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高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案7-2


第7章
一、选择题

第2节

1.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(

)

A.32π C.12π 答案:C

B.16π D.8π

解析:由三视图知,该几何体是半径为 2 的半球体,其表面积 S=12π. 2.如图

,E、F 分别为正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,沿图中虚线将边长为 2 的 正方形折起来,围成一个三棱锥,则此三棱锥的体积是( A. 1 C. 2 3 B. D. 1 3 3 2 )

答案:B 解析:折叠起来后,B、C、D 三点重合为 S 点,则围成的三棱锥为 S—AEF.这时,SA 1 1 ⊥SE, SA⊥SF, SE⊥SF, 且 SA=2,SE=SF=1, 所以此三棱锥的体积为 V= × ×1×1×2 3 2 1 = . 3 3.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形,俯视图为正方形, 则这个几何体的体积等于( )

1 A. 3 C. 15 6

2 B. 3 D. 62 24

答案:A 1 1 1 解析:由题中的三视图可知,该几何体是一个四棱锥,所以其体积为 V= Sh= × ×2 3 3 2 1 = .故选 A. 3 4.(2010· 深圳调研)如图,一个简单组合体的正视图和侧 视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形, 俯 视图是一个半径为 3的圆(包括圆心). 则该组合体的表面积等 于( ) A.15π C.21π 答案:C 解析:由题意可知,该组合体的下面为圆柱体,上面为圆锥体,由相应几何体的面积计 算 公 式 得 , 该 组 合 体 的 表 面 积 为 : S = πr2 + 2πrh + πrl = π( 3 )2 + 2π×( 3 )×2 3 + π×( 3)×2 3=21π. 5.(2009· 辽宁卷)正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三 棱锥 P-GAC 体积之比为( A.1∶1 C.2∶1 答案:C 解析:由题意可知 VB-GAC=VP-GAC, ∵三棱锥 VB-GAC=VG-BAC,VD-GAC=VG-ADC, 又∵三棱锥 G-BAC 与三棱锥 G-ADC 等高,且 S△BAC∶S△ADC=1∶2, 综上可知 VD-GAC∶VP-GAC=2∶1,故选 C. 6.(2010· 北京卷)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上, 动点 P、Q 分别在棱 AD、CD 上.若 EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z 大于零),则 四面体 PEFQ 的体积( ) ) B.1∶2 D.3∶2 B.18π D.24π

A.与 x,y,z 都有关 B.与 x 有关,与 y,z 无关 C.与 y 有关,与 x,z 无关 D.与 z 有关,与 x,y 无关 答案:D

解析:∵DC∥A1B1,EF=1, 1 ∴S△EFQ= ×1×2 2= 2(定值). 2 四面体 PEFQ 中面 EFQ 上的高为 P 到面 A1DCB1 的距离,为 DP· sin45° = 1 2 1 ∴V 四面体 PEFQ= × 2× z= z. 3 2 3 二、填空题 7.如图是某几何体的三视图,其中三个视图的轮廓都是边长为 1 的正方形,则该几何 体的体积为________. 2 z. 2

5 答案: 6 解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,由题意可知, 1 1 5 该几何体可补成正方体,所以其体积为 1- × ×1×12= . 3 2 6 8.(2010· 湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同 的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示), 则球的半径是________cm. 答案:4 解析:设球的半径为 r, 4 则 6r· πr2=8πr2+3× πr3?r=4(cm). 3 9. (2010· 江西卷)如图, 在三棱锥 O-ABC 中, 三条棱 OA, OB, OC 两两垂直,且 OA>OB>OC,分别经过三条棱 OA,OB,OC 作一 个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1,S2,S3,则 S1,S2, S3 的大小关系为________. 答案:S3<S2<S1 解析:取 BC 中点 D,AB 中点 E,AC 中点 F, 易知面 AOD,面 BOF,面 COE 平分三棱锥的体积. S1=S△AOD,S2=S△BOF,S3=S△COE. 设 OA=a,OB=b,OC=c,

1 1 1 1 1 则 S1= a· OD= a·BC= a· b2+c2= 2 2 2 4 4 1 同理 S2= 4 1 a2b2+b2c2,S3= 4

a2b2+a2c2.

a2c2+b2c2.

∵a>b>c,∴S1>S2>S3. 三、解答题 10. 已知正方体 AC1 的棱长为 a, E、 F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点, 求四棱锥 A1-EBFD1 的体积. 解:因为 EB=BF=FD1=D1E= a 5 a2+? ?2= a, 2 2

所以四棱锥 A1-EBFD1 的底面是菱形,连接 EF, 则△EFB≌△EFD1, 由于三棱锥 A1-EFB 与三棱锥 A1-EFD1 等底同高, 所以 VA1-EBFD1=2VA1-EFB=2VF-EBA1 1 1 =2·· S△EBA1· a= a3. 3 6 11. (2010· 江苏卷)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° . (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 解:(1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由∠BCD=90° ,得 BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,PD?平面 PCD,DC?平面 PCD, 所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC?平面 PCD,所以 PC⊥BC. (2)连结 AC,设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. 因为 AB∥DC,∠BCD=90° ,所以∠ABC=90° . 从而由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1. 1 1 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V= S△ABC· PD= . 3 3 因为 PD⊥平面 ABCD,DC?平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 又 PD=DC=1,所以 PC= PD2+DC2= 2. 由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 S△PBC= 1 1 2 1 由 V= S△PBC· h= · · h= ,得 h= 2. 3 3 2 3 因此,点 A 到平面 PBC 的距离为 2. 2 , 2

12.两个相同的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形的中心)底面重合 组成一个八面体,可放于棱长为 1 的正方体中,重合的底面与正方体的某一个面平行,各顶 点均在正方体的表面上,把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”. (1)若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心,求异面直线 DE 与 CF 所成的角; (2)问此正子体的体积 V 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,求出体积大小的取 值范围.

解:(1)依题意,“正子体”任一棱都是正方体相邻两个面中心的连线, 因为,“正子体”的所有棱的长均相等,且 E、C、F、A 在同一个平面上,即四边形 ECFA 为菱形. ∴EA∥CF,故相交直线 DE 与 EA 所成的角就是异面直线 DE 与 CF 所成的角. 由△ADE 为正三角形,得 DE 与 EA 所成的角为 60° . 因此 ,异面直线 DE 与 CF 所成的角为 60° . (2)正子体的体积不是定值. 设正方形 ABCD 与正方体的截面四边形为 A′B′C′D′, 设 AA′=x(0≤x≤1),则 AB′=1-x, 1 1 |AD|2=x2+(1-x)2=2(x- )2+ , 2 2 1 故 S 正方形 ABCD=|AD|2∈[ ,1], 2 1 1 1 1 1 1 V= · S 正方形 ABCD· h· 2= · S 正方形 ABCD·· 2= S 正方形 ABCD∈[ , ]. 3 3 2 3 6 3


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