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河北省衡水中学2016届高三上学期七调数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年河北省衡水中学高三(上)七调数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在下列四个选项中,只有一个是符 合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|y=log2(﹣x2+2x)},B={y|y=1+ },那么 A∩?UB=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{

x|1<x<2} 2.在复平面内,复数 g(x)满足 ,则 z 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 am+1?am﹣1=2am(m≥2) ,数列{an}的前 n 项积为 Tn, 若 T2m﹣1=512,则 m 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 区间[0, ]上的值域为( sinωxsin(ωx+ ) C.[﹣ ,1] D.[﹣ , ] ) ) , (ω>0)的最小正周期为 π,则 f(x)在

A.[0, ] B.[﹣ , ]

5.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是(

A.2

B.

C.﹣1 D.1

6.在二项式

的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重 )

新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( A. B. C. D.

-1-

7.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对边的边长,若 cosA+sinA﹣ 则 的值是( )

=0,

A.1 B. C. D.2 8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 (单位:cm) ,则该几 何体的体积为( )

A.120 cm3 B.80 cm3 C.100 cm3 D.60 cm3 9.在△ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ABC 的重心和外心,且

=5,则△ABC 的形状

是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 10.平行四边形 ABCD 中, ? =0,沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BD﹣C,且 2 2 2| | +| | =4,则三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积为( ) A. B. C.4π D.2π

11.已知双曲线 C 的方程为



=1,其左、右焦点分别是 F1、F2,已知点 M 坐标为(2,

1) y0 ) (x0>0, y0>0) , 双曲线 C 上点 P (x0, 满足 ﹣S =(

=

, 则S

) C.2 D.4

A.﹣1 B.1

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x) ,当 x∈[0,2)时,f(x)

=

函数 g(x)=x3+3x2+m.若? s∈[﹣4,2) ,? t∈[﹣

4,﹣2) ,不等式 f(s)﹣g(t)≥0 成立,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣12] B. (﹣∞,﹣4] C. (﹣∞,8] D. (﹣∞, ]



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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 a= (sinx﹣1+2cos2 )dx,则(a ﹣ )6?(x2+2)的展开式中常数项是 .

14.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样, ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1, ③某项测量结果 ξ 服从正态分布 N (1,a2) ,P(ξ≤5)=0.81,则 P(ξ≤﹣3)=0.19, 2 ④对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大. 以上命题中其中真命题的个数为 . 2 2 15.已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上 不存在点 P,使得∠APB 为直角,则实数 m 的取值范围是 . 16.f(x)是定义在 R 上的函数,其导函数为 f′(x) ,若 f(x)﹣f′(x)<1,f(0)=2016, x 则不等式 f(x)>2015?e +1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,向量 =(Sn,1) , =(2n﹣1, ) ,满足条件 ∥ , (1)求数列{an}的通项公式, (2)设函数 f(x)=( )x,数列{bn}满足条件 b1=1,f(bn+1)= ①求数列{bn}的通项公式, ②设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. .

18.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA 丄底面 ABCD,AB 垂 直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥平面 SCD; (2)求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值; (3)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与平面 SAB 所成的角为 θ,求 sinθ 的最大值.

19.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题各一 题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学

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8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟,乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (3)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX. 附表及公式 P(k2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= .

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为

半径的圆与直线 x﹣ y+12=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程, (2)设 A(﹣4,0) ,过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 L 交椭圆 C 于 P,Q 两点,连接 AP,AQ 分别交直线 x= 于 M,N 两点,若直线 MR、NR 的斜率分别为 k1,k2,试问:k1 k2

是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=ln(x+1)﹣x. (1)求 f(x)的单调区间, (2)若 k∈Z,且 f(x﹣1)+x>k (1﹣ )对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值, (3)对于在区间(0,1)上的任意一个常数 a,是否存在正数 x0,使得 ef(x0)<1﹣ x02 成 立?请说明理由. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4 一 1: 几何证明选讲] 22. (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于 D. (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

