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第二十三届2012年希望杯数学竞赛试题-高一第二试


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第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高一 第2试 2012 年 4 月 8 日 上午 9:00 至 11:00 得分 一、 选择题(每小题 4 分,共 40 分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请 将表示正确答案的英文字母写在每题后面的括号内。

1. 设 A ,

B 是同一个三角形的两个内角,则不是 A ? B 成立的充要条件的是( )
( A ) sin A ? sin B ( B ) sin 2 A ? sin 2 B ( C ) cos A ? cos B ( D ) co s 2 A ? co s 2 B

2. 函数 f ( x ) ? lg 2 ? x 的单调增区间是( )
( A )( ? ? ,1) ? (3, ? ? ) ( C )( ? ? ,1) ? (2, 3) (B ) ( 1 , ? ) 2 (D ) ( 1 , ? ) 2 ?(? , 3 (2, 3) )

3. 图 1 中的图形所表示的是将棱长为 a 的立方体用一个平面切割后剩下的几何体,则它的 体积不等于原立方体体积一半的有( )个。

( A )3

( B )4

( C )5

( D )6

4. { a n } 是公比不为 1 的等比数列, S n 是 { a n } 的前 n 项和。给出下面 3 个命题: (1)若 { a n } 中既有正数,又有负数,那么 { S n } 中也既有正数,又有负数; (2) { a n } 不可能同时具有最大值和最小值; (3) S 10 , S 20 ? S 10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 , ? 构成等比数列。 其中,真命题的个数是( )
( A )0 ( B )1 ( C )2 ( D )3

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5.在正数数列 { a n } 中, a1 ?
( A )1012025

1 4

, a n ?1 ? a n ?

an ?

1 4

,则 a 2012 ? (
( D )1 0 1 3 0 3 6



( B )1012036
x

( C )1013025

6.若存在 x ? [1, 2 ] ,使得 a ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 ,则 a 的取值范围是(
1 3 , ) 2 2 1 3 ( C )( ? , ) 4 4 ( A )( ? ( B )( ? ? , ? ( D )( ? ? , ? 1 2 1 4 )?( )?( 3 2 3 4 , ?? ) , ?? )



7.已知 O 是坐标原点, 动点 M 在圆 C : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 上, 对该坐标平面内的点 N 和 P ,
???? ???? ???? ???? ? ? ? ??? ? 若 2 ON ? OM ? M C ? M P ? 0 ,则 N P 的取值范围是(
( A )[0,1 2 ] ( B )[1,1 1]
3 2



( C )[2,11]

( D )[1,12]

8.已知关于 x 的方程 ax ? bx ? cx ? d ? 0 有三个不同的实根,其中一个是0,则它的系 数中不能是0的仅有(
( A)a, c ( B )b , c


(C ) a , d ( D )b , d

9.已知集合 A ? { a | 关于 x 的方程 (
( A )0

2x ? a 4x ? 9
2

? 1 有唯一实数解 } , 则集合 A 的真子集的个数是


( B )3 ( C )7 ( D )8

10.如图2所示,已知圆锥的底面半径为7,母线长为14, FC 是轴截面
ABC 底角 ? AC B 的角平分线, B D 是底面的一条弦,且 ? D B C ? 3 0 ,则
?

直线 FC 与 B D 的距离是(
( A ) 14 ( B )2 7


( C )3 7

(D )

7 2

二、

填空题(每小题 4 分,共 40 分)

11.直角梯形 ABCD 中,? A B C ? 90 , A D / / B C , A B ? A D ? 2, B C ? 4, I 为 B D 的中点,
???? ???? ? 直线 M N 过 I 点,且与线段 A B 、 CD 分别交于点 M 、 N ,则 AN ? C M 的最小值是

?

12.已知 y ? x ? x ? 18 且 y ? 10 x ? 1 ,则 x 的取值范围是
2 2 13.当 a ? 1, 0 ? x ? 1 时,函数 f ( x ) ? x ? ax ? 8 的最大值 是

14.若实数 a , b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,则

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f ( x ) ? x ? log a b ? x ? log a

1 b

? x ? log b

1 b

的最小值 是 15.已知三角形三个内角的度数成首项、公比均是整数的等比数列,则公比的值等于 16.Suppose m is integer, if a ? (4, m ), b ? ( ? 2 m , 4), O A ? a ? 2 b , O B ? 2 a ? b , O A ? O B , Then the area of the ? OAB is 17.四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,长度分别为 3,4, x ,那么 x 的取值范围是 18.Suppose x , y ? R ? , and x ? y ? 2 ,then the value range for x 3 ? 2 x 2 y 2 ? y 3 is 19.设等比数列 { a n } 的公比 q ? 0,1, S n 表示 { a n } 的前 n 项的和, T n 表示 { a n } 前 n 项的乘积,
Tn ( k ) 表 示 { a n } 的 前 n 项 中 除 去 第 k 项 后 所 剩 余 的 n ? 1 项 的 乘 积 , 即
Tn ( k ) ? Tn ak ( n , k ? N , k ? n ) ,则数列 {
*

?

?

??? ?

?

? ??? ?

?

? ??? ?

??? ?

S nTn T n (1) ? T n (2 ) ? ? ? T n ( n )

} 的前 n 项的和是

(用 a1 和 q 表示) 20.在 ? k 的约数中,平方数有
3 k ?1 324



三、解答题 每题都要写出推算过程 21.(本题满分 10 分) 求数列 1,3+7,13+21+31,43+57+73+91,?的第 21 项中的第 12 个数。

22.(本题满分 15 分)
' 在 A B ? 6, A D ? 4 的矩形纸片 ABC D 中剪去圆 M 与圆 M ,其中圆 M

与 A B 、 A D 相切,圆 M 与 BC 、 CD 相切,且圆 M 与圆 M 外切,则 剩余部分的面积是否有最大值与最小值?若有,求出最值;若没有,说明 理由。

'

'

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23.(本题满分 15 分) 已知函数 f : R ? R 满足: ① f (m ? n) ? f (m ) ? f (n) ? 1 ; ②当 x ? 1 时, f ( x ) ? 1 。 解答以下问题: (1) 求证: f ( x ) 增函数; (2) 若 f (2012) ? 6037 ,解不等式 f ( a 2 ? 8 a ? 13) ? 4.

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