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吉林省长春市十一中2016届高三上学期12月月考试题 数学(理)


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长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期阶段考试 数 学 试 题 (理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M ? x x ? 1 ? 1 , N ? x y ? lg( x 2 ? 1) ,则 M ?

N ? ( A. ?1, 2? B. (??,?1) ? ?0,??? C. ?? ?,0? ? (1,??) ) C.

?

?

?

?



D. (??,?1) ? ?0 ,2?

2.若复数 z 满足: iz ? i ? z ,则 z ? ( A. 1 ? i B. 1 ? i

1? i 2

D.

1? i 2

3.已知 sin( A. ?

?
4

??) ?

3 ,则 sin 2? ? ( 3
B.

) C. ?

1 3

1 3

2 3

D.

2 3


4.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为( m
D. )

A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

5 或7 6

5. 已知 a ? 13 , b ? 19 , a ? b ? 24,则 a ? b ? ( A.22 B.48 C. 46 D.32

6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( )

2 ? 3 B. 64 ? 2? C. 64 ? 4? D. 64 ? 8?
A. 64 ?

2 4 2 4
正视图

2 4 2 4
侧视图

4

7. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

4
俯视图

23 ,则( ) 12 A. a ? 13
B. a ? 12 C. a ? 11

D. a ? 10 8.设 x, y ? R ? ,且 x ,则( y ?? ( xy ) ? 1 A. x ? y ? 2 (2 ? 1 ) C. x ?



B. x y? 2? 1 D. x y ? 2 (2 ? 1 )

y ? ( 2 ? 1) 2

9.曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y ? A.

3

B. 2 ? 3

C. 2 ?

?
3

1 围成的封闭图形的面积是( 2
D.



3?

?

3

10.已知 P( x, y ) 为区域 ?

?y2 ? x2 ? 0 ( a ? 0 )内的任意一点,当该区域的面积为 3 时, a ? x ? a ? 1 ?
) C. 2 2 D. 6

z ? 2 x ? y 的最大值是(
A. 1 11. P 是椭圆 C : B. 3

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,以 P 为切点做椭圆 C 的切线 l ,交圆 x 2 ? y 2 ? 4 于 4


A, B 两点,当 ?ABC 的面积最大时,直线 l 的斜率 k ? (
A. ? 1 B. ?

2

C. ?

2 2

D. ? 3

12. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 3 ,动点 P 在对角线 BD1 上,过点 P 作垂 直于 BD1 的平面 ? ,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为 y ,设 BP ? x ,则当

x ? ?1,5? 时,函数 y ? f ( x) 的值域为(



D1 A1 B1

? C. ?3

A. 2 6 ,6 6

?

6 ,18

?

? D. ?3

B. 2 6 ,18

?
?

C1

6 ,6 6

D A

P B

C

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? (?1,2) ,b ? (2,3) ,若 m ? ? a ? b 与 n ? a ? b 的夹角为钝角,则实数 ? 的 取值范围是 .

14.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积 为 3 , AB ? 2 , AC ? 1, ?BAC ? 60? ,则此球的表面积等于_______________.

15.设 ?an ? 为等差数列, 从 ?a1 , a2 , a3 ? ??, a10 ? 中任取 4 个不同的数,使这 4 个数仍成等差数列, 则这样的等差数列最多有 16.给定下列四个命题: (1)若 a ? b , c ? d ,则 ac ? bd ;
2 2 2 2

个.

(2) S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,则必有: S n (S3n ? S 2n ) ? (S 2n ? S n ) 2 ; (3)函数 f ( x) ? lg sin( 2 x ?

?

3

) 的图像有对称轴;

(4) O 是 ? ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: OP ? OA ? ? ?

? ? ?0,??? ,则直线 AP 一定通过 ?ABC 的内心;
其中正确命题的序号为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 tan A tan B ? .

? AB AC ? ?, ? ? sin C sin B ? ? ?

4 , 3

(1)求 tan C 的取值范围; (2)若 ?ABC 边 AB 上的高 CD ? 2 ,求 ?ABC 面积 S 的最小值.

