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高三周四练习12.4


高三数学周四练习

2014.12.4

班级___________________姓名_____________________成绩____________________ 一、填空: 1、已知集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},则?UA=________{3,5} 5i 2、在复平面内,复数 对应的点位于第________象限.一 S←0 2+i 3、 已知 a, b 为单位向量, 其夹角为 60 , 则 (2a ? b) ? b ? ____0
o

For I From 1 To 10

S←S+I End For Print S (第 4 题) 5、已知某拍卖行组织拍卖的 4 幅名画中,有 2 幅是赝品.某人在这次拍卖中随机买入了两 4、根据如图所示的代码,最后输出的 S 的值为________55 幅画,则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________

2 3

→ → → 6、已知向量OA=(3,-4),OB=(5,-3),OC=(4-m,m+2).若点 A、B、C 能构成三 11 角形,则实数 m 应满足条件______________m≠- , 3 7、在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a9 ? a27 ? 12 ,则 a13 ? ____________4 8、将 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位( ? ? 0 ) ,使得平移后的图像过点 ( 最小值为 _______

?
3

,

3 ), 则 ? 的 2

? 6

9、圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4)、B(0,-2),则圆 C 的方 程为_____________________________(x-2)2+(y+3)2=5
2 2 10、过点 P ( ,1) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1) ? y ? 4 交于 A,B 两点,当 ?ACB 最小时,直线 l

1 2

的方程为_________________ 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 11、若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是_____________ [1-2 2,3] 12、已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为_____________5 13、 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? x ? c( x ? R)的值域为?0, 则 ? ?? ,

c?2 a?2 ? 的最小值为 a c

____________ 10 14、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若对任意的等差数列 {an } 及任意的正整数 n 都有不 等式 an ?
2

Sn 2 ? ? a12 成立,则实数 ? 的最大值为 2 n



1 5

二、解答:

3 15、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,cosC= . 10 → → 9 (1) 若CB·CA= ,求 c 的最小值; 2
2B? (2) 设向量 x=(2sinB,- 3),y=? ?cos2B,1-2sin 2 ?,且 x∥y,求 sinA 的值.

9 → → 9 解:(1) CB·CA= ,∴ abcosC= ,∴ ab=15. 2 2 3 ∴ c2=a2+b2-2abcosC≥2ab-2ab· =21. 10 ∵ c>0,c≥ 21,∴ c 的最小值为 21.
2B? (2) ∵ x∥y,∴ 2sinB? ?1-2sin 2 ?+ 3cos2B=0,2sinBcosB+ 3cos2B=0,

即 sin2B+ 3cos2B=0, 2π 5 π π 5π ∴ tan2B=- 3,∴ 2B= 或 ,∴ B= 或 .( 3 3 3 6 π 5π π 3 1 ∵ cosC= > ,∴ C> ,∴ B= 舍去,∴ B= . 10 2 3 6 3 ∴ sinA=sin(B+C)=

91 ? 3 3 20

16、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,2) ,B(0,4) ,圆 C 以线段 AB 为直径 (1)求圆 C 的方程; (2)设点 P 是圆 C 上与点 A 不重合的一点,且 OP=OA,求直线 PA 的方程和 ?POA 的面 积。 解: (1)设圆 C 的圆心 C( a, b) ,半径为 r ,则 a ? 1, b ? 3 -

r ? AC ? (2 ? 1) 2 ? (2 ? 3) 2 ? 2 -∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 2 -2 2

(2)∵OP=OA,CP=CA,∴OC 是线段 PA 的垂直平分线-又 OC 的斜率为 3,∴PA 的斜率为 ?

1 3

∴直线 PA 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 3 y ? 8 ? 0 ∵点 O 到直线 PA 的距离 d ?

1 3

0? 0?8 1 ?3
2 2

?

4 10 5

OA= 2 2 ? 2 2 ? 2 2 … ∴ PA ? 2 OA2 ? d 2 ? 2 8 ? (

4 10 2 4 10 ) ? 5 5

∴ ?POA 的面积 ?

1 1 4 10 4 10 16 PA ? d ? ? ? ? … 2 2 5 5 5

17、 如图, 某广场中间有一块扇形状绿地 OAB, 其中 O 为扇形所在圆的圆心, ∠AOB=60, . ︵ 广场管理部门欲在绿地上修建观光小路: 在AB上选一点 C, 过 C 修建与 OB 平行的小路 CD, 与 OA 平行的小路 CE.问 C 应选在何处,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长最大.

