年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据:1.05 =1.10, 1.05 =1.16,1.05 =1.22,1.05 =1.28) A.2010 年 C.2012 年 二、填空题 1.已知函数 f(x)=2mx+4 在区间[-2,1]上存在零点,则实数 m 的取值范围是______. 2. 已知函数 f(x)=ax2+bx+c 的两个零点是-1 和 2,且 f(5)<0,则此函数的单调递增区间 为 . 3. 设 a ? 0, a ? 1 , 函 数 f ( x) ? a ? x 是 增 函 数 , 则 不 等 式 loga ( x2 ? 5x ? 7) ? 0 的 解 集 为 . B.2011 年 D.2013 年
3 4 5 2

(

)

4. 对 a , b?R , 记 max{ a ,b} ? 是 .

?

a , a≥b , { ? 函 数 f ( x )? m a x x b ,a ? b.

1?, 3 x( x }?R ) 的 最 小 值

5. 不等式 4 x ? log3 x ? x 2 ? 5 的解集是_______。 6. 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法 进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立 方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成 正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式 1 t-a 为 y=( ) (a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: 16 (1) 从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y( 毫克 ) 与时间 t( 小时 ) 之间的函数关系为 ________________; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么从药 物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 7. 鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛, 预计 卖出门票 2.4 万张, 票价有 3 元、 5 元和 8 元三种, 且票价 3 元和 5 元的张数的积为 0.6 万张. 设

x 是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,该俱乐部的纯收入为函数 y=lg2x,则这三
种门票的张数分别为__________________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. 三、解答题 1. 若二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1 有一个零点小于-1,一个零点大于 3,求实数 a 的取值 范围.

2. 已知 ? , ? 是关于 x 的方程 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 2k ? 4 ? 0 的两个实根,则实数 k 为何值时, ? 大 于 3 且 ? 小于 3?

3. 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) ? 2 , m , n 是方程 f ( x ) ? 0 的两根,且 a ? b , m ? n 试判断实数 a ,
b , m , n 的大小关系.

4.某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报的价格为每份0.12元,卖出的价格是每份0.20元, 卖不掉的报纸还可以每份0.04元的价格退回报社。在一个月内(以30天计算) ,有20天每天可卖 出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的报纸份数必须相同。他每天应该 从报社买进多少份报纸,才能使每月可获得的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元?

5. 已知关于x的方程 x ? x ? m 有且只有一个实数根,求m的取值范围.

6. 如图A,B,C为函数 y ? log 1 x 的图象上的三点,它们的横坐标分别是t,t+2,t+4(t ? 1)
3

(1)设 ? ABC的面积为S求S=f(t); (2)判断函数S=f(t)的单调性; (3)求S=f(t)的最大值.

7.(2008 湖北,文、理 19) 如图, 要设计一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分) , 2, 这两栏的面积之和为 18000cm 四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm, 怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

8.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产必须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔 以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不陪付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量

t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t . 若乙方每生产一吨产品必须陪付甲方 s 元(以下称 s 为陪付价
格),将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t 的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量.

9. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力,加速城市之间的流 通.根据测算,如果一列火车每次拖 4 节车厢,每天能来回 16 次;如果每次拖 7 节车厢,则每 天能来回 10 次.每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢一次能载客 110 人, 试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多?并求出每天最多的营运人数(注: 营运人 数指火车运送的人数).

10. 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源, 待货物售出 后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨.该经销店 为提高经营利润, 准备采取降价的方式进行促销. 经市场调查发现: 当每吨售价每下降 10 元时, 月销售量就会增加 7. 5 吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费 用 100 元.设每吨材料售价为 x(元),该经销店的月销售量为 p(吨),月利润为 y(元),月销售 额为 w(元), . (1)当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量;求出 p 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的 取值范围); (2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说: “当月利润最大时,月销售额也最大. ”你认为对吗?请说明理由。


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