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河北省唐山市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题


唐山市 2014-2015 学年度高三年级第二次模拟考试

理 科
符合题目要求的. )






一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 (1)设集合 A={-1,0,1,2,3}, B={x|x2-2x>0}

,则 A∩B=( A.{3} C.{-1,3} (2)在复平面内,复数 z 与 B.{2,3} D.{0,1,2}

5 的对应点关于虚轴对称,则 z= i-2

A.2+i B.-2-i C.-2+i D.-2-i (3)在等差数列{an}中,a7=8,前 7 项和 S7=42,则其公差 d= 2 2 1 1 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 (4)执行如图所示的程序框图,如果输入的 a=209,b=76,则输出的 a 是 A.19 B.3 C.57 D.76 (5)设 a ? log3 ? , b ? log ? 3, c ? cos3 ,则 A、b>a>c B、c>b>a C、a>c>b D、a>b>c

(6)函数 y=4sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π )的部分图象如图,其中 A(

2π 8π ,0),B( 3 3 ,0),则

2π 1 A.ω= ,φ=- 2 3 π 1 C.ω= ,φ=- 2 3

B.ω=1,φ=-

2π 3 π D.ω=1,φ=- 3

?2 x ? y ? 1 ? 0 y (7)设实数 x,y 满足约束条件 ? ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z= x ? 1 的取值范围 ?x? y?2?0 ?


1 ,1 ] 5 1 3 C.[ , ] 6 2
A.[ A.

B.[

1 5 , ] 5 4 1 5 D.[ , ] 6 4

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

4 3

B.

5 2

C.

7 3

D.3

(9)一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得 2 分、1 分、0 分。已知甲球队已赛 4 场,积 4 分,在这 4 场比赛中,甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有 (A)7 种 (B)13 种 (C)18 种 (D)19 种 (10)在△ABC 中,AB=2BC,以 A,B 为焦点,经过 C 的椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 A.

1 1 ? =1 e1 e2

B.

1 1 ? =2 e1 e2

C.

1 1 ? 2 =1 2 e1 e2

D.

1 1 ? 2 =2 2 e1 e2

(11)已知函数 f ( x) ? ? 的个数是 (A)8

?
2x

, g ( x) ? x cos x ? sin x ,当 x ?[?3? ,3? [ 时,方程 f(x)=g(x)根
(C)4 (D)2

(B)6

(12)已知圆 C:x2+y2=1,点 M(t,2),若 C 上存在两点 A,B 满足 MA = AB ,则 t 的取值范围 是 A.[-2,2] C.[- 5 , 5 ] B.[-3,3] D.[-5,5]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) (13)已知|a|= 3,|b|=2,若(a+b)⊥a ,则 a 与 b 的夹角是 (14)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,an =4Sn-3,则 S4= . .

(15)在三棱锥 P―ABC 中,△ABC 与△PBC 都是等边三角形,侧面 PBC⊥底面 ABC,AB=2 3, 则该三棱锥的外接球的表面积为 . (16)曲线 x ?

y =1 与两坐标轴所围成图形的面积是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) (17) (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 2 (a2-b2) csinB=2accos B+bc. (Ⅰ)求 A; π (Ⅱ)D 为边 BC 上一点,BD=3DC,∠DAB= ,求 tanC. 2

(18) (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P―ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,侧面 PAD 是等边 三角形,平面 PAD⊥平面 ABCD,M,N 分别是棱 PC,AB 的中点,且 MN⊥CD. (Ⅰ)求证:AD⊥CD; (Ⅱ)若 AB=AD,求直线 MN 与平面 PBD 所成角的正弦值。

(19) (本小题满分 12 分) 某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进 行问卷调查,结果如下表: 支持 中型企业 小型企业 80 240 不支持 40 200 合计 120 440

合计 320 240 560 (Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗” 与“企业规模”有 关? (Ⅱ)从上述 320 家支持节能降耗改造的中小型企业中按分层抽样的方法抽出 12 家,然后从这 12 家中选出 9 家进行奖励,分别奖励中、小企业每家 50 万元、10 万元,记 9 家企业所获奖励总数 为 X 万元,求 X 的分布列和数学期望. 附 : K2 = 2 P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 n(ad-bc) , k 3.841 5.024 6.635 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E:x2=4y,m,n 是过点 A(a,一 1)且倾斜角互补的两条直线,其中 m 与 E 有唯 一公共点 B,n 与 E 交于不同的两点 C,D. (Ⅰ)求 m 的斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 ? ,使得|AC|·|AD|= ? |AB|2?若存在,求 ? 的值;若不存在,说 明理由。

