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世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(三) 1.3


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课时提升作业(三)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.(2014·湖北高考)命题“? x∈R,x2≠

x”的否定是( A.? x?R,x2≠x C.? x0?R,x02≠x0 B.? x∈R,x2=x D.? x0∈R,x02=x0 ) 50 分)

【解析】选 D.全称命题的否定是特称命题,所以命题“? x∈R,x2≠x”的否定是 “? x0∈R,x02=x0”. 2.(2015·开封模拟)已知命题 p,q,“ p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解析】选 A.由“ p 为真”知 p 为假,则“p∧q 为假”;反之,若“p∧q 为假”, 则命题 p,q 至少有一个为假,从而“p 为假”不一定成立,即“ p 为真”不一定成 立,因此,“ p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件. 【加固训练】(2015·成都模拟)已知命题 p:? x0∈R,2-x0> e x ,命题 q:? a∈R+且
0

a≠1,loga(a2+1)>0,则( A.命题 p∨ q 是假命题 C.命题 p∨q 是假命题

) B.命题 p∧ q 是真命题 D.命题 p∧q 是真命题
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【解析】 选 B.对于命题 p:? x0∈R,2-x0> e x ,当 x0=0 时,此命题成立,故是真命题;
0

命题 q:? a∈R+且 a≠1,loga(a2+1)>0,当 0<a<1 时,对数式的值是负数,故命题 q 是假命题.由此知命题 p∨ q 是真命题,命题 p∧ q 是真命题,命题 p∨q 是真命题, 命题 p∧q 是假命题,故选 B. 3.(2015·长沙模拟)“对 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)>0 有解”等价于( A.? x0∈R,使得 f(x0)>0 成立 B.? x0∈R,使得 f(x0)≤0 成立 C.? x∈R,f(x)>0 成立 D.? x∈R,f(x)≤0 成立 【解析】选 A.“对 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)>0 有解”的意思就是? x0∈R,使 得 f(x0)>0 成立,故选 A. 4.已知命题 p:“? x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“? x0∈R,使 x02+2ax0+2-a=0”, 若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.{a|a≤-2 或 a=1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} B.{a|a≥1} D.{a|-2≤a≤1} ) )

【解析】选 A.由题意知,p:a≤1,q:a≤-2 或 a≥1, 因为“p∧q”为真命题,所以 p,q 均为真命题, 所以 a≤-2 或 a=1. 5.已知命题 p:函数 y=ax(a>0 且 a≠1)在 R 上是增函数,命题 q:loga2+log2a≥ 2(a>0 且 a≠1),则下列命题为真命题的是( A.p∨q C.( p)∧q B.p∧q D.p∨( q)
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)

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【解析】选 D.当 0<a<1 时,y=ax 在 R 上是减函数,因此 p 假, p 真,当 a= 时,loga2+log2a=-2<2,因此 q 假, q 真.从而命题 p∨( q)为真命题. 6.下列命题中,真命题是(
? 2

1 2

)

A.? x0∈[0, ],sin x0+cos x0≥2 B.? x∈(3,+∞),x2>2x+1 C.? x0∈R,x02+x0=-1 D.? x∈( ,π ),tan x>sin x 【解析】选 B.对于选项 A,? x∈[0, ],sin x+cos x = 2 sin(x+ )≤ 2 , 所以此命题为假命题; 对于选项 B,当 x∈(3,+≦)时, x2-2x-1=(x-1)2-2>0, 所以此命题为真命题; 对于选项 C,? x∈R,x2+x+1=(x+ )2+ >0, 所以此命题为假命题; 对于选项 D,当 x∈( ,π)时,tan x<0<sin x, 所以此命题为假命题,故选 B. 【加固训练】已知命题 p:? x0∈R,使 tan x0= {x|1<x<2},下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧( q)”是假命题; ③命题“( p)∨q”是真命题;
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? 2

? 2

? 4

1 2

3 4

? 2

3 ,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是 3

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④命题“( p)∨( q)”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.①③④ ) B.①②④ D.①②③④

【解析】选 D.命题 p 是真命题,命题 q 也是真命题.所以 p, q 是假命题,从而得 ①②③④都正确. 7.(2015·葫芦岛模拟)已知 f(x)=3sin x-π x,命题 p:? x∈(0, ),f(x)<0,则 (
? 2 ? B.p 是假命题, p:? x0∈(0, ),f(x0)≥0 2 ? C.p 是真命题, p:? x∈(0, ),f(x)>0 2 ? D.p 是真命题, p:? x0∈(0, ),f(x0)≥0 2 ? 2

)

A.p 是假命题, p:? x∈(0, ),f(x)≥0

【解析】选 D.由三角函数线的性质可知, 当 x∈(0, )时,sin x<x, 所以 3sin x<3x<πx,所以 f(x)=3sin x-πx<0. 即命题 p:? x∈(0, ),f(x)<0 为真命题. 根据全称命题的否定为特称命题可知: p:? x0∈(0, ),f(x0)≥0. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.命题:“对任意 k>0,方程 x2+x-k=0 有实根”的否定是 .
? 2 ? 2 ? 2

