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北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(文)试题及答案


北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A ? ?1, 2 , m? , B ? ?3 , 4? .若 A ? B ? ?3? ,则实数 m ? (A) (C) 3 (2)在复平面内,复数 z ? (A)第一象限 (C)第三象限 (B) 2 (D) 4

2?i 对应的点位于 i
(B)第二象限 (D)第四象限

(3)已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, x) .若 a ? b 与 a ? b 平行,则实数 x 的值是 (A) 4 (C) ?1
2 2

(B) (D) ?4 (B) 2 x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? 2 y ? 1 ? 0

(4)经过圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 的圆心且与直线 2 x ? y ? 0 平行的直线方程是 (A) 2 x ? y ? 3 ? 0 (C) 2 x ? y ? 3 ? 0 (5)给出下列函数: ① y ? log 2 x ; ② y ? x 其中图象关于 y 轴对称的是 (A)①② (C)①③ (6) “ sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ”是“ ? ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)②③ (D)②④
2

; ③y?2 ;
x

④y?

2 . x

? ”的 4
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(7)某程序框图如图所示,当输入的 x 的值为 5 时,输出的 y 值恰好是

1 ,则在空 3

白的处理框处应填入的关系式可以是

1

(A) y ? x3 (C) y ? 3x

(B) y ? 3x (D) y ?

3 x

(8)已知函数 f ( x) ? a ? x 2 (1 ? x ? 2) 与 g ( x) ? x ? 1 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范 围是

5 , ? ?) 4 5 (C) [? , 1] 4
(A) [ ?

(B) [1 , 2] (D) [?1, 1]

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是_________. (9)双曲线 16 9
? (10)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c ,且 c ? 4 2 , B ? 45 ,面积 S ? 2 ,则

a ? _________; b =_________.
(11)如图是 100 名学生某次数学测试成绩(单位:分)的频率分布直方图, 则测试成绩落在 ?50,70? 中的学生人数是_________.

(12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



? x ? y ? 4, ? (13)已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? y ? x, 点 O 为坐标原点,那么 OP 的最大值等于_________. ? x ? 1, ?
(14)纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准,规定以 A0 ,

A1 , A2 , B1 , B2 , ? 等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用 A 系列和 B 系列,
其中 A n(n ? N,n ? 8) 系列的幅面规格为:
2

① A0 , A1 , A2 , ? , A8 所有规格的纸张的幅宽(以 x 表示)和长度(以 y 表示)的比例关系都 为 x : y ? 1: 2 ; ② 将 A0 纸张沿长度方向对开成两等分,便成为 A1 规格, A1 纸张沿长度方向对开成两等分,便成为

A2 规格, ? ,如此对开至 A8 规格.
现有 A0 ,A1 ,A2 ,? ,A8 纸各一张.若 A4 纸的宽度为 2 dm , 则 A0 纸的面积为 这 9 张纸的面积之和等于__________ dm .
2

dm2 ;

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 2 , S3 ? 12 . (I) 求数列 {an } 的通项公式; (II)若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

(16) (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? 2?) 在一个周期内的部分对应值如下表:

x
f ( x)

?

? 2

0

? 6

? 2
?1

?1

1 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2sin x 的最大值和最小值.

(17)(本小题 13 分)

某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生的身高,将数据整理,得到的频率分布表如下所示. (Ⅰ)求出频率分布表中①和②位置上相应的数据; (Ⅱ)为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第 3 , 4 , 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进行体能 测试,求第 3 , 4 , 5 组每组各抽取多少名学生进行测试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行引体向上测试,求:第 4 组中至少
3

有一名学生被抽中的概率. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 频率

[160,165) [165,170) [170,175) [175,180)

5


0.050
0.350


30 20
10

0.200
0.100

[180,185]
合计

100

1.00

(18) (本小题 13 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE , (Ⅰ)求 证 : 平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅱ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF ? 平面 BCE ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.

AB ? 平面 ADE , CD ? 3 AB .

EF ED

(19) (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ae , a ? R .
x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线的方程; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? x ,请写出曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 最多有几个交点.(直接写出结论即可)
3

(20) (本小题 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 (0 , 2) ,且满足 a ? b ? 3 2 . a b (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; 1 (Ⅱ) 斜率为 的直线交椭圆 C 于两个不同点 A , B ,点 M 的坐标为 (2 ,1) ,设直线 MA 与 MB 的斜率 2 分别为 k1 , k2 .
① 若直线过椭圆 C 的左顶点,求此时 k 1 , k 2 的值; ② 试探究 k1 ?k 2 是否为定值?并说明理由.
4

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东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1) C (2)C (3)D
5

(4)A

(5)B

(6)B

(7)C

(8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)

5 4

(10) (12) 4

5

(11) 25 (13)

10

(14) 64 2

511 2 4

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 a2 ? a3 ? 10 ,即 2a1 +3d ? 10 , 由 a1 ? 2 ,解得 d ? 2 . 所以 an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,即 an ? 2n , n ? N . ????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ?
?

(2 ? 2n)n ? n 2 ? n ,所以 Sk ? k 2 ? k . 2

又 a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) ,
2 2 2 由已知可得 ak ?1 ? a3 Sk ,即 (2k ? 2) ? 6(k ? k ) ,
2 * 整理得 k ? k ? 2 ? 0 , k ? N .

解得 k ? ?1 (舍去)或 k ? 2 . 故k ? 2. (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由表格可知, f ( x ) 的周期 T ? 所以 ? ? ????????????13 分

2? ?2. ?

