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福建省三明一中、二中2013届高三上学期期末联考数学理试题


三明市 2013 届高三联考数学理试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且 只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置。 1.已知平面向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。, 则实数
错误! 未 找到引 用源。 的

值为 A.错误!未找到引用源。
未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

C.错误!

2.设集合 ,错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,则实 错误!未找到引用源。 数错误!
未找到 引用源。

的值为 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!
未找到 引用源。

D.错
误! 未找 到引用 源。

3.已知直线错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,直线错误!未找到引用源。, 则“错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 4. 定义: 错误! 未找到引用源。 .若复数错误! 未找到引用源。 满足错误! 未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。等于 A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!

D.错误!未找到引用源。 D. 错

5.函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处的切线方程是 A. 错误! 未找到引用源。 B. 错误! 未找到引用源。 C. 错误! 未找到引用源。

误!未找到引用源。

6. 某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是

A.错误!未找到引用源。
误!未找到引用源。

B. 错误! 未找到引用源。

C. 错误! 未找到引用源。 D. 错

7. 若函数错误!未找到引用源。的图象(部分)如图所示, 则错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的取值是 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 y C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 8. 若函数错误!未找到引用源。的零点与错误!未找到引用源。 的零点之差的绝对值不超 O 过错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。可以是 错误!未找到引用源。x 错误!未找到引用源。 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 9.已知错误!未找到引用源。,若方程错误!未找到引用源。存在三个不等的实根错误! 未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的取值范围是 A.错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引 用源。 D.错误!未找到引用源。 10.已知集合错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误! 未找到引用源。错误!未找到引用源。。若存在实数错误!未找到引用源。使得错误!未找
到引用源。成立,称点错误!未找到引用源。为“£”点,则“£”点在平面区域错误!未 找到引用源。内的个数是

A. 0

B.1

C.2

D. 无数个

第二卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上. 11. 已知随机变量错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用

源。等于 ******.

12.某几何体的三视图如下右图所示,则这个几何体的体积是 ****** .

13. 已知抛物线错误!未找到引用源。的准线错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找
到引用源。相切, 则双曲线错误!未找到引用源。的离心率错误!未找到引用源。****** .

14.在平面直角坐标系中,不等式组错误!未找到引用源。所表示的平面区域的面积是 9,则 实数错误!未找到引用源。的值为 ****** . 15. 已知不等式错误!未找到引用源。,若对任意错误!未找到引用源。且错误!未找到引 用源。,该不等式恒成立,则实 数错误!未找到引用源。的取值范围是 ****** . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 13 分) 在等差数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,其前错误!未找到引用源。 项和为错误!未找到引用源。,等比数列错误!未找到引用源。的各项均为正数,错误!未 找到引用源。,公比为错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。, 错误!未找到引 用源。. (Ⅰ)求错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。; (Ⅱ)证明:错误!未找 到引用源。. 17. (本小题满分 13 分) 已知向量错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求错误!未找到引用源。的解析式; (Ⅱ)求由错误!未找到引用源。的图象、错误!未找到引用源。轴的正半轴及错误!未找
到引用源。轴的正半轴三者围成图形的面积。

18. (本小题满分 13 分)图一,平面四边形错误!未找到引用源。关于直线错误!未找到 引用源。对称,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.把 错误!未找到引用源。沿错误!未找到引用源。折起(如图二) ,使二面角错误!未找到引用 源。的余弦值等于错误!未找到引用源。. C A

B

D

对于图二,完成以下各小题: (Ⅰ)求错误!未找到引用源。两点间的距离; (Ⅱ)证明:错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。; (Ⅲ)求直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的正弦值.