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[选修 4 一 4 坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

ρsinθ=2acos θ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为

,t(为参

数) ,直线 L 与曲线 C 分别交于 M,N 两点. (1)写出曲线 C 的平面直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)若 PM,MN,PN 成等比数列,求实数 a 的值. [选修 4 一 5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+2|x﹣1|. (Ⅰ)解不等式 f(x)<4; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥|a+1|对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年河北省衡水中学高三(上)七调数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在下列四个选项中,只有一个是符 合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|y=log2(﹣x2+2x)},B={y|y=1+ },那么 A∩?UB=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{x|1<x<2} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】 根据真数大于零得﹣x2+2x>0, 求出 x 的范围即求出集合 A, 再由 求出集合 B, 根据补集和交集得运算求解. 【解答】解:由﹣x2+2x>0 得,0<x<2, ∴A={x|y=log2(﹣x2+2x)}={x|0<x<2}, 又 ,∴1+ ≥1, 则 B={y|y=1+ }={y|y≥1},∴?UB={y|y<1}, 则 A∩?UB={x|0<x<1}, 故选:A. 2.在复平面内,复数 g(x)满足 ,则 z 的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

【考点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数,得到复数对应点的坐标,即可得到结 果 【解答】解:复数 z 满足 z(1+i)=|1+ i|, 可得 z= =1﹣i,

复数 z 对应的点为(1,﹣1) , 在复平面内 z 的共轭复数 =1+i 对应的点为(1,1) ,在第一象限. 故选:A. 3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 am+1?am﹣1=2am(m≥2) ,数列{an}的前 n 项积为 Tn, 若 T2m﹣1=512,则 m 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】由已知条件推导出 am=2,从而 Tn=2n,由 T2m﹣1=512,得 22m﹣1=512=29,由此能求 出结果. 【解答】解:设数列{an}公比为 q am﹣1= ,am+1=am?q,

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∵am+1?am﹣1=2am,∴ ∴ ,



解得 am=2,或 am=0(舍) , 2m﹣1 =512,∴22m﹣1=512=29, ∵T2m﹣1=(am) ∴2m﹣1=9,解得 m=5. 故选:B. 4.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 区间[0, ]上的值域为(

sinωxsin(ωx+ ) C.[﹣ ,1]

) , (ω>0)的最小正周期为 π,则 f(x)在

A.[0, ] B.[﹣ , ]

D.[﹣ , ]

【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】化简可得 f(x)=sin(2ωx﹣ ﹣ )+ ,由 x 的范围,可得所求. )+ sin2ωx sinωxsin(ωx cos2ωx )+ ,由周期公式可得 ω=1,可得 f(x)=sin(2x

【解答】解:化简可得 f(x)=sin2ωx+ = =sin(2ωx﹣ + sinωxcosωx= +

)+ ,

∵函数的最小正周期为 π, ∴ =π,解得 ω=1, )+ ,

∴f(x)=sin(2x﹣ ∵x∈[0, ∴2x﹣ ∈[ ], , )∈[

], ,1], )+ 的值域为[0, ]

∴sin(2x﹣

∴f(x)=sin(2x﹣ 故选:A

5.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是(



-7-

A.2

B.

C.﹣1 D.1

【考点】程序框图. 【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,寻找规律,求出正确的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行情况,如下; 开始,s=2,k=1;1<2013,是,s= 2<2013,是,s= =﹣1,k=1+1=2,

= ,k=2+1=3,

3<2013,是,s=

=2,

… ∴程序框图计算 s 的值是以 3 为周期的函数, 当 k=2012+1=2013 时,2013<2013,否,输出 s= ,结束; 故选:B.

6.在二项式

的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重 )

新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( A. B. C. D.

【考点】二项式定理;等差数列的性质;等可能事件的概率. 【分析】求出二项展开式的通项,求出前三项的系数,列出方程求出 n;求出展开式的项数; 令通项中 x 的指数为整数,求出展开式的有理项;利用排列求出将 9 项排起来所有的排法; 利用插空的方法求出有理项不相邻的排法;利用古典概型的概率公式求出概率.

