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2.1.3 参数方程和普通方程的互化


第二讲
参数方程
2.1.3 参数方程和普通方程的互化

例2:如下图,圆O的半径为2,P是圆上的动 点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点.当P在 圆上作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数 y 方程. P o θ
M Q(6,0)

x

? x ? cos? ? 3 ? y ?

sin ? ?

点M的轨迹 是什么呢?

消去参数

参数 方程
代入参数关系

普通 方程

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线? y
? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

(1,1) o x

步骤:先消掉参数, 再写出定义域。

解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3 又x ? t ? 1 ? 1, 所以与参数方程等价的 普通方程是y ? ?2 x ? 3( x ? 1)

代入(消参数)法 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线?

?x= sin ? ? cos? (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2?

恒等式(消参数)法

(2)把x ? sin ? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x ? y, 又x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ), 4 y 所以x ? [? 2 , 2 ],
2

?

所以与参数方程等价的 普通方程为 x 2 ? y, x ? [? 2 , 2 ]. 这是抛物线的一部分。
? 2

o

2

x

说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有: (1)代入(消参数)法

(2)加减(消参数)法 (3)借用代数或三角恒等式(消参数)法 常见的代数恒等式:
1 2 1 2 (1)( t ? ) ? ( t ? ) ? 4 t t t 2 ? a2 2 2at 2 (2)( 2 ) ?( 2 ) ?1 2 2 t ?a t ?a 2 2 t ?a 2 2at 2 (3)( 2 ) ?( 2 ) ?1 2 2 t ?a t ?a

在消参过程中注意变 量x、y取值范围的一 致性,必须根据参数 的取值范围,确定f(t) 和g(t)值域得x、y的 取值范围。

二、普通方程

参数方程

如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系, 例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变 数与参数的关系y=g(t),那么

x ? f (t ) { y ? g (t )
这就是曲线的参数方程。

x2 y 2 ? ?1 的参数方程。 例4 求椭圆 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数;
2 2

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ? 由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x2 y2 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 x ? 3 cos? { (?为参数) y ? 2 sin ?

x y 例4 求椭圆 ? ?1 的参数方程。 9 4

2

2

(2)设y=2t,t为参数.

(2)设y=2t,t为参数.
x 4t (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2 2 2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 { x ? 3 1? t y ? 2t
2

(t为参数)和{

x ? ?3 1 ? t y ? 2t

2

思考:为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程?

分别对应了椭圆在y轴的右,左两部分。

作业:P264,5

23.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 在直角坐标系xOy中,以坐标原点 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐 标系,半圆C的极坐标方程为ρ= ?? ? 0, 2cos θ ,θ ∈ ? ? 2 ? ? (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与 y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得 直线l: 到的参数方程,确定D的坐标.


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