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辽宁省铁岭市六校协作体2013届高三10月第一次联合考试(数学文)


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辽宁省铁岭市六校协作体2013届高三10月第一次联 合考试(数学文)
命题学校:昌图一高 考试时间:120分钟 满分:150分 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题只有一项是符合题目要求的。

1、设P = ? x x ? 1? , Q ? ? x x 2 ? 4? , 则P ? Q ?
A.? x ? 1 ? x ? 2? C.? x 1? x 4 ? ?





B.? x ? 3 ? x ? ?1? D.? x ? 2 ? x ? 1?


2、给出如下四个命题:其中不正确的命题的个数是( ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题;

a b ②命题“若 a ? b, 则2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”;

a

b

③ “ ?x ∈R, x +1≥1”的否定是 “ ?
2

x ∈R, x 2 +1≤1”;

④ 在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件.

A.4 C.2
3、函数

B.3 D.1

f ? x ? ? log 2 ? 3x ? 1?

的值域为





A. ? 0, ?? ? C. ?1, ?? ?

? B. ?0, ?? ? ? D. ?1, ?? ?

4、已知锐角?ABC的面积为3 3,BC=4,CA=3,则角C的大小为
( )

A.75? C.30?

B.60? D.45?

5、函数f ? x ? =x3 +ax-2在区间?1, ??? 上是增函数,则实数a的取值范围是( A.??3, ??? C.? ?3, ??? B.?3, ??? D.? ??, ?3?
三年数学(文科)试题 共4页 第1页



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6、若

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cos 2? 2 =,则sin? +cos?的值为 ?? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ? (
7 2
B. ? 1 2



A. ?
1 2

C.

D.
| ? |?

7 2

7、给出函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 ,

?

2 ))的图象的一段右图所示,则 f ( x) ?

3sin(2 x ? ) A. . 6 10 ? 3sin( x ? ) C. 11 6 )

?

? 3sin(2 x ? ) B. 6 )
10 ? 3sin( x ? ) D. 11 6

8 、 函 数 f (x) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x) ? f (2 ? x) , 且 当 x ? (??, 1) 时 ,

( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,设
A. a ? b ? c C. c ? b ? a

1 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3). 2 则
B. c ? a ? b D. b ? c ? a





??? 2 ??? 1 ???? ???? 1 ??? 2 ???? ? ? ? AP ? AB ? AC AQ ? AB ? AC 5 5 4 3 9、设 P 、Q 为 ?ABC 内的两点,且 , ,则 ?ABP
的面积与 ?ABQ 的面积之比为 ( )

4 A. 5 4 C. 3

8 B. 5 3 D. 10

?2? x ? 1( x ? 0) ? 10、已知函数f ? x ? = ? ,方程f ? x ? ? x ? a有且只有两个不相等的实数根, ? f ? x ? 1? ( x ? 0) ? 则实数a的取值范围为 ( ) A.? ??, 0? C.? ??,1?
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B. 0,1? ? D. 0, ?? ? ?

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三年数学(文科)试题 共4页 第2页

11、设曲线y=x n?1 ? n ? N ? ? 在点?1,1? 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则 log2013 x1 +log2013 x2 +log2013 x3 + ??? +log2013 x2012的值为( )

A. ?log2013 2012 C.log2013 2012 ?1

B. ? 1

D.1


12、下列关于函数f ? x ? = ? 2 x ? x 2 ? e x的判断正确的是(

①f ? x ? ? 0的解集是 ? x 0 ? x ? ?? ??????②f ? 2 是极小值f ③f ? x ? 既没有最小值,也没有最大值. A.①③ C.② B.①②③ D.①②

?

?

? 2 ? 是极大值;

二、填空题: (本大题共4小题,每小题5分,共20分)

? ? ? ? ? a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ? 13、设向量
14

. 、

已知函数f ? x ? ? a x +a? x(a>0且a ? 1),且f ?1? =3则f ? 0? +f ?1? +f ? 2?的值是
. 15、在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 a ? 15, b ? 10, A ? 600 ,则
.

c osB =

16、给出下列结论,其中正确结论的序号是 _______ 。

?1? y=tanx在其定义域上是增函数; ? 2 ?函数y= sin ? 2 x ? ?
?