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【解答】解:展开式的通项为

∴展开式的前三项系数分别为 ∵前三项的系数成等差数列 ∴ 解得 n=8

所以展开式共有 9 项, 所以展开式的通项为 =

当 x 的指数为整数时,为有理项 所以当 r=0,4,8 时 x 的指数为整数即第 1,5,9 项为有理项共有 3 个有理项 所以有理项不相邻的概率 P= 故选 D .

7.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对边的边长,若 cosA+sinA﹣ 则 A.1 的值是( B. ) C. D.2

=0,

【考点】正弦定理. 【分析】已知等式变形后,利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简,根据正弦、余弦函 数的值域确定出 cos(A﹣B)与 sin(A+B)的值,进而求出 A﹣B 与 A+B 的度数,得到 A, B,C 的度数,利用正弦定理化简所求式子,计算即可得到结果. 【解答】解:由 cosA+sinA﹣ =0,

整理得: (cosA+sinA) (cosB+sinB)=2, 即 cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos(A﹣B)+sin(A+B)=2, ∴cos(A﹣B)=1,sin(A+B)=1, ∴A﹣B=0,A+B= 即 A=B= ,C= , , = = =2R,得:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

利用正弦定理

则 故选 B

=

=

=

=



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8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 (单位:cm) ,则该几 何体的体积为( )

A.120 cm3 B.80 cm3 C.100 cm3 D.60 cm3 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由题意,几何体是长宽高分别是 5,4,6cm 的长方体剪去一个角,画出图形,明确 对应数据,计算体积即可. 【解答】解:由题意,几何体是长宽高分别是 5,4,6cm 的长方体剪去一个角,如图:所以 几何体的体积为 5×4×6 故选 C. =100cm3;

9.在△ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ABC 的重心和外心,且

=5,则△ABC 的形状

是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】在△ABC 中,G,O 分别为△ABC 的重心和外心,取 BC 的中点为 D,连接 AD、 OD、GD,运用重心和外心的性质,运用向量的三角形法则和中点的向量形式,以及向量的平 方即为模的平方,可得 ,又 BC=5,则有| |2 = | |2+ | |2>

| |2+| |2,运用余弦定理即可判断三角形的形状. 【解答】解:在△ABC 中,G,O 分别为△ABC 的重心和外心, 取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图: 则 OD⊥BC,GD= AD,

- 10 -

∵ 由 则( =﹣ 即﹣ 则 又 BC=5, 则有| |2=|

, =5, ) ?



= =5, )=5,

?( ,

|2+ |

|2>|

|2+|

|2,

由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形. 故选:B.

10.平行四边形 ABCD 中, ? =0,沿 BD 将四边形折起成直二面角 A 一 BD﹣C,且 2 2 2| | +| | =4,则三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积为( ) A. B. C.4π D.2π

【考点】球的体积和表面积. 【分析】由已知中 ? =0,可得 AB⊥BD,沿 BD 折起后,将四边形折起成直二面角 A 一 BD﹣C,可得平面 ABD⊥平面 BDC,可得三棱锥 A﹣BCD 的外接球的直径为 AC,进而根据 2| |2+| |2=4, 求出三棱锥 A﹣BCD 的外接球的半径, 可得三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表 面积. 【解答】解:平行四边形 ABCD 中, ∵ ? =0,∴AB⊥BD, 沿 BD 折成直二面角 A﹣BD﹣C, ∵将四边形折起成直二面角 A 一 BD﹣C, ∴平面 ABD⊥平面 BDC ∴三棱锥 A﹣BCD 的外接球的直径为 AC, ∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2, ∵2| |2+| |2=4, ∴AC2=4

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∴外接球的半径为 1, 故表面积是 4π. 故选:C.