19. (本小题满分 13 分) 二十世纪 50 年代,日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动 失调、四肢麻木等症状,人们把它称为水俣病.经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲 基汞,使鱼类受到污染.人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒. 引起世人对 食品安全的关注. 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm. 罗非鱼是体型较大,生命周期长的食肉鱼,其体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗 非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数 字为茎,小数点后一位数字为叶)如下: 罗非鱼的汞含量 (ppm)

0 1 3 2 1 5 9 8 7 3 2 1 1 2 3 5 4
(Ⅰ)若某检查人员从这 15 条鱼中,随机地抽出 3 条,求恰有 1 条鱼汞含量超标的概率; (Ⅱ)以此 15 条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批数量很大的鱼中任选 3 ........ 条鱼,记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求 ξ 的分布列及 Eξ 20. (本小题满分 14 分) 已知焦点在错误!未找到引用源。轴上的椭圆错误!未找到引用源。过点错误!未找到引用 源。,且离心率为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为椭圆错误!未找到引用 源。的左顶点. (1)求椭圆错误!未找到引用源。的标准方程; (2)已知过点错误!未找到引用源。的直线错误!未找到引用源。与椭圆错误!未找到引 用源。交于错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。两点. ① 若直线错误!未找到引用源。垂直于错误!未找到引用源。轴,求错误!未找到 引用源。的大小; ② 若直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴不垂直,是否存在直线 错误!未找到引用源。使得错误!未找到引用源。为等腰三角形?如果存在,求出直线错 误!未找到引用源。的方程;如果不存在,请说明理由. 21. (本小题共 14 分) 已知错误!未找到引用源。是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意错误!未找到引用
源。,

① 方程错误!未找到引用源。有实数根;② 函数错误!未找到引用源。的导数错误!未

找到引用源。满足错误!未找到引用源。.



普通高中 2012—2013 学年第一学期三明一、二中联合考试

高三数学(理科)答案

三、解答题 16.解: (Ⅰ)设错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。, 因 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 所 以 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。????????????????3 分 解得 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(舍) 错误!未找到引 , 用源。. 故 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。.??????????????6 分 (Ⅱ)因为错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。.??????????????9 分 故错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
错 误 ! 未 找 到 引 用 源。?????????????????????????11 分

因为错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用 源。≤错误!未找到引用源。,于是错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。. 即 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ≤ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ?????????????????13 分 17.解: (Ⅰ)错误!未找到引用源。 ????2 分 错误!未找到引用源。????????????4 分 错误!未找到引用源。????????????6 分 错误!未找到引用源。, ∴ 错误! 未找到引用源。 。 ?????????????????????????? 7分 (Ⅱ)令错误!未找到引用源。=0,解得错误!未找到引用源。 易知错误!未找到引用源。的图象与错误!未找到引用源。 轴正半轴的第一个交点 为错误!未找到引用源。。 ????????9 分 所以错误!未找到引用源。的图象、错误!未找到引用源。轴的正半轴及 x 轴的正半 轴三者围成图形的面积 错误!未找到引用源。。???????????????????????11 分 错误! 未找到引用源。 ??????????????????????? 13 分 18.解: (Ⅰ)取错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。 ,连接错误!未找到 引用源。 ,

由错误!未找到引用源。,得:错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。就是二面角错误!未找到引用源。的平面角,即错误!未找到引用 源。 ???????2 分 在错误!未找到引用源。中,解得错误!未找到引用源。,又错误!未找到引用源。 错误! 未找到引用源。, 解得错误!未找到引用源。。 ???????????????? 4分 (Ⅱ)由错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。, 又错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。平面错误! 未找到引用源。.?????8 分 (Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。平面错误!未找到引用源。 ∴平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,平面错误!未找到引用源。平面 错误!未找到引用源。, 作错误!未找到引用源。 交错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。 ,则错误!未找 到引用源。平面错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 就是 错误!未找到引用源。 与平面 错误!未找到引用源。 所成的 角。?????????????????11 分 ∴错误!未找到引用源。.?????????????????13 分 方法二:设点错误!未找到引用源。到平面错误!未找到引用源。的距离为错误!未找到引 用源。, ∵错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 , ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ,?????????????????????????????11 分 于是错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角错误!未找到引用源。的 正弦为错误!未找到引用源。.?????????13 分 方法三:以错误!未找到引用源。所在直线分别为错误!未找到引用源。轴,错误!未找到 引用源。轴和错误!未找到引用源。轴建立空间直角坐标系错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。. 设平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用 源。, 取 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 则 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。, ?????????????????????11 分 于是错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角错误!未找到引用源。的正 弦错误!未找到引用源。.???13 分 19.解: (I)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A 则错误!未找到引用源。. ∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为错误!未找到引用