? ? ? (? ) ? ? , 2 2

又由 sin ? 2 ? 0 ? ? ? ? 1 ,且 0 ? ? ? 2? ,所以 ? ? 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x .
2

? 2

? . 2
????????????6 分

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? 2sin x ? cos 2x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 2 2
由 sin x ?[?1,1] ,所以当 sin x ?

1 3 时, g ( x) 有最大值 ; 2 2
????????????13 分
6

当 sin x ? ?1 时, g ( x) 有最小值 ?3 .

(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人,第 3 组的频率为 即①处的数据为 35 ,②处的数据为 0.300 .

30 ? 0.300 . 100

????????????3 分

(Ⅱ)因为第 3 , 4 , 5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样,在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为: 第 3 组:

30 20 10 ? 6 ? 3 人;第 4 组: ? 6 ? 2 人;第 5 组: ? 6 ? 1 人. 60 60 60
????????????6 分

所以第 3 , 4 , 5 组分别抽取 3 人, 2 人,人.

(Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的位同学为 C1 , 则从 6 位同学中抽两位同学有 15 种可能,分别为 : ( A 1, B 1) , ( A 1, A 2) , (A 1, A 3) , (A 1 , B2 ) ,

( A1 , C1 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , C1 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1, B2 ) ,

( B1, C1 ) , ( B2 , C1 ) .
其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的有: ( A 1, B 1) , ( A 1 , B2 ) , ( A 2, B 1 ) , ( A2 , B2 ) ,

( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , (B1, C1 ) , ( B2 , C1 ) , ( B1, B2 ) 9 种可能.
所以第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的概率 P ? (18) (共 13 分) 证明: (Ⅰ)因为 CD ? 平面 ADE , AE ? 平 面 A D E, 所以 CD ? AE . 又因为 AE ? DE , CD ? DE ? D , 所 以 AE ? 平 面 C D E. 又因为 AE ? 平面 ACE , 所以平面 ACE ? 平面 CDE . (Ⅱ)在线段 DE 上存在一点 F ,且 ????????????7 分

9 3 ? . ?????????13 分 15 5

EF 1 ? ,使 AF ? 平面 BCE . ED 3 EF 1 ? . 设 F 为线段 DE 上一点, 且 ED 3 1 过点 F 作 FM ? CD 交 CE 于 M ,则 FM ? CD . 3
因为 CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE , 所以 CD ? AB .
7

C B M A D F EF

又 FM ? CD , 所以 FM ? AB . 因 为 C D? 3 A B , 所以 FM ? AB . 所以四边形 ABMF 是平行四边形. 所以 AF ? BM . 又因为 AF ? 平面 BCE , BM ? 平面 BCE , 所 以 AF ? 平面 BCE . (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ex , f ?( x) ? 1 ? ex . 当 x ? 0 时, y ? ?1 ,又 f ?(0) ? 0 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? ?1 . ????????????4 分 (Ⅱ)由 f ( x) ? x ? a ex ,得 f ?( x) ? 1 ? ae x . 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 R 上单调递增. ????????????13 分

a a 当 x ? a 时, f (a) ? a ? ae ? a(1 ? e ) ? 0 ,当 x ? 1 时, f (1) ? 1 ? ae > 0 ,

所以当 a ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个交点; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ln a .

???????8 分

f ( x) 与 f ?( x ) 在区间 (??, ??) 上的情况如下:

x
f ?( x )

(??, ? ln a)

? ln a

(? ln a, ??)

?
?

0
极大值

?

f ( x)

?

若曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个交点, 则有 f (? ln a) ? 0 ,即 ? ln a ? a e
? ln a

1 ? 0 .解得 a ? . e
8

综上所述,当 a ? 0 或 a ?

1 时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个交点. ???????12 分 e
3

(Ⅲ)曲线 f ( x) ? x ? ae x 与曲线 g ( x) ? x 最多有 3 个交点. (20) (共 14 分) 解:(Ⅰ)由椭圆过点 (0,2) ,则 b ? 又a?b ? 3 2 , 故a ? 2 2. 所以椭圆 C 的方程为

???????14 分

2.

x2 y2 ? ? 1. 8 2
1 x? 2 , 2

????????????4 分

(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l : y ?

1 ? y ? x ? 2, ? ? ? x1 ? 0, ? ? x2 ? ?2 2, ? 2 由? 2 解得 或? ? 2 ? ? y2 ? 0. ? x ? y ?1 ? y1 ? 2, ? ? 2 ? 8
故 k1 ? ?

2 ?1 , k2 ? 2

2 ?1 . 2

????????????8 分

② k1 ? k2 为定值,且 k1 ? k 2 ? 0 . 设直线的方程为 y ?

1 x ? m. 2

1 ? y ? x ? m, ? ? 2 由? 2 消 y ,得 x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 . 2 x y ? ? ?1 ? 2 ? 8
当 ? ? 4m 2 ? 8m 2 ? 16 ? 0 ,即 ? 2 ? m ? 2 时,直线与椭圆交于两点. 设 A( x1 , y1 ) . B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m 2 ? 4 . 又 k1 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? . x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

故 k1 ? k 2 ? 又 y1 ?

1 1 x1 ? m , y 2 ? x 2 ? m , 2 2 1 2 1 2

所以 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)(x1 ? 2) ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2)
9

? x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ? 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? 0 .
故 k1 ? k 2 ? 0 . ????????????14 分

10


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