11.已知双曲线 C 的方程为



=1,其左、右焦点分别是 F1、F2,已知点 M 坐标为(2,

1) y0 ) (x0>0, y0>0) , 双曲线 C 上点 P (x0, 满足 ﹣S =(

=

, 则S

) C.2 D.4

A.﹣1 B.1

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用 = ,得出∠MF1P=∠MF1F2,进而求出直线 PF1 的方程 ﹣S 的值.

为 y=

(x+3) ,与双曲线联立可得 P(3, ) ,由此即可求出 S

【解答】解:∵

=

,∴|MF1|?cos∠MF1P=|MF1|?cos∠MF1F2,∴∠

MF1P=∠MF1F2. ∵F1 (﹣3,0) 、F2(3,0) ,点 M(2,1) ,∴|MF1|= 故由余弦定理可得 cos∠MF1F2= ﹣1= , = (x+3) . , = ,∴tan∠PF1F2= =

,|MF2|=

,|F1F2|=2c=6,

,∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2

∴sin∠PF1F2= ∴直线 PF1 的方程为 y=

=



把它与双曲线联立可得 P(3, ) ,∴|PF1|= ∴sin∠MF1F2= ∵S ∴S = ﹣S ,∴S△PMF1= = , = ﹣ =2.



- 12 -

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x) ,当 x∈[0,2)时,f(x)

=

函数 g(x)=x3+3x2+m.若? s∈[﹣4,2) ,? t∈[﹣

4,﹣2) ,不等式 f(s)﹣g(t)≥0 成立,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣12] B. (﹣∞,﹣4] C. (﹣∞,8] 【考点】其他不等式的解法;特称命题. D. (﹣∞, ]



【分析】由 f(x+2)= f(x)得 f(﹣ )=2f( )=2×(﹣2)=﹣4,x∈[﹣4,﹣3],f(﹣ )=2f(﹣ )=﹣8, ? s∈[﹣4,2) ,f(s)最小=﹣8,借助导数判断:? t∈[﹣4,﹣2) ,g(t)最小=g(﹣4)=m﹣ 16, 不等式 f(s)﹣g(t)≥0 恒成立,得出 f(s)小=﹣8≥g(t)最小=g(﹣4)=m﹣16,求解即可.

【解答】解:∵当 x∈[0,2)时,f(x)=



∴x∈[0,2) ,f(0)= 为最大值, ∵f(x+2)= f(x) , ∴f(x)=2f(x+2) , ∵x∈[﹣2,0], ∴f(﹣2)=2f(0)=2× =1, ∵x∈[﹣4,﹣3], ∴f(﹣4)=2f(﹣2)=2×1=2, ∵? s∈[﹣4,2) , ∴f(s)最大=2, ∵f(x)=2f(x+2) , x∈[﹣2,0], ∴f(﹣ )=2f( )=2×(﹣2)=﹣4, ∵x∈[﹣4,﹣3], ∴f(﹣ )=2f(﹣ )=﹣8, ∵? s∈[﹣4,2) , ∴f(s)最小=﹣8, ∵函数 g(x)=x3+3x2+m, ∴g′(x)=3x2+6x,

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3x2+6x>0,x>0,x<﹣2, 3x2+6x<0,﹣2<x<0, 3x2+6x=0,x=0,x=﹣2, ∴函数 g(x)=x3+3x2+m,在(﹣∞,﹣2) (0,+∞)单调递增. 在(﹣2,0)单调递减, ∴? t∈[﹣4,﹣2) ,g(t)最小=g(﹣4)=m﹣16, ∵不等式 f(s)﹣g(t)≥0, ∴﹣8≥m﹣16, 故实数满足:m≤8, 故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 a= (sinx﹣1+2cos2 )dx,则(a ﹣ )6?(x2+2)的展开式中常数项是 ﹣

332 . 【考点】二项式系数的性质. 【分析】先求得二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 3,求得 r 的值,即可求得常 数项的值. 【解答】解:设 =1+1=2, 则多项式(a ﹣ )6?(x2+2)=(2 ﹣ )6?(x2+2) = =(﹣cosx+sinx)

=[

?

