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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 立体几何初步双基限时练13(含解析)新人教B版必修2


双基限时练(十三)
基 础 强 化 1.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( A.1 C.无数 B.2 D.1 或无数 )

解析 当直线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直,当直线与平面不垂直时, 只有一个过直线的平面与已知平面垂直. 答案 D 2.如果直线 l,m 与平面 α ,β ,γ 满足:l=β ∩γ ,l∥α ,m? α 且 m⊥γ ,那么 必有( ) B.α ⊥γ 且 l⊥m D.α ∥β 且 α ⊥γ

A.α ⊥γ 且 m∥β C.m∥β 且 l⊥m 解析 ∵m? α ,m⊥γ ,∴α ⊥γ . ∵l=β ∩γ ,∴l? γ ,∴m⊥γ ,∴m⊥l. 答案 B

3.下列命题中 a,b,c 表示直线,α 、β 、γ 表示平面,正确的是( A.若 a∥β ,b∥β ,则 a∥b B.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β C.若 α ⊥β ,a? α ,b? β ,则 a⊥b D.若 a⊥α ,a⊥b,b?α ,则 b∥α

)

解析 A、C 选项中 a 与 b 的位置关系不确定,B 选项中 α 与 β 的关系不确定,D 选项 正确. 答案 D 4.已知 l、m、n 是三条不同的直线,下列不正确的是( A.若 m∥n,n⊥β ,m? α ,则 α ⊥β B.若 α ⊥β ,a? α ,则 a⊥β C.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,则 l⊥γ D.若 α ⊥β ,α ∩β =l,m∥α ,m⊥l,则 m⊥β 解析 B 选项中 a 与 β 可能相交、平行或在 β 内. 答案 B 5.已知两直线 m、n,两平面 α 、β ,且 m⊥α ,n? β ,下面有四个命题: ①若 α ∥β ,则 m⊥n;②若 m⊥n,则 α ∥β ;③若 m∥n,则有 α ⊥ β ;④若 α ⊥β , 则有 m∥n. 其中正确命题的个数是( )
1

)

A.0 C.2 解析 ①③正确. 答案 C 6.

B.1 D.3

在正三棱锥 P-ABC 中,D、E 分别是 AB、BC 的中点,有下列四个论断: ①AC⊥PB;②AC∥平面 PDE;③AB⊥平面 PDE;④平面 PDE⊥平面 ABC. 其中正确的个数为( A.1 个 C.3 个 解析 ①②正确. 答案 B 7.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点 O,且一点 P 到这三个平面的距离分别为 3,4,5,则 OP 的长为____________. 解析 OP 可看作是以 3,4,5 为棱长的长方体的体对角线. 答案 5 2 8.已知 α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线,给 出四个论断: ①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 __________. 答案 ①③④? ②或②③④? ① 能 力 提 升 9.平面 α ⊥平面 β ,α ∩β =l,n? β ,n⊥l,直线 m⊥α ,则直线 m 与 n 的位置关 系是________. 解析 由题意知 n⊥α ,而 m⊥α ,∴m∥n. ) B.2 个 D.4 个

2

答案 平行 10.

1 如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,ABCD 是正方形,ABEF 是矩形,且 AF= AD=a,G 是 EF 2 的中点,求证:平面 AGC⊥平面 BGC. 证明 ∵ABCD 是正方形,∴AB⊥ BC. ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,且平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴BC⊥平面 ABEF. ∵AG? 平面 ABEF,∴BC⊥AG. ∵AD=2a,AF=a,ABEF 是矩形,G 是 EF 中点, ∴AG=BG= 2a. ∵AB=2a,AB =AG +BG ,∴AG⊥BG. ∵BG∩BC=B,∴AG⊥平面 BGC. ∵AG? 平面 AGC,∴平面 AGC⊥平面 BGC. 11.
2 2 2

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,M,N 分别 为 A1B,B1C1 的中点. (1)求证:BC∥平面 MNB1; (2)求证:平面 A1CB⊥平面 ACC1A1. 证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,

BC∥B1N,B1N? 平面 MNB1,BC?平面 MNB1,
∴BC∥平面 MNB1. (2)∵C1C⊥平面 ACB,而 BC? 平面 ACB, ∴C1C⊥BC. ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
3

∵AC∩CC 1=C,AC,CC1? 平面 A1ACC1, ∴BC⊥平面 ACC1A1,又 BC? 平面 A1CB, ∴平面 A1CB⊥平面 ACC1A1. 12.

如图,A、B、C、D 是空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2,等边△ADB 所在的 平面以 AB 为轴可转动.

(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD 的长; (2)当△ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD?请证明你的结论. 证明 (1)设 AB 中点为 O,连接 OC、OD,则 OD⊥AB, ∵平面 ADB⊥平面 ABC,OD? 平面 ABD,平面 ADB∩平面 ABC=AB ,∴OD⊥平面 ABC. ∵OC? 平面 ABC,∴OD⊥OC. 在等边三角形 ABD 中,AB=2,∴OD= 3. 在△ABC 中,AC=BC= 2,AB=2,∴OC=1. 在 Rt△COD 中,CD= OC +OD =2. (2)当△ADB 转动的过程中,总有 OC⊥AB,OD⊥AB, ∴AB⊥平面 COD,∴AB⊥CD. 当△ADB 转动到与△ABC 共面时,仍有 AB⊥CD, 故△ADB 转动过程中,总有 AB⊥CD. 品 味 高 考 13.
2 2

如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂 足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA.

4



(1)∵AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,

∴F 是 SB 的中点. 又∵E 是 SA 的中点,所以 EF∥AB. ∴EF?平面 ABC,AB? 平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC. 又 EF∩EG=E, ∴平面 E FG∥平面 ABC. (2) ∵平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, 又 AF? 平面 SAB,AF⊥ SB, ∴AF⊥平面 SBC, ∵BC? 平面 SBC, ∴AF⊥BC. 又∵AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB? 平面 SAB, ∴BC⊥平面 SAB. ∵SA? 平面 SAB, ∴BC⊥SA.

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