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安徽省合肥一中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版


合肥一中 2013—2014 第一学期段二考试 高二理科数学试卷
时间:120 分钟 一、 选择题(共 10 小题,每题 5 分) 1.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 90?,不存在 B. 45?,1 满分:150 分 ) C. 135?,-1 D. 180?,不存在

2. 下面四个命题,其中正确命题的个数是( ) ①若直线 a 与

b 异面, b 与 c 异面,则直线 a 与 c 异面; ②若直线 a 与 b 相交, b 与 c 相交,则直线 a 与 c 相交; ③若直线 a ∥ b , b ∥ c ,则直线 a ∥ c ; ④若直线 a ∥ b ,则 a , b 与 c 所成角相等. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一平面截球得到直径是 6 的圆面, 球心到这个平面的距离为 4, 则该球的表面积为 ( A.20 ? B.50 ? C. 100 ? D.206 ?



4.如右图所示,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 4,且侧棱 AA1 ? 底面ABC , 且正视图是边长为 4 的正方形,则此三棱柱的侧视图的面积为( )

A.16

B.48

C. 4 3
2

D. 8 3 )

2 5. 若直线 x ? y ? 2 ? 0 被圆 ? x ? a ? ? y ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则 a 为(

A. ?1或 3

B. 1或3

C. ?2或6

D. 0或4 )

6. 如果两条直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与 (a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 互相平行,则 a为 ( A. 0 B.

7. 直线 x cos ? ? y ? 3 ? 0 倾斜角的范围是( A.

1 或0 2

C.

1 2

D. ?2 ) C.

? ? ? ? 3? ? ? ?0, 4 ? ? ? 4 , ? ? ? ? ?

B.

? ?1,1?

?? ? ? ? ?4 , 2 ? ?

D.

? ? 3? ? ?4 , 4 ? ? ?

8.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD ? a ,则三棱锥 D ? ABC 的体积为 ( )

-1-

a3 A. 6

a3 B. 12

C.

3a 3 12

D.

2a 3 12
??? ???? ?

9. 已 知 A B C D是 空 间 不 共 面 的 四 点 , 且 满 足 AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , , , ,

??? ??? ? ?

??? ???? ? AB ? AD ? 0 ,则 ?BCD 为(
A.钝角三角形 B.锐角三角形

) C. 直角三角形 D.不确定

10. 在平面直角坐标系中,如果 x与y 都是整数,就称点 ? x, y ? 为整点,下列命题正确的个数 是( ) ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行也不经过任何整点; ②如果 k与b 都是无理数,则直线 y =kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y =kx ? b 经过无穷多个整点,当且仅当 k与b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线; A. 1 B. 2 C. 3 二、 填空题(共 5 小题,每题 5 分)

D. 4

11.直线 l : ax ? y ? 2 ? 0 在 x轴和y轴 上的截距相等,则 a =______ ; 12.点 A 是圆 C : x ? y ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点, A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也 点
2 2

在圆 C 上,则实数 a =__________ ; 13.将棱长为 a 的正方体切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了__________ ; 14.正六棱锥的高为 3,底面最长的对角线为 4 3 ,则其外接球的体积是_________ ; 15.过点 P(2,1) 作直线 l ,与 x轴,y轴 的正半轴分别交于 A, B 两点,则使 PA ? PB 取得最小 值时的直线 l 的方程是_________________; 三、 解答题(共 5 题,共 75 分) 16.(本小题 12 分)已知直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求: (1)过点 P(3,1) 且与直线 l 垂直的直线方程; (写成一般式) (2)点 P(3,1) 关于直线 l 的对称点. 17.(本小题 12 分)已知圆 C 经过点 A(4, ?1) ,并且与圆 M : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于
2 2

点 B(1,2) ,求圆 C 的方程.

-2 -

18.(本小题 12 分)如图,三棱锥 P ? ABC , D为AC 的中点, PA ? PB ? PC ? 5 ,

AC ? 2 2 , AB ? 2 , BC ? 6 .
(1)求证: PD ? 底面ABC ; (2)求二面角 P ? AB ? C 的正切值.

(第 18 题图)

19. (本小题 13 分) 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA ? 底面ABCD ,

E,F分别为AB,PD 的中点,且二面角 P ? CD ? B 的大
小为 45? , (1)求证: AF ∥ 平面PEC ; (2)求证: 面PEC ? 底面PCD ; (3)若 AD ? 2, CD ? 2 2 ,求点 A到面PEC 的距离.

20.(本小题 13 分)已知曲线 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

(1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2) 若曲线 C 与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 交于 M、N 两点, OM ? ON( O 为坐标原点) 求 m 的 且 , 值.

-3-

21.(本小题 13 分)如图在直角坐标系 xoy 中,圆 O 与 x轴 交于 A、B 两点,且 AB ? 4 ,定直 线 l 垂直于 x轴 正半轴,且到圆心 O 的距离为 4,点 P 是圆 O 上异于 A B 的任意一点,直线 、

PA、PB 分别交 l 于点 M、N . (1)若 ?PAB ? 30? ,求以 MN 为直径的圆的方程; (2) 当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内一定点.