?

+

+

+…+

](x2+2) ,

故展开式的常数项为﹣ 故答案为:﹣332.

×2×1﹣

×2=﹣12﹣320=﹣332,

14.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样, ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1, ③某项测量结果 ξ 服从正态分布 N (1,a2) ,P(ξ≤5)=0.81,则 P(ξ≤﹣3)=0.19, 2 ④对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大. 以上命题中其中真命题的个数为 2 . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据抽样方法的定义和特点即可判断;

- 14 -

②利用相关性系数 r 的意义去判断; ③根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断. ④根据随机变量 k2 的观测值 k 越大,“X 与 Y 有关系”的把握程度越大,判断④是否为真命 题. 【解答】解:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某 项指标检测,这样的抽样是系统抽样,故①错误, r 的绝对值越接近于 1, ②根据线性相关系数 r 的意义可知, 当两个随机变量线性相关性越强, 故②正确; ③某项测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,a2) ,则曲线关于直线 x=1 对称,P(ξ≤5)=P(1<ξ 5 0.5=0.81 < )+ , 则 P(1<ξ<5)=0.31,故 P(﹣3<ξ<1)=0.31,即有 P(ξ≤﹣3)=P(ξ<1)﹣P(﹣3<ξ <1)=0.5﹣0.31=0.19,故③正确. ④根据两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 k2 的观测值 k 来说,k 越大,判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越大,得④是假命题.故④错误, 故正确的是②③, 故答案为:2 15.已知圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 和两点 A(﹣m,0) ,B(m,0) (m>0) ,若圆 C 上 不存在点 P,使得∠APB 为直角,则实数 m 的取值范围是 (0,4)∪(6,+∞) . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 的圆心 C(3,4) ,半径 r=1,设 P(a,b)在圆 C 上,则 2 2 2 =(a+m,b) , =(a﹣m,b) ,由已知得 m =a +b =|OP|2,m 的最值即为|OP|的最值, 可得结论. 【解答】解:圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=1 的圆心 C(3,4) ,半径 r=1, 设 P(a,b)在圆 C 上,则 =(a+m,b) , =(a﹣m,b) , 若∠APB=90°,则 ⊥ , ∴ ? =(a+m) (a﹣m)+b2=0, 2 2 2 2 ∴m =a +b =|OP| , ∴m 的最大值即为|OP|的最大值,等于|OC|+r=5+1=6.最小值为 5﹣1=4, ∴m 的取值范围是(0,4)∪(6,+∞) . 故答案为: (0,4)∪(6,+∞) . 16.f(x)是定义在 R 上的函数,其导函数为 f′(x) ,若 f(x)﹣f′(x)<1,f(0)=2016, x 则不等式 f(x)>2015?e +1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为 (0,+∞) . 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】设 g(x)=e﹣xf(x)﹣e﹣x,利用导数性质得 y=g(x)在定义域上单调递增,从而得 到 g(x)>g(0) ,由此能求出 f(x)>2015?ex+1(其中 e 为自然对数的底数)的解集. 【解答】解:设 g(x)=e﹣xf(x)﹣e﹣x, 则 g′(x)=﹣e﹣xf(x)+e﹣xf′(x)+e﹣x=﹣e﹣x[f(x)﹣f′(x)﹣1], ∵f(x)﹣f′(x)<1,∴f(x)﹣f′(x)﹣1<0, ∴g′(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增, ∵f(x)>2015?ex+1,∴g(x)>2015, ∵g(0)=e﹣0f(0)﹣e﹣0=f(0)﹣1=2016﹣1=2015, ∴g(x)>g(0) .∴x>0,

- 15 -

∴f(x)>2015?ex+1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为(0,+∞) . 故答案为: (0,+∞) . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,向量 =(Sn,1) , =(2n﹣1, ) ,满足条件 ∥ , (1)求数列{an}的通项公式, (2)设函数 f(x)=( )x,数列{bn}满足条件 b1=1,f(bn+1)= ①求数列{bn}的通项公式, ②设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. .