(21) (本小题满分 12 分) 1 1 1 已知 f(x)= x+ +alnx, g ( x) ? x ? ? ( ? x) ln x ,其中 a∈R. x x x (Ⅰ)证明:g (t)= g

(1 ),并求 g(x)的最大值; t

(II)记 f(x)的最小值点为 h(a) ,证明:函数 y ? h(a) 有两个互为相反数的零点。

(22) (本小题满分 10 分) 如图,AB 为圆 O 的直径,PB,PC 分别与圆 O 相切于 B,C 两点,延长 BA,PC 相交于点 D. (Ⅰ) 证明:AC∥OP; (Ⅱ)若 CD=2,PB=3,求 AB .

(23) (本小题满分 10 分)

3 π 在极坐标系中,曲线 C:ρ=2acos θ(a>0) ,l:ρcos( θ- )= ,C 与 l 有且只有一个公共 3 2
点. (Ⅰ)求 a; π (Ⅱ)O 为极点,A,B 为 C 上的两点,且∠AOB= ,求|OA|+|OB |的最大值. 3

(24) (本小题满分 10 分) 设 f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为 m. (Ⅰ)求 m; (Ⅱ)若 a,b,c∈(0,+∞) ,a2+2b2+c2=m,求 ab+bc 的最大值.

唐山市 2014—2015 学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CBDAD CBADA BC B 卷:BCDAD CBAAD CB 二、填空题: 20 1 (13)150° ; (14) ; (15)20π; (16) . 27 6 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)因为 2ac cos B=a2+c2-b2,所以 2(a2-b2)=a2+c2-b2+bc. ?2 分 1 2π 整理得 a2=b2+c2+bc,所以 cos A=- ,即 A= . 2 3 π π (Ⅱ)因为∠DAB= ,所以 AD=BD·sin B,∠DAC= . 2 6 在△ACD 中,有 AD CD = ,又因为 BD=3CD, sinC sin∠DAC ?9 分 ?11 分 ?12 分 ?4 分 ?6 分

所以 3sin B=2sin C, π 3 3 3 由 B= -C 得 cosC- sin C=2sin C, 3 2 2 3 3 整理得 tan C= . 7

(18)解: z P (Ⅰ)证明: 取 PD 中点 E,连 AE,EM, M E 则 EM∥AN,且 EM=AN, 四边形 ANME 是平行四边形,MN∥AE. ?2 分 C D 因为 MN⊥CD,所以 AE⊥CD. 取 AD 中点 O,连 PO,则 PO⊥AD. y O xA 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD, B N 所以 PO⊥平面 ABCD,PO⊥CD. ?4 分 故 CD⊥平面 PAD,AD⊥CD. ?5 分 (Ⅱ)由 AB=AD,AD⊥CD,得□ABCD 是正方形, 建立如图所示空间直角坐标系,设 AB=2,则 1 3 A(1,0,0),B(1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3),E - ,0, . 2 2

(

)

→ DB =(2,2,0),→ DP =(1,0, 3),
设平面 PBD 的法向量 m=(x,y,z),则 ?2× x+2× y+0× z=0, ? 取 m=( 3,- 3,-1). x+0× y+ 3× z=0, ?1× 3 3 → MN =→ EA = ,0,- , 2 2 设直线 MN 与平面 PBD 所成的角为 θ,则

?7 分 ?9 分 ?10 分

(

)