【解析】 “任意 k>0”的否定为“存在 k>0”,“方程 x2+x-k=0 有实根”的否定为 “方程 x2+x-k=0 无实根” .从而命题的否定为 “存在 k0>0,方程 x2+x-k0=0 无实根” .
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答案:存在 k0>0,方程 x2+x-k0=0 无实根 9.已知 p 和 q 都是命题,则“命题:p∨q 为真命题”是“命题:p∧q 为真命题” 的 之一) 【解析】p∨q 为真,二者至少有一个为真,p∧q 为真,二者均为真,故“p∨q 真” ?“p∧q 真”,所以填“必要不充分”. 答案:必要不充分 10.已知命题 p:? x0∈R,mx02+2≤0,命题 q:? x∈R,x2-2mx+1>0,若“p∨q”为假 命题,则实数 m 的取值范围为 . 条件.(填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分又不必要”四者

【解析】因为命题“p∨q”是假命题,所以命题 p,q 都是假命题,所以命题 p:? x0 ∈R,mx02+2≤0 是假命题,则 m≥0,命题 q:? x∈R,x2-2mx+1>0 是假命题,所以Δ =(-2m)2-4≥0,所以 m2≥1,得 m≤-1 或 m≥1,所以实数 m 的取值范围是[1,+≦). 答案:[1,+≦) (20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( )

A.若 a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” B.若 a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R,有 x02≥0” D.l 是一条直线,α ,β 是两个不同的平面,若 l⊥α ,l⊥β ,则α ∥β 【解析】选 D.对于选项 A,a<0 时不成立; 对于选项 B,b=0 时不成立; 对于选项 C,应为 x2<0;
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对于选项 D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有 D 正确. 【加固训练】(2014·马鞍山模拟)下列命题中,错误的是( )

A.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” B.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C.命题 p:? x0∈R,使得 x02+x0+1<0,则 p:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0 D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件 【解析】选 B.根据逆否命题的定义,命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为 “若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” ,故 A 正确;若 p∧q 为假命题,则 p,q 至少存在一个假 命题,但 p,q 不一定均为假命题,故 B 错误;命题 p:? x0∈R,使得 x02+x0+1<0 的否 定为:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0,故 C 正确;因为 x>2? x2-3x+2>0,x2-3x+2>0? x<1 或 x>2,故“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故 D 正确.故选 B. 2.(5 分)(2014·辽宁高考)设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0, 则 a·c=0;命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q C.( p)∧( q) B.p∧q D.p∨( q) )

【解析】选 A. 当非零向量 a,c 方向相同且都和非零向量 b 垂直时 , 结论 a· b=0,b· c=0 成立,但是 a· c=0 不成立,可知命题 p 是假命题,命题 p 是真命题; 易知命题 q 为真命题,命题 q 是假命题. 结合复合命题 p∨q,p∧q, p 的真假判断方法知,选项 A 正确. 3.(5 分)(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组 ? 命题: p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2,
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?x ? y ? 1, 的解集记为 D.有下面四个 ?x ? 2y ? 4

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p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3,p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中真命题是( A.p2,p3 C.p1,p4 ) B.p1,p2 D.p1,p3

【解题提示】画出可行域,求出 x+2y 的最优解,根据最优解判断命题的真假. 【解析】选 B.画出可行域如图所示,

设 x+2y=z,则 y ? ? x ? , 当直线经过点(2,-1)时 z 取得最小值, zmin=2+2×(-1)=0,即 z≥0, 所以命题 p1,p2 是真命题. 4.(12 分)已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值范围. 【解析】由 2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以 x= 或 x=-a,所以当命题 p 为真 命题时,| |≤1 或|-a|≤1,所以|a|≤2. 又“只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0”.即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴 只有一个公共点, 所以Δ=4a2-8a=0,所以 a=0 或 a=2. 所以当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2.
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1 2

z 2

a 2

a 2

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因为命题“p∨q”为假命题,所以 a>2 或 a<-2; 即 a 的取值范围为 a>2 或 a<-2. 5.(13 分)(能力挑战题)设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式 ( ) x ?1 ≥a 的解 集为?,命题 q:函数 f(x)=lg[ax2+(a-2)x+ ]的定义域为 R,若命题“p∨q”为真, “p∧q”为假,求 a 的取值范围. 【解析】若 p 正确,则由 0< ( ) x ?1 ≤1,得 a>1. 若 q 正确,则 ax2+(a-2)x+ >0 解集为 R. 当 a=0 时,-2x+ >0 不合题意,舍去;
?a ? 0, 1 当 a≠0 时,则 ? 解得 <a<8. 9 ? 2 2 (a ? 2) ? 4a ? ? 0, ? 8 ?
9 8 9 8 1 2 9 8 1 2

由题意知,p 和 q 中有且仅有一个正确,
?a ? 1, ?a ? 1, ? 所以 ? 1 或? ?1 a ? 或a ? 8 ? ? a ? 8, ? ? 2 ?2

所以 a≥8 或 <a≤1. 【方法技巧】根据命题真假确定参数取值范围的方法 (1)把所给命题当真求出参数的取值范围. (2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假. (3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.

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