【考点】数列的求和;数列递推式;平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】 (1)运用向量共线的坐标表示,可得 Sn=2n+1﹣2,再由当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1,n=1 时,a1=S1,即可得到所求通项公式; (2)①运用指数的运算性质和等差数列的定义,即可得到所求通项公式; ②求得 Cn= = ,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整

理即可得到所求和. 【解答】解: (1)由向量 =(Sn,1) , =(2n﹣1, ) , ∥ , 可得 Sn=2n﹣1,即 Sn=2n+1﹣2, 当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2n+1﹣2)﹣(2n﹣2)=2n, 当 n=1 时,a1=S1=2,满足上式. 则有数列{an}的通项公式为 an=2n,n∈N*; (2)①f(x)=( )x,b1=1,f(bn+1)= .

可得( )

=

=( )



即有 bn+1=bn+1,可得{bn}为首项和公差均为 1 的等差数列, 即有 bn=n; ②Cn= = ,前 n 项和 Tn=1? +2?( )2+…+(n﹣1)?( )n﹣1+n?( )n,

Tn=1?( )2+2?( )3+…+(n﹣1)?( )n+n?( )n+1, 相减可得, Tn= +( )2+…+( )n﹣1+( )n﹣n?( )n+1

- 16 -

=

﹣n?( )n+1,

化简可得,前 n 项和 Tn=2﹣



18.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA 丄底面 ABCD,AB 垂 直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥平面 SCD; (2)求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值; (3)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与平面 SAB 所成的角为 θ,求 sinθ 的最大值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)以点 A 为坐标原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标 系,利用向量法能证明 AM∥平面 SCD. (2) 求出平面 SAB 的一个法向量和平面 SCD 的一个法向量, 由此利用向量法能求出平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值. (3)设 N(x,2x﹣2,0) ,则 =(x,2x﹣3,﹣1) ,利用向量法能求出 sinθ 的得最大值. 【解答】 证明: (1) ∵在四棱锥 S﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, 侧棱 SA 丄底面 ABCD, AB 垂直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点, ∴以点 A 为坐标原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(2,2,0) ,D(1,0,0) ,S(0,0,2) ,M(0,1,1) , ∴ =(0,1,1) , =(1,0,﹣2) , =(﹣1,﹣2,0) , 设平面 SCD 的一个法向量为 =(x,y,z) , 则 ,令 z=1,得 =(2,﹣1,1) ,

=0,∴ ∵ , ∵AM?平面 SCD,∴AM∥平面 SCD. 解: (2)由题意平面 SAB 的一个法向量 =(1,0,0) , 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 α,由题意 0 ,

则 cosα=

=

=



∴平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值为



- 17 -

(3)设 N(x,2x﹣2,0) ,则 =(x,2x﹣3,﹣1) , ∵平面 SAB 的一个法向量 =(1,0,0) ,MN 与平面 SAB 所成的角为 θ ∴sinθ=|cos< >|= =| |

=

=





,即 x= 时,sinθ 取得最大值(sinθ)max=



19.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题各一 题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学 8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟,乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (3)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX. 附表及公式 P(k2≥k) k K2= 0.15 2.072 0.10 2.706 . 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做出 观测值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到结论; (2)利用面积比,求出乙比甲先解答完的概率; (3)确定 X 的可能值有 0,1,2.依次求出相应的概率求分布列,再求期望即可.

- 18 -

【解答】解: (1)由表中数据得 K2 的观测值 , 所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关;

(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为 (如图所示)

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为 x>y, ∴由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为 ;

(3)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 乙两人没有一个人被抽到有 有 种, , , 种;恰有一人被抽到有

种,其中甲、 种;两人都被抽到

∴X 可能取值为 0,1,2, X 的分布列为: X P 0 1 2





20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为

半径的圆与直线 x﹣ y+12=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程, (2)设 A(﹣4,0) ,过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 L 交椭圆 C 于 P,Q 两点,连接 AP,AQ 分别交直线 x= 于 M,N 两点,若直线 MR、NR 的斜率分别为 k1,k2,试问:k1 k2

是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.

