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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)(公开课)


知识回顾
图形 优点 1)易表示大量数据 2)直观的反映分布 的情况 缺点

频率分布直方图

不能保留原始数据

频率分布折线图

反应数据的变 化趋势,如果样本 容量不断增大,趋 于总体密度曲线。 1)无信息损失 2)随时记录,方便 记录和表示

不能保留原始数据

茎叶图

只能处理样本 容量较小数据

2.2.2 用样本的数 字特征估计总体的 数字特征(一)



众数、中位数、平均数的概念

众数:在一组数据中,出现次数最多的数 据叫做这组数据的众数.

中位数:将一组数据按大小依次排列,把 处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数 据的平均数)叫做这组数据的中位数.
平均数: 一组数据的算术平均数,即
1 x= ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) n

1、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运 动员的成绩如下表所示:
成绩(米)
人数

1.50 1.60
2 3

1.65
2

1.70
3

1.75
4

1.80
1

1.85
1

1.90
1

分别求这些运动员成绩的众数,中位数与平均数 。 解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组 数据的众数是1.75. 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中 第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数1.70; 这组数据的平均数是 1 x ? (1.50 ? 2 ? 1.60 ? 3 ? ... ? 1.90 ?1) ? 1.69 ? 米 ? 17 答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75 (米)、1.70(米)、1.69(米)。

探究1:众数、中位数和平均数
思考1:如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平 均数?

思考2:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方 图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估计总体的众 数是什么?

频率 0.5 组距 0.4 0.3 0.2 0.1
O

取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

思考3:在频率分布直方图中,每个小矩形的面积表示什么? 中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系? 思考4:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方 图中,从左至右各个小矩形的面积分别是0.04,0.08, 0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.由此估计 总体的中位数是什么? 频率
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 组距

月均用水量/t

0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,设小矩形的宽为X,则: 0.5X=0.01,得X=0.02,所以中位数是2+0.02=2.02.

思考5:频率分布直方图的平均数怎么求?是多少?
频率 组距

0.5 0.25,0.75,1.25, 0.4 1.75,2.25,2.75, 0.3 3.25,3.75,4.25. 0.2 月均 0.1 用水量/t O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个 小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此 估计总体的平均数就是
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.7 5×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02 =2.02(t).

思考6:从居民月均用水量样本数据和频率分布直方图得 出的结论有偏差,你能解释一下原因吗?
众数 样本数据 频率分布直方图 2.3 2.25 中位数 2.0 2.02 平均数 1.973 2.02

在制作频率分布直方图“丢失”了一些样本数据,得到的 是一个估计值,且所得估计值与数据分组有关. 注:在只有样本频率分布直方图的情况下,才可按上述方 法估计众数、中位数和平均数,并由此估计总体特征.

三种数字特征的优缺点
特征数 众数 中位数 平均数 优 点 缺 点
体现了样本数据的最大 无法客观反映总体 特征 集中点 不受少数极端值的影响 不受少数极端值的 影响有时也是缺点 与每一个数据有关,更 受少数极端值的影 能反映全体的信息. 响较大,使其在估 计总体时的可靠性 降低.

三 、 众数、中位数、平均数的简单应用
练习1:”八.一”前夕,某中学举行国防知识竞赛:满分 为100分,80分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生 的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布 直方图.

求:(1)成绩的众数、 中位数; (2)平均成绩 0.040
0.030

(1)65,65 (2)67

0.015 0.010 0.005 0 50 60 70 80 90 100

练习2 、潮州统计局就某地居民的月收入调查了10000人, 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括 左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在 [1000, 1500) ) (1)求居民月收入在 [3000, 3500) 的频率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的众数、中位数、 平均数。
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

众数:2250和2750 中位数:2400 平均数:2400

x

月收入(元)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

小结
用样本的数字特征估计总体的数字特征, 是指用样本的众数、中位数、平均数等统计数 据,估计总体相应的统计数据.


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