18. (本小题满分 12 分)
2 设数列 ?an ? 满足: an ? 0 , a1 ? 1, a2 ? 2 , an?1 (an?1 ? an ) ? an , n ? 2

(1)设 bn ?

an?1 ,求证: ?bn ? 为等差数列; an

(2)设 c n ?

n a n?1

,且 ?cn ? 的前 n 项和为 S n ,证明: S n ? 1 .

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,

?PCD 为等边三角形, BC ? 2 AB ,点 M 为 BC 中
点,平面 PCD ? 平面 ABCD . (1)求异面直线 PD 和 AM 所成角的余弦值; (2)求二面角 P ? AM ? D 的大小.

P

D A M B

C

20.(本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的图形如图所示,其上半部分是半椭圆

y2 x2 ? ? 1( y ? 0) ,下半部分是半圆 a2 b2

(a ? b ? 0) ,半椭圆内切于矩形 ABCD ,且 CD 交 y 轴于点 G ,点 x 2 ? y 2 ? b 2 ( y ? 0) ,

P 是半圆上异于 A, B 的任意一点,当点 P 位于点 M (
(1)求曲线 C 的方程;

6 3 ,? ) 时, ?AGP 的面积最大. 3 3

(2)连接 PC, PD 分别交 AB 于 E , F ,求证: AE ? BF 是定值.
2 2

y
D G C

A

O F E

B

x

P

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ( x 2 ? 2) ln x , g( x ) ? 2 x 2 ? ax, a ? R (1)证明: f ( x ) 是 ( 0,? ?) 上的增函数; (2)设 F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ,当 x ? ?1,??? 时, F ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 正方形 ABCD 边长为 2, 以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交 于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (1)求证: AE ? EB ; (2)求 EF ? FC 的值.
E F A D

B

O

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4— 4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,曲 线 C1 的极坐标方程为 ? cos2? ? 3 ,曲线 C 2 的参数方程为 ?
2

?x ? t ? m , ( t 是参数,m 是常 y ? 2 t ? 1 ?

数) (1)求 C1 的直角坐标方程和 C 2 的普通方程; (2)若 C 2 与 C1 有两个不同的公共点,求 m 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知: f ( x) ? 2 x ?

3 5 ? 2x ? 4 4

(1)关于 x 的不等式 f ( x) ? a 2 ? 3a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 f (m) ? f (n) ? 4 ,且 m ? n ,求 m ? n 的取值范围.

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长春市十一高中 2015-2016 学年度高三上学期阶段(12 月) 考试数 学 试 题 (理)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分)
题号 答案

1 B

2 D

3 B

4 C

5 A

6 B

7 C

8 A

9 D

10 D

11 C

12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.

? ? 9 且 ? ? ?1

14.

8?

15.

24

16. ①②

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

C ? ? t a nA ( ? B) ? 17. 解 析 : ( 1 ) 在 ?A B C 中 , t a n tan A tan B ?

t a nA ? t a nB , ……..2 分 , 由 t a nA t a nB ? 1

4 , A, B 都是锐角,所以 tanC ? 3(tanA ? tan B) ? 6 tan A tan B ? 4 3 , 3

当 tan A ? tan B ?

2 3 时……5 分 3

tan C 有最小值,故 tanC ? 4 3 ……..6 分
(2)设 AD ? x, BD ? y ,则 tan A ?

2 2 , tan B ? ,……….8 分 x y

所以

4 4 ? ,即: xy ? 3 ,且 x ? 0, y ? 0 ,……分 10 xy 3
1 ( x ? y )CD ? x ? y ? 2 xy ? 2 3 ,当 x ? y ? 3 时“等号”成立 2

所以: S ?ABC ?