源。 ??????5 分 (II)解法一:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P=错误!未找到引用 源。,??7 分 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下: ξ 0 1 2 3 ?11 分 错误! 未找到 错误! 未找到 错误! 未找到 错误! 未找到 P(ξ ) 引用源。 引用源。 引用源。 引用源。 所以 ξ ~错误!未找到引用源。, ?????????12 分 所以 Eξ =1. ????????????13 分 解法二:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P=错误!未找到引用 源。, ??7 分 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下: ξ 0 1 2 3 ? ? ? 11 错误!未找 错误!未找 错误!未找 错误!未找 分 P(ξ ) 到引用源。 到引用源。 到引用源。 到引用源。

所以 Eξ =错误!未找到引用源。. ??????????13 分 20.解: (Ⅰ)设椭圆错误!未找到引用源。的标准方程为错误!未找到引用源。,且错误! 未找到引用源。. 由 题 意 可 知 : 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. ?????????2 分 解得错误!未找到引用源。. ∴ 椭圆错误!未找到引用源。的标准方程为错误!未找到引用 源。. ?????????3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得错误!未找到引用源。.设错误!未找到引用源。. (ⅰ)当直线错误!未找到引用源。垂直于错误!未找到引用源。轴时,直线错误! 未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。 解得:错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。(不妨设点错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。 轴上方). ???????5 分 则直线错误!未找到引用源。的斜率错误!未找到引用源。,直线错误!未找到引用 源。的斜率错误!未找到引用源。. ∵ 错误!未找到引用源。,得 错误!未找到引用源。. ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. ???????????????6 分 (ⅱ)当直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴不垂直时,由题意 可设直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。. 由错误!未找到引用源。消去错误!未找到引用源。得:错误!未找到引用源。.

因为 点错误!未找到引用源。在椭圆错误!未找到引用源。的内部,显然错误!未找
到引用源。.

???????????8 分 因为 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 所以 错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. ∴ 错误!未找到引用源。. 即错误!未找到引用源。为直角三角 形. ?????11 分 假设存在直线错误!未找到引用源。使得错误!未找到引用源。为等腰三角形,则 错误!未找到引用源。. y A 取错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。,连接错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。. x O Q N 记点错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。. B 另一方面,点错误!未找到引用源。的横坐标错误!未找到引用源。, ∴点错误!未找到引用源。的纵坐标错误!未找到引用源。. 又 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 故错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。不垂直,矛盾. 所以 当直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴不垂直时,不存在直 线错误!未找到引用源。使得错误!未找到引用源。为等腰三角形. ???????????????13 分 21.解: (Ⅰ)因为①当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。, 所以方程错误!未找到引用源。有实数根 0; ②错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。,满足条件错误!未找到引用源。; 由①②,函数错误!未找到引用源。是集合错误!未找到引用源。中的元 素. ????5 分 (Ⅱ)假设方程错误!未找到引用源。存在两个实数根错误!未找到引用源。,错误!
未找到引用源。错误!未找到引用源。,

则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 不妨设错误!未找到引用源。 ,根据题意存在错误!未找到引用源。 , 满足错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 ,

所以错误!未找到引用源。. 与已知错误!未找到引用源。矛盾.又错误!未找到引用源。有实数根, 所以方程错误!未找到引用源。有且只有一个实数根. 分 (Ⅲ)当错误!未找到引用源。时,结论显然成立; ????????11 分 当错误!未找到引用源。,不妨设错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。 为增函数,那么错误!未找到引用源。. 又因为错误!未找到引用源。,所以函数错误!未找到引用源。为减函数, ????10


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