- 19 -

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件,解方程可得 a,b 的值,进而得 到椭圆方程; (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,直线 PQ 的方程为 x=my+3,代入椭圆方程,运用韦达定理 和三点共线斜率相等,运用直线的斜率公式,化简整理,即可得到定值. 【解答】解: (1)由题意得 e= = ,a2﹣b2=c2, 以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 可得 d═ =b,解得 a=4,b=2 ,c=2, x﹣ y+12=0 相切,

故椭圆 C 的方程为

=1;

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 直线 PQ 的方程为 x=my+3,代入椭圆方程 3x2+4y2=48, 得(4+3m2)y2+18my﹣21=0, ∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,

由 A,P,M 三点共线可知,

=

,即 yM=

?



同理可得 yN=

?



所以 k1k2=

=



因为(x1+4) (x2+4)=(my1+7) (my2+7=m2y1y2+7m(y1+y2)+49, 所以 k1k2= 即 k1k2 为定值﹣ . = =﹣ .

21.已知函数 f(x)=ln(x+1)﹣x. (1)求 f(x)的单调区间, (2)若 k∈Z,且 f(x﹣1)+x>k (1﹣ )对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值, (3)对于在区间(0,1)上的任意一个常数 a,是否存在正数 x0,使得 ef(x0)<1﹣ x02 成 立?请说明理由. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求导 f′(x) ,解关于导函数的不等式,从而判断函数的单调区间;

- 20 -

(2)化简可得 xlnx+x﹣kx+3k>0,令 g(x)=xlnx+x﹣kx+3k,求导 g′(x)=lnx+1+1﹣k=lnx+2 ﹣k,从而讨论判断函数的单调性,从而求最大值; (3) 假设存在这样的 x0 满足题意, 从而化简可得 x02+ = x2 + ﹣1<0, 令 h(x) ﹣

1,取 x0=﹣lna,从而可得 hmin,根据函数的单调性求出 x0 的值即可. 【解答】解: (1)∵f(x)=ln(x+1)﹣x, ∴f′(x)= ﹣1=﹣ ,

∴当 x∈(﹣1,0)时,f′(x)>0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)<0; 故 f(x)的单调增区间为(﹣1,0) ,单调减区间为(0,+∞) ; (2)∵f(x﹣1)+x>k(1﹣ ) , ∴lnx﹣(x﹣1)+x>k(1﹣ ) , ∴lnx+1>k(1﹣ ) , 即 xlnx+x﹣kx+3k>0, 令 g(x)=xlnx+x﹣kx+3k, 则 g′(x)=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k, ∵x>1, ∴lnx>0, 若 k≤2,g′(x)>0 恒成立, 即 g(x)在(1,+∞)上递增; ∴g(1)=1+2k≥0, 解得,k≥﹣ ; 故﹣ ≤k≤2, 故 k 的最大值为 2; 若 k>2,由 lnx+2﹣k>0 解得 x>ek﹣2, 故 g(x)在(1,ek﹣2)上单调递减,在(ek﹣2,+∞)上单调递增; ∴gmin(x)=g(ek﹣2)=3k﹣ek﹣2, 令 h(k)=3k﹣ek﹣2,h′(k)=3﹣ek﹣2, ∴h(k)在(1,2+ln3)上单调递增,在(2+ln3,+∞)上单调递减; ∵h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12﹣e2>0,h(5)=15﹣e3<0; ∴k 的最大取值为 4, 综上所述,k 的最大值为 4. (3)假设存在这样的 x0 满足题意, ∵e f(x0)<1﹣ x02, ∴ x02+ ﹣1<0,