?ABC 面积 S 的最小值为 2 3 ………..12 分
18.解析: (1)由条件知: n ? 2 时, a n ?1 ?
2 a a an ? a n ,所以: n?1 ? n ? 1 ………….3 分 an an?1 a n?1

由于 bn ? 分

an?1 , 即:bn ? bn?1 ? 1 , 故 ?bn ? 是首项为 b1 ? 2 , 公差 d ? 1 的等差数列…………5 an an?1 ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ,………….6 分 an
以 :

(2)由(1)知: 所

an?1 ? (n ? 1)an ? (n ? 1)nan?1 ? (n ? 1)n(n ? 1)an?2 ? ? ? (n ? 1)n?a1 ? (n ? 1)! …………
8分 所以: c n ?

n a n?1

?

n n ?1?1 1 1 ? ? ? (n ? 1)! (n ? 1)! n! (n ? 1)!

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? ? 1 ………….12 分 2! 2! 3! n! (n ? 1)! (n ? 1)!

19.解析: 解:取 CD 的中点 O ,连接 OP ,? ?PCD 为等边三角形,

? OP ? CD ,又平面 PCD ? 平面 ABCD ,? OP ? 平面ABCD ??2 分
以 O 为原点,过点 O 垂直 CD 的直线为 x 轴, OC 为 y 轴, OP 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O - xyz . ? BC ? 为 z 轴建立

P _

z _

2 AB , 不 妨 设
D _ O _ B _ M _ y C _ _ A _

AB ? 2则BC ? 2 2 ,依题意可得:
……… 3 分 A(2 2, ? 1,0),D(0, ?1 , 0),P(0, 0,3),M ( 2, 1,0) (1) PD ? (0, ?1 , ? 3), AM ? (? 2, 2, 0) ,从而

x _

AM ? 6 PD ? AM ? ?2 , PD ? 2,

, AM ?? ? cos ? PD

PD ? AM PD ? AM

?

?2 2? 6

??

6 ……… 5 分 6

于是异面直线 PD 和 AM 所成角的余弦值为

6 ????.6 分 6

(2)因为 OP ? 平面ABCD ,所以 OP ? 是平面 ADM 的法向量,???.8 分 (0, 0,3) 设平面 PAM 的法向量为 n ? ( x,y,z) ,又 PA ? (2 2, ?1 , ? 3) , 由?

? ?n ? PA ? 0 ? ?n ? AM ? 0

即?

? ?2 2 x ? y ? 3 z ? 0 ,令 y ? 1 得 n ? ( 2, 1 ,3) …………. 10 分 ? ? 2 x ? 2 y ? 0 ?

于是 cos ? n, OP ??

n ? OP n ? OP

?

2 ? 0 ? 1? 0 ? 3 ? 3 ( 2 ) 2 ? 12 ? ( 3) 2 ? 3

?

2 ????.11 分 2

从而二面角 P ? AM ? D 的大小为 45? . ?????12 分 20.解析

y
D G C

6 3 6 3 (1)已知点 M ( ,? ) 在半圆上,所以 b 2 ? ? ? 1 ,……………2 分 9 9 3 3
当半圆在点 P 处的切线与直线 AG 平行时, P 点到直线 AG 的距离最大, 此时 ?AGP 的面积最大. 所以 OM ? AG ,由于 k OM ? ? 所以 a ?

A

O F E

B

x

a 2 ,所以 k AG ? 2 ? ,由 b ? 1 , b 2

P

2 …………4 分
y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) 或 x 2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ………5 分 2

曲线 C 的方程为:

(2) C(1, 2 ), D(?1, 2 ) ,设 P( x0 , y0 ) ,则有: PC : y ? 2 ?

y0 ? 2 ( x ? 1) , x0 ? 1

令 y ? 0 , xE ? 1 ?

2 ( x 0 ? 1) y0 ? 2

,所以: AE ? 2 ?

2 ( x0 ? 1) y0 ? 2

同理: BF ? 2 ?

2 ( x0 ? 1) y0 ? 2
2

………8 分
2 2

? ? 2 ( x0 ? 1) ? 2 ( x0 ? 1) ? 所以: AE ? BF ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? y0 ? 2 ? y0 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
2

?

2 4 x0 ?4

( y0 ? 2)

2

?