解:由题意知,四边形 ODCE 是平行四边形. 因为∠AOB=60°,所以∠ODC=120°. 连结 OC.设 OC=r. 解法 1:设 OD=x,OE=y, 则 CE=x,CD=y. 在△ODC 中,由余弦定理,得 OC2=OD2+DC2-2OD· DCcos120°, 2 2 2 即 r =x +y +xy.(4 分) 所以(x+y)2=r2+xy≤r2+?

?x+y?2 ?. ? 2 ?

解得 x+y≤

2 3 3 r,当且仅当 x=y= r 时取等号, 3 3

︵ 2 3 所以 x+y 的最大值为 r,此时 C 为AB的中点. 3 ︵ 故点 C 应选在AB的中点处,才能使得修建的道路总长最大. 解法 2:设∠COA=θ,0°<θ <60°,所以∠OCD=60°-θ. OD CD OC 在△ODC 中,根据正弦定理,得 = = , sin∠OCD sin∠COD sin∠ODC 即 CD r = = . sin(60°-θ) sinθ sin120° OD

2 3 2 3 所以 OD= rsin(60°-θ),CD= rsinθ . 3 3 所以 CE+CD=OD+CD= = = 2 3 r[sin(60°-θ)+sinθ ] 3

2 3 r(sin60°cosθ -cos60°sinθ +sinθ ) 3 2 3 r(sin60°cosθ +cos60°sinθ ) 3



2 3 rsin(60°+θ ). 3

因为 0°<θ <60°,所以 60°<60°+θ<120°, ︵ 2 3 所以当 60°+θ=90°, 即 θ=30°时, CE+CD 取得最大值 r, 此时 C 为AB的中点. 3 ︵ 故点 C 应选在AB的中点处,才能使得修建的道路总长最大. 18 、 (理)已知实数 ? ? 0, 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 2, 且对任意正整数 n ,满足

an?1 ? ?an ? 1 (1) ? 为何值时,数列 ?an ?为等差数列?(2)是否存在常数 ? 与前 n 项和
为 Tn 的等比数列 ?bn ? ,使得对任意正整数 n , S n ? Tn ? n 恒成立,若存在,求出 ? 的值和 数列 ?bn ? 的通项公式;若不存在,说明理由。
3 3 3 (文)数列 ?an ?,满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 , 且an ? 0

( 1 ) 求 a1 , a2 ; ( 2 ) 求 证 : 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 并 求 通 项 公 式 ; (3)设数列

? 1 ? 1 ? ?的和为S n , S n ? log a (1 ? a)对于?n ? N ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。 3 ? an an? 2 ?
(理)见期中答案 (文) (1) a n ? n (2) 0 ? a ?

1 2

19、已知函数 f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+1(a、b∈R). (1) 若 a≠0,则 a、b 满足什么条件时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切 线? (2) 当 a=1 时,求函数 h(x)= g(x) 的单调减区间; f(x)

(3) 当 a=0 时,若 f(x)≥g(x)对任意的 x∈R 恒成立,求 b 的取值的集合.

解:(1) 因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1.又 f(0)=1, 所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1.( 因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1. 所以当 a≠0 且 b=1 时,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线. x2+bx+1 (2) 由 a=1,h(x)= , ex -x2+(2-b)x+b-1 (x-1)[x-(1-b)] 所以 h′(x)= =- .( x e ex 由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞); 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞); 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞).( (3) 由 a=0,则 φ(x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,所以 φ′(x)=ex-b. ① 当 b≤0 时,φ ′>0,函数 φ(x)在 R 上单调递增. 又 φ(0)=0,所以 x∈(-∞,0)时,φ (x)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. ② 当 b>0 时,由 φ′(x)>0,得 x>lnb;由 φ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ(x)在(-∞,lnb)上单调递减,在(lnb,+∞)上单调递增. 当 0<b<1 时,所以 lnb<0,又 φ(0)=0,所以 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾; 当 b>1 时,同理 φ(lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾; 当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 所以 φ(x)≥φ(0)=0,故 b=1 满足题意. 综上所述,b 的取值的集合为{1}.


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