→ |MN·m| 2 7 sin θ=| cos?→ MN ,m?|= = . ?12 分 7 |→ MN ||m| (19)解: 560(80×200-40×240)2 (Ⅰ)K2= ≈5.657,因为 5.657>5.024, 120×440×320×240 所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有 关. ?4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知“支持”的企业中,中小企业家数之比为 1:3, 按分层抽样得到的 12 家中,中小企业分别为 3 家和 9 家. 设 9 家获得奖励的企业中,中小企业分别为 m 家和 n 家,则(m,n)可能为 (0,9) , (1,8) , (2,7) , (3,6) .与之对应, X 的可能取值为 90,130,170,210. ?6 分 0 9 1 8 C3 C9 1 C3 C9 27 P(X=90)= 9 = , P(X=130)= 9 = , C12 220 C12 220 2 7 3 6 C3 C9 108 C3 C9 84 P(X=170)= 9 = , P(X=210)= 9 = , ?10 分 C12 220 C12 220 分布列表如下: X 90 130 170 210 1 27 108 84 P 220 220 220 220 1 27 108 84 期望 EX=90× +130× +170× +210× =180. ?12 分 220 220 220 220 (20)解: (Ⅰ)m:y+1=k(x-a),n:y+1=-k(x-a),分别代入 x2=4y,得 x2-4kx+4ka+4=0 (1) , 2 x +4kx-4ka+4=0 (2) , 由Δ 1=0 得 k2-ka-1=0, 由Δ 2>0 得 k2+ka-1>0, 故有 2k2-2>0,得 k2>1,即 k<-1,或 k>1. ?5 分 (Ⅱ)假设存在常数 λ,使得|AC|·|AD|=λ|AB|2, B(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2), 则(y1+1)(y2+1)=λ(y0+1)2. ?7 分 将 y1+1=-k(x1-a),y2+1=-k(x2-a),y0+1=k(x0-a)代入上式,得 (x1-a)(x2-a)=λ(x0-a)2,即 x1x2-a(x1+x2)+a2=λ(x0-a)2. ?9 分 由(2)得 x1+x2=-4k,x1x2=-4ka+4, 由(1)得 x0=2k,代入上式,得 4+a2=λ(4k2-4ka+a2). ?11 分 2 2 又Δ 1=0 得 k -ka-1=0,即 4k -4ka=4, 因此 4+a2=λ(4+a2),λ=1. 故存在常数 λ=1,使得|AC|·|AD|=λ|AB|2. ?12 分 (21)解: 1 1 1 1 1 1 (Ⅰ)因为 g = +x+ x- ln =x+ + -x ln x, x x x x x x

( )

(

)

(

)

所以 g (x)=g

(1 ). x

?2 分

则 g ?(x)=- 1+

(

1 ln x, x2

)

?3 分

当 x∈(0,1)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,g ? (x)<0,g (x)单调递减. 所以 g (x)的最大值为 g (1)=2. 1 a x +ax-1 (Ⅱ)f ?(x)=1- 2+ = . x x x2 不妨取 t=
2

?5 分 ?6 分

a2+4-a 1 >0,由此得:t2+at-1=0 或写为:a= -t. 2 t

当 x∈(0,t)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 当 x∈(t,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. 1 1 1 f (x)的最小值为 f (t)=t+ +aln t=t+ + -t ln t t t t

(

)

?8 分

a2+4-a 1 1 即 h (a)=t+ + -t ln t=g (t)(或 h (a)= a2+4+aln ) . t t 2

(

)

由(Ⅰ)可知 g

(e1 )=g (e )=e3 -e <0,g (1)=2>0,
2 2 2 2

分别存在唯一的 c∈(0,1)和 d∈(1,+∞), 使得 g (c)=g (d)=0,且 cd=1, 1 因为 a= -t(t>0)是 t 的减函数, t 1 1 所以 y=h (a)有两个零点 a1= -d 和 a2= -c, d c c +d 1 1 又 -d+ -c= -(c+d)=0, d c cd 所以 y=h (a)有两个零点且互为相反数. (22)解: (Ⅰ)证明:因 PB,PC 分别与圆 O 相切于 B,C 两点, 所以 PB=PC,且 PO 平分∠BPC, 所以 PO⊥BC,又 AC⊥BC,即 AC∥OP. (Ⅱ)由 PB=PC 得 PD=PB+CD=5, 在 Rt△PBD 中,可得 BD=4. 则由切割线定理得 DC2=DA ? DB, 得 DA=1,因此 AB=3. (23)解: (Ⅰ)曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆; l 的直角坐标方程为 x+ 3y-3=0. |a-3| 由直线 l 与圆 C 相切可得 =a,解得 a=1. 2 π (Ⅱ)不妨设 A 的极角为 θ,B 的极角为 θ+ , 3

?10 分

?12 分

?4 分

?10 分

?4 分

则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos θ+ =3cos θ- 3sin θ=2 3cos θ+

(

π 3

)

(

π , 6

)

π 当 θ=- 时,|OA|+|OB|取得最大值 2 3. 6

?10 分

(24)解: (Ⅰ)当 x≤-1 时,f (x)=3+x≤2; 当-1<x<1 时,f (x)=-1-3x<2; 当 x≥1 时,f (x)=-x-3≤-4. 故当 x=-1 时,f (x)取得最大值 m=2. ?4 分 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)a +2b +c =(a +b )+(b +c )≥2ab+2bc=2(ab+bc), 当且仅当 a=b=c= 2 时,等号成立. 2 ?10 分

此时,ab+bc 取得最大值 1.


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