??

? 的最小正周期是 ; 3? 2 sin 2 x ? 1 有无奇偶性不能确定。

?

? 3?函数y=cos ? ? x ?的单调增区间是 ? ?? ? 2k? , 2k? ? ? k ? Z ? ; ? 4 ?函数y=lg ? sin x ?

?

三、解答题 17、 (本小题满分10分)

cos 2 x

sin
已知 的值.

x x ? 2 cos ? 0 2 2 , (Ⅰ) tan x 的值; 求

(Ⅱ) 求

2 cos(

?
4

? x) ? sin x

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三年数学(文科)试题 共4页 第3页

18、 (本小题满分12分)

在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c= 2, cos A ? ?

2 . 4

?1? 求sinC和b的值;
19、 (本小题满分12分) 设函数

? 2 ? 求cos ? 2 A ? ?
?

??

?的值. 3?

f ? x ? ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x
x ? [?

. (1)求函数

f ? x?

的最小正周期和单调递增区间;

? ?

(2)当

, ] 4 3 时,求 f ? x ? 的值域.

20、 (本小题满分12分)

已知f ? x ? ? x ? ax 2 ? ln x ? a ? 0 ? ()若曲线f ? x ? 在点?1, f ?1? ? 处的切线斜率为-2,求a的值以及切线方程; 1 (2)若f ? x ? 是单调函数,求a的取值范围。
21、 (本小题满分12分)

a ? (cos
已知向量

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2

(1) a ? b及 | a ? b | ;

? ? ? ? 3 f ( x ) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? , 求?的值. 2 (2)若
22、 (本小题满分12分)

函数f ? x ? =x 2e x ?1 +ax 3 +bx 2,已知x =-2和x =1为f ? x ?的极值点.

?1? 求a和b的值; ? 2 ? 讨论f ? x ?的单调性; ? 3? 设g ? x ? =
2 3 2 x -x ,试比较f ? x ? 与g ? x ?的大小. 3

三年数学(文科)试题 共4页 第4页

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参考答案(文科数学) 1.D 2.C 3.A 4.B5.A 6.C 7.B 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D

3 10 13、 10
14、12 15、

6 3
16、(2).(3)

sin
17、解: (Ⅰ)由

x x x ? 2 cos ? 0 ? tan ? 2 2 2 2 , ,

x 2 ? 2? 2 ? ? 4 ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 .-----------------------5分 2 tan

cos 2 x ? sin 2 x 2(
(Ⅱ) 原式=

2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos x ? sin x ? (cos x ? sin x) sin x sin x

3 1 ? (? ) ? 1 ? ? cot x ? 1 4 4 .-----------------------10分
18、解: ? 在?ABC中,由cos A ? ? ?1 可得sinC= 2 14 a c 可得sinA= .又由 = 及a=2,c= 2 4 4 sin A sin C

7 .由a 2 =b2 +c2 -2bc cos A得b2 +b ? 2 ? 0,因为b>0故解得b=1. 4 7 所以sinC= , b=1 ??????6分 4 2 14 3 7 得cos2A=2cos2 A-1=- ,sin2A=2sinAcosA=? 2 ?由cos A ? ? , sinA= 4 4 4 4 ?? ? ? ?3 ? 21 ? 所以cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? . ??????12分 3? 3 3 8 ?

?? ? ? f ? x ? ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1, 6? ? 19.解: (I)
f ? x?
T?
的最小正周期

∴函数

2? ?? 2 .…………………………4分

2 k? ?


?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2 ,

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z
,

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?
, k? ? ](k ? Z ) 3 6 .………………8分

[ k? ?
所以函数的单调递增区间是

?

x ? [?
(Ⅱ)当

? ?

? 3 ? ? 5? , ] sin(2 x ? ) ? [? ,1] 2 x ? ? [? , ] 4 3 时, 6 2 6 3 6 ,?

