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高中数学竞赛讲义


极限与导数 一、 基础知识 1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|< ε 成立(A 为常数) ,则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为 x ? ?? lim f ( x), lim f ( x) ,另外 x ? ?? ? x ? x0 lim f ( x)

=A 表示 x 大于 x 且趋向于 x 时 f(x)极限为 A,称右极限。类似地 lim f ( x) 表示 x 小于 x 且 ? 0 0 x ? x0 0 趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 2.极限的四则运算:如果 x ? x0 lim f(x)=a, x ? x0 lim g(x)=b , 那 么 x ? x0 lim [f(x) ± g(x)]=a ± b, x ? x0 lim [f(x)?g(x)]=ab, lim x ? x0 f ( x) a ? (b ? 0). g ( x) b x ? x0 3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且 续。 lim f(x)存在,并且 lim f(x)=f(x ),则称 f(x)在 x=x 处连 x ? x0 0 0 4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δ x 时(Δ x 充分小) ,因变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)).若 ?y ?x ?0 ?x lim 存在,则称 f(x)在 x0 处可导,此极限值称为 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率) ,记作 f ' (x )或 y ' x ? x0 0 或 dy dx ,即 x0 f ' ( x0 ) ? lim x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) 。 x ? x0 由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则 称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点 x0 处导数 切线的斜率。 6 .几个 常用 函数的 导数: ( 1 ) ( c )' =0 ( c 为常数) ; ( 2 ) ( xa )' ? f ' (x )等于曲线 y=f(x)在点 P(x ,f(x ))处 0 0 0 axa?1 ( a ;(6) 为任意常 数) ; (3) (sin x)' ? cos x; (4) (cos x)' ? ? sin x ;(5) (a x )' ? a x ln a (e x )' ? e x ; ( 7 ) (loga x)' ? 1 1 log a x ; (8) (ln x )' ? . x x ;( 2 ) 7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 (1) [u( x) ? v( x)]'? u' ( x) ? v' ( x) [u( x)v( x)]'? u' ( x)v( x) ? u( x)v' ( x) ;( 3 ) [cu( x)]'? c ? u' ( x)(c 为常数) ; (4)[ u ( x) u ( x)v' ( x) ? u ' ( x)v( x) 1 ? u ' ( x) ]' ? 2 ]' ? ; (5)[

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