8 2 ?8 y0 ? 2 ,

又由

2 2 2 2 x0 ? y0 ? 1 ,得 x0 ? 1 ? y0 ,代入上式得

?

2 8 ? 4 y0

( y0 ? 2)

2

?

8 2 ?8 y0 ? 2 [来源:学科网 ZXXK]

?

2 8 ? 4 y0 ? 8 2( y0 ? 2)

( y0 ? 2)2

?8

?

?4( y0 ? 2) 2 ( y0 ? 2) 2

?8 ? 4
………12 分

2 2 所以 AE ? BF 为定值

21.解:若证明 f ( x) 是 (0,??) 上的增函数,只需证明 f ?( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立, 即: f ?( x ) ? 2 x ln x ?

2 2 2 ? x ? 0 ? x(2 ln x ? 2 ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 2 ? 1 ? 0 -------4 分 x x x

2 4 2x 2 ? 4 2 ? 设 h( x) ? 2 ln x ? 2 ? 1, x ? (0,?? ) , h ( x) ? ? 3 ? x x x x3
所以: h( x) 在 (0, 2 ) 上递减, ( 2 ,??) 上递增, h( x) 最小值 h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 0 故: f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 ? x ? xh ( x) ? 0 ,所以: f ( x) 是 (0,??) 上的增函数.------6 分 x

(2)由 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x 2 ? 2) ln x ? 2x 2 ? ax ? 0 得:

a?

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 在 x ? ?1,??? 上恒成立,------------8 分 x ( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 , x
则 G ?( x) ?

设 G ( x) ?

( x 2 ? 2)(ln x ? 1) , x2

所以 g ( x) 在 (1, 2 ) 递增, ( 2 , e) 递减, (e,??) 递增------------9 分 所以 G ( x) 的最小值为 G(1), G(e) 中较小的, G (e) ? G (1) ?

2 ?e?2 ? 0, e

所以: G(e) ? G(1) ,即: G ( x) 在 x ? ?1,??? 的最小值为 G(1) ? ?2 ,--------11 分 只需 a ? ?2 -------12 分 22. 解: (1)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC ………………2 分 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC ………………4 分 故 AE ? EB ………………5 分 D A (2)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径, ∴ BF ? EC BF BE E F 在 RT△EBC 中,有 ……………7 分 = BC EC 又在 Rt?BCE 中,由射影定理得
4 ? 1? 2 ? EF ? FC ? BF ? ? ? ? 5 ? 5 ?
2

2

……………10 分
2 2

B

O

C

23.解: (1)由极直互化公式得 C1 : ? (cos 分

? ? sin 2 ? ) ? 3 ,所以 x 2 ? y 2 ? 3 ;---------------2

消去参数 t 得 C 2 的方程: y ? 2 x ? 2m ? 1 ----------------------4 分 (2)由(1)知 C1 是双曲线, C 2 是直线,把直线方程代入双曲线方程消去 y 得:

3x 2 ? 4(2m ? 1) x ? 4m 2 ? 4m ? 4 ? 0 ,-------------------------7 分
若直线和双曲线有两个不同的公共点, 则 ? ? 16(2m ? 1) 2 ? 12(4m 2 ? 4m ? 4) ? 0 , 解得: m ? 1或m ? ?2 -----------10 分

? ? 2, ? 1 5 3 24.解: (1) f ( x) ? ?? 4 x ? , ? ? x ? ,所以 f min ( x) ? ?2 ,若 f ( x) ? a 2 ? 3a ,只需 2 8 8 ? 5 ? 2, x?? 8

x?

3 8

f min ( x) ? ?2 ? a 2 ? 3a ,即: 1 ? a ? 2 ---------------------5 分
(2)由于 f max ( x) ? 2 ,所以 f (m) ? 2, f (n) ? 2 , f (m) ? f (n) ? 4 ,又 f (m) ? f (n) ? 4 , 所以 f (m) ? f (n) ? 2 ,这样 m ? n ? ?

5 5 ,所以 m ? n ? ? ---------------------10 分 8 4


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