,

f ? x?
所以

的值域为 [1 ? 3,3] .…………………………12分

1 20、解: ?由题设条件易知f' ? x ? =1-2ax- ,又f' ?1? =-2a=-2,则a=1.??????2分 ?1 x 此时f ?1? =0,所以曲线y=f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为y=-2(x ? 1) 即2x ? y ? 2 ? 0. ??????6分 (2)由题意得f' ? x ? ? ? 2ax 2 ? x ? 1 1 ,令g ? x ? =2ax 2 ? x ? 1, ? ? 1 ? 8a, 当a ? 时,? ? 0, x 8 ? f ? x ? 在上 ? 0,? ? 单调递减。 +

1 当0<a< 时,?>0方程2ax 2 ? x ? 1有两个不相等的正根x1 ,x2 ,不妨设x1 ? x2则 8 当x ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , +? ? 时g ? x ? >0,? f' ? x ? ? 0当x ? ? x1 , x2 ? 时g ? x ? ? 0,? f' ? x ? ? 0 ?1 ? 此时f ? x ? 不是单调函数。综上可得的取值范围 ? , ?? ? ??????12分 ?8 ?
3 x 3 x a ? b ? cos x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2 21、解: (1)

………………2分

3 3 3 x | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos 2 x 2 2 2 2
? x ? [0,

2 2 (2) f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x, 即f ( x) ? 2(cos x ? ? ) ? 1 ? 2?

?
2

],? cos x ? 0,?| a ? b |? 2 cos x
……………………………………6

? x ? [0,

?
2

],? 0 ? cos x ? 1.

①当 ? ? 0 时,当县仅当 cos x ? 0 时, f (x) 取得最小值-1,这与已知矛盾;…8分
2 ②当 0 ? ? ? 1时, 当且仅当 cos x ? ? 时, f (x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得

3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得? ? 2 2 ;……………………………………………………………10分

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1 ? 4? ? ? 3 2

③当 ? ? 1时,当且仅当 cos x ? 1 时, f (x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得

??
解得

5 1 ?? 8 ,这与 ? ? 1 相矛盾,综上所述, 2 为所求。……………………12分

22、 ?因为f ? ? x ? ? ex ?1 ? 2 x ? x2 ? ? 3ax2 ? 2bx ? xe x ?1 ? x ? 2 ? ? x ? 3ax ? 2b ? . ?1 ?-6a ? 2b ? 0 又x=-2和x=1为f ? x ?的极值点,所以f ? ? -2 ? =f ? ?1? =0,因此 ? ?3 ? 3a ? 2b ? 0 1 解方程组得a ? - , b ? ?1.????分 3 1 ? 2 ?因为a ? - , b ? ?1,所以f ? ? x ? ? x ? x ? 2 ? ?ex ?1 ? 1? .令f ? ? x ? ? 0,解得x1 ? ?2, 3 x2 ? 0,x3 ? 1.因为当x ? ? ??, ?2 ? ? ? 0,1? 时f ? ? x ? ? 0;当x ? ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ? 时f ? ? x ? ? 0。 所以f ? x ? 在 ? ?2, 0 ? 和 ?1, ?? ? 上单调递增;在 ? ??, ?2 ? 和 ? 0,1? 上单调递减。 .????分 1 3 2 x -x ,故f ? x ? -g ? x ? =x2e x ?1 ? x3 =x2 ?e x ?1 ? x ? .令h ? x ? =ex ?1 ? x, 3 ? x ?1 ? 则h ? x ? ? e ? 1, 令h ? x ? ? 0得x ? 1.因为x ? ? ??,1?时h? ? x ? ? 0, 所以h ? x ? 在 ? ??,1? 上单

? 3?由?1? 知f ? x ? =x2ex ?1 -

调递减,故x ? ? ??,1?时h ? x ? ? h ?1? =0;因为x ? ?1, ?? ? 时h? ? x ? ? 0, 所以h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故x ? ?1, ?? ? 时h ? x ? ? h ?1? =0,所以对任意的x ? ? ??, ?? ? , 恒有h ? x ? ? 0, 因此f ? x ? -g ? x ? ? 0,故对任意的x ? ? ??, ?? ?,恒有f ? x ? ? g ? x ? .?????分

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