- 21 -

令 h(x)= x2+ ∵h′(x)=x(a﹣ 令 h′(x)=x(a﹣

﹣1, ) , )=0 得 ex= ,

故 x=﹣lna,取 x0=﹣lna, 在 0<x<x0 时,h′(x)<0,当 x>x0 时,h′(x)>0; ∴hmin(x)=h(x0)= (﹣lna)2﹣alna+a﹣1, 在 a∈(0,1)时,令 p(a)= (lna)2﹣alna+a﹣1, 则 p′(a)= (lna)2≥0, 故 p(a)在(0,1)上是增函数, 故 p(a)<p(1)=0, 即当 x0=﹣lna 时符合题意. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4 一 1: 几何证明选讲] 22. (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于 D. (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (I)连接 DE 交 BC 于点 G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得 BE=CE. ∠ABE=∠CBE, 于是得到∠CBE=∠BCE, 由已知 DB⊥BE, 可知 DE 为⊙O 的直径, Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到 DC=DB. (II)由(I)可知:DG 是 BC 的垂直平分线,即可得到 BG= .设 DE 的中点为 O,连接

BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到 CF⊥BF.进而得到 Rt△BCF 的外接圆的半径= .

【解答】 (I)证明:连接 DE 交 BC 于点 G. 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE, ∴∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又∵DB⊥BE,∴DE 为⊙O 的直径,∠DCE=90°.

- 22 -

∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB. (II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC. 故 DG 是 BC 的垂直平分线,∴BG= .

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°. ∴CF⊥BF. ∴Rt△BCF 的外接圆的半径= .

[选修 4 一 4 坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

ρsinθ=2acos θ(a>0) ,过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为

,t(为参

数) ,直线 L 与曲线 C 分别交于 M,N 两点. (1)写出曲线 C 的平面直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)若 PM,MN,PN 成等比数列,求实数 a 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可得曲线 C 的普通方程;直接消掉参数 t 可得直线 l 的普通方程; (2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程可得关于 t 的二次方程,由|PM|, |MN|,|PN|成等比数列,得|MN|2=|PM||PN|,变形后代入韦达定理可得 a 的方程. 【解答】解: (1)由 ρsin2θ=2acosθ,得 ρ2sin2θ=2aρcosθ,即 y2=2ax,



消掉 t,得 y=x﹣2,

所以曲线 C 和直线 l 的普通方程分别为:y2=2ax,y=x﹣2; (2)把直线 l 的参数方程代入 y2=2ax,得 t2﹣2 (4+a)t+8(4+a)=0, 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,则有 t1+t2=2 (4+a) ,t1t2=8(4+a) , 2 因为|MN| =|PM||PN|, 所以(t1﹣t2)2=(t1+t2)2﹣4t1t2=t1t2,即 8(4+a)2=5×8(4+a) , a=1 解得 . [选修 4 一 5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+2|x﹣1|. (Ⅰ)解不等式 f(x)<4;

- 23 -

(Ⅱ)若不等式 f(x)≥|a+1|对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】带绝对值的函数. 【分析】 (Ⅰ)利用绝对值的几何意义,写出分段函数,即可解不等式 f(x)<4; (Ⅱ)不等式 f(x)≥|a+1|对任意的 x∈R 恒成立等价于|a+1|≤2,即可求实数 a 的取值范 围.

【解答】解: (I)

.…

当 x≤﹣1 时,由﹣3x+1<4 得 x>﹣1,此时无解; 当﹣1<x≤1 时,由﹣x+3<4 得 x>﹣1,∴﹣1<x≤1; 当 x>1 时,由 3x﹣1<4 得 综上,所求不等式的解集为 ,∴ .… .…

(II)由(I)的函数解析式可以看出函数 f(x)在(﹣∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调 递增,故 f(x)在 x=1 处取得最小值,最小值为 f(1)=2,… 不等式 f(x)≥|a+1|对任意的 x∈R 恒成立等价于|a+1|≤2, 即﹣2≤a+1≤2,解得﹣3≤a≤1,故 a 的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}.…

- 24 -

2016 年 11 月 24 日

- 25 -


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