合肥一中 2013—2014 第一学期段二考试高二数学试卷 时长:120 分钟 满分:150 分 选择题(共 10 小题,每题 5 分) 1.直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A ) A. 90?,不存在 B. 45?,1 C. 135?,-1 D. 180?,不存在

2.下面四个命题,其中正确命题的个数是( B ) ①若直线 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则直线 a 与 c 异面; ②若直线 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则直线 a 与 c 相交; ③若直线 a ? b,b ? c,则直线 a ? c; ④若直线 a ? b,则 a,b 与 c 所成角相等。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一平面截球得到直径是 6 的圆面,球心到这个平面的距离为 4,则该球的表面积为( C ) A.20 ? B.50 ? C. 100 ? D.206 ? 4.如右图所示,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱长和底面边长均

-4-

为 4,且侧棱 AA1 ? 底面ABC ,且正视图是边长为 4 的正方形,则此三棱柱的侧视图的面积 为( D ) A.16 B.48 C. 4 3
2

D. 8 3

2 5. 若直线 x ? y ? 2 ? 0 被圆 ? x ? a ? ? y ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则 a 为( D )

A. ?1或 3

B. 1或3

C. ?2或6

D. 0或4 C )

6. 如果直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与 (a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行,则 a为 ( A. 0 B.

7. 直线 x cos ? ? y ? 3 ? 0 倾斜角的范围是( A.

1 或0 2

C.

1 2

D. ?2 A C. )

? ? ? ? 3? ? ? ?0, 4 ? ? ? 4 , ? ? ? ? ?

B.

? ?1,1?

?? ? ? ? ?4 , 2 ? ?

D.

? ? 3? ? ?4 , 4 ? ? ?

8.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD ? a ,则三棱锥 D ? ABC 的体积为 ( D )

a3 A. 6

a3 B. 12

C.

3a 3 12

D.

2a 3 12
??? ???? ?

9. 已 知 A B C D是 空 间 不 共 面 的 四 点 , 且 满 足 AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , , , ,

??? ??? ? ?

??? ???? ? AB ? AD ? 0 ,则 ?BCD 为( B
A.钝角三角形 B.锐角三角形

) C. 直角三角形 D.不确定

10. 在平面直角坐标系中,如果 x与y 都是整数,就称点 ? x, y ? 为整点,下列命题正确的个数 是( C ) ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行也不经过任何整点; ②如果 k与b 都是无理数,则直线 y =kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y =kx ? b 经过无穷多个整点, 当且仅当 k与b 都是有理数;

⑤存在恰经过一个整点的直线; A. 1 B. 2 C. 3 四、 填空题(共 5 小题,每题 5 分)

D. 4

11.直线 l : ax ? y ? 2 ? 0 在 x轴和y轴 上的截距相等,则 a =______ ;
2 2

1

12.点 A 是圆 C : x ? y ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点, A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也 点 在圆 C 上,则实数 a =__________ ; -10
-5-

13.将棱长为 a 的正方体切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了__________ ; 14.正六棱锥的高为 3,底面最长的对角线为 4 3 ,则其外接球的体积是__________ ;

12 a 2
343 6

?

15.过点 P(2,1) 作直线 l ,与 x轴,y轴 的正半轴分别交于 A, B 两点,则使 PA ? PB 取得最小 值时的直线 l 的方程是_________________;

x? y ?3? 0

五、 解答题(共 5 题,共 75 分) 16.(12 分)已知直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求: (1)过点 P(3,1) 且与直线 l 垂直的直线方程; (写成一般式)

x ? 2y ?5 ? 0
(2)点 P(3,1) 关于直线 l 的对称点.

9 17 (? , ) 5 5
17.(12 分)已知圆 C 经过点 A(4, ?1) ,并且与圆 M : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于点
2 2

B(1, 2) ,求圆 C 的方程.

? x ? 3?

2

? ? y ? 1? ? 5
2

18.(12 分)如图,三棱锥 P ? ABC , D为AC 的中点, PA ? PB ? PC ? 5 , AC ? 2 2 ,

AB ? 2 , BC ? 6 ,
(1)求证: PD ? 底面ABC ; (2) 求 二 面 角 P ? AB ? C 的 正 切 值 .

2

19.(13 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面

ABCD

是矩形, PA ? 底面ABCD , E,F分别为AB,PD 的中点,且二面角 P ? CD ? B 的大小

45? ,
(1)求证: AF ?平面PEC ;

-6-

(2)求证: 面PEC ? 底面PCD ; (3)若 AD ? 2, CD ? 2 2 ,求点 A到面PEC 的距离.

20.(13 分)已知曲线 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

(1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆;

m?5

(2) 若曲线 C 与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 OM ? ON (O为坐标原点), m 的 求 值.

m?

8 5

21.(13 分)在直角坐标系中,圆 O 的圆心在坐标原点,与 x轴 交于 A B 点,且 AB ? 4 , 、 定直线 l 垂直于 x轴 正半轴,且到圆心的距离为 4,点 P 是圆 O 上异于 A B 的任意一点,直 、 线 PA PB 分别交 l 于 M、N 点. 、 (1)若 ?PAB ? 30? ,求以 MN 为直径的圆的方程;

? x ? 4?
(4 ? 2 3,0)

2

? y 2 ? 12

(2) 当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内一定点.

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