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三角函数图像和性质


三角函数图像和性质
合肥一中 丁荣文

第3课时

三角函数的图像

1.理解正弦函数,余弦函数、正切函数的图像. 2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ φ)的简图,理解A,ω,φ的物理意义.

请注意
本课时是高考热点之一,主要考查:①作函数图像,

包括用 五点法描图及图形变换作图;②由图像确定解析式;③考查 三角函数图像变换;④图像的轴对称、中心对称.题型多是 容易题或中等题.

1.三角函数的图像 (1)y=sinx,x∈[0,2π]的图像是

?

.

(2)y=cosx,x∈[0,2π]的图像是

π π (3)y=tanx,x∈(-2,2)的图像是

2.y=Asin(ωx+φ)的图像(A>0,ω≠0) (1)五点作图法.
φ ( - 作y=Asin(ωx+φ)的图像时,五点坐标为_________ ω,0) ,
?π-2φ ? ? ? ? 2ω , A ? ? ? ?π-φ ? ? ? ? ω ,0? ? ? ?3π-2φ ? ? ? ,- A ? ? 2ω ? ?

___________,_________,_____________, ____________.

?2π-φ ? ? ? , 0 ? ? ω ? ?

(2)变换作图.

【说明】

前一种方法第一步相位变换是

向左(φ>0)或向右(φ<0) 平移 |φ| 个单位,而后一种方法第 ______________________ |φ| 左 ( φ >0) 或向右 ( φ <0) 二步相位变换是向 平移 ω 个单 位,要严格区分,对y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)同

样适用.

题型一
例1

五点法作y=Asin(ωx+φ)的图像

x x 用“五点法”画出函数 y= 3sin2+cos2的图像, 并

指出这个函数的周期与单调区间.

【解析】

x x x π y= 3sin +cos =2sin( + ), 2 2 2 6

x π 令 T= + ,则列表如下: 2 6 T x y=2sinT 0 π 2 π 3π 2 8π 3 -2 2π 11π 3 0

π 2π 5π - 3 3 3 0 2 0

在坐标系中描出相应的五点,再用平滑的曲线连接起 来,如下图所示,再向两端伸展一下.

从图像观察:该函数的周期为 T= [-

2π =4π. 1 2

4π 2π +4kπ, +4kπ](k∈Z)为增区间, 3 3 2π 8π [ +4kπ, +4kπ](k∈Z)为减区间. 3 3

【答案】

T=4π

4π 2π 单调递增区间为[- 3 +4kπ, 3 +

2π 8π 4kπ](k∈Z),单调递减区间为[ 3 +4kπ, 3 +4kπ](k∈Z)

探究 用“五点法”作正、余弦型函数图像的步骤是: (1)将原函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)的形式; (2)确定周期; (3)确定一个周期内函数图像的最高点和最低点; (4)选出一个周期内与x轴的三个交点; (5)列表; (6)描点.

思考题1

用 五 点 法 作 出

π y = 2sin(2x + 3 ) 在

? π 2π? ?- , ? 3 3 ?内的图像. ?

题型二
例2 像.

三角函数的图像变换

1 π (1)如何由 y=sinx 的图像得 y=2cos(-2x+ 4 )的图

1 π (2)如何由 y=3sin(2x+ 4 )的图像得 y=sinx 的图像.

1 π 1 π 【解析】 (1)y=2cos( x- )=2sin( x+ )以下略. 2 4 2 4 1 π (2)转化为由 y=sinx 的图像得 y= sin(2x+ ), 再逆推就是: 3 3 1 π 把 y= sin(2x+ )图像上各点的纵坐标都伸长到原来的 3 倍(横 3 3 π π 坐标不变)得 y=sin(2x+ )的图像, 再把 y=sin(2x+ )图像上所 3 3 π 有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得 y=sin(x+ ) 3 π π 的图像, 再把 y=sin(x+ )的图像上所有点的横坐标向右平移 , 3 3 得 y=sinx 的图像.

探究 关于 y=Asin(ωx+φ)函数图像由 y=sinx 的图像的 变换,先将 y=sinx 的图像向左(或右)平移|φ|个单位,再将其 1 上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω倍, 再将其纵 坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍,但在(2)题中, 是先进行伸缩变换,再进行平移变换,此时平移不再是 |φ|个 φ 单位,而是|ω|个单位,原则是保证 x 的系数为 1,同时注意 变换的方法不能出错.

思考题2 如何由函数y=sinx的图像得到下列函数 的图像.
2 (1)y=sin(2x-3π)-2; π (2)y=cos(2x- 3 ); (3)y=|2sinx|; π (4)y=sin(|x|+ 3 ).

题型三
例3

已知函数图像求解析式

已知函数 y=Asin(ωx+φ), x∈R(其中 A>0, ω>0)

的图像在 y 轴右侧的第一个最高点 ( 函数取最大值的点 ) 为 M(2,2 2),与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0),求这 个函数的解析式.

【思路】 根据题意,可知点M,N是函数y=Asin(ωx+φ), x∈R(其中A>0,ω>0)图像的五个关键点中的两个,可作出 其函数的大致图像,如图所示.

【解析】 方法一 (最值点法): T 根据题意,可知 A=2 2, =6-2=4. 4 2π π 所以 T=16.于是 ω= T = , 8 π 将点 M(2,2 2)代入 y=2 2sin( x+φ), 8 π 得 2 2=2 2sin( · 2+φ). 8 π π π π 所以 sin( +φ)=1.所以 +φ= ,即 φ= . 4 4 2 4

π π 从而所求函数的解析式是 y=2 2sin( x+ ),x∈R. 8 4 方法二 (零点法): π 由方法一可知 T=16,A=2 2,ω= , 8 根据题意知 N 是第二个零点,故 x3=6. π 又由 ωx3+φ=π,得 φ= . 4

【答案】

π π y=2 2sin( x+ ) 8 4

探究 由 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图像,求 其解析式时,A 比较容易由图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法: (1)如果图像明确指出了周期 T 的大小和“零点”坐标, 那 2π 么由 ω= T 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的 右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标 x0,则令 ωx0+φ= 0(或 ωx0+φ=π)即可求出 φ.

(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零 点)坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的 符号或对φ的范围有所需求,则可用诱导公式变换使其符 合要求.

思考题3

(2013· 四 川 理 ) 函 数 f(x) = 2sin(ωx +

π π φ)(ω>0,- 2 <φ<2 )的部分图像如图所示,则 ω,φ 的值分别 是( )

π A.2,-3 π C.4,-6

π B.2,-6 π D.4,3

题型四

函数y=Asin(ωx+φ)+b模型的简单应用

例4 如图所示,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似 满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

【解析】 (1)由图可得,这段时间的最大温差是 30-10 =20 ℃. (2)图中从 6 时至 14 时的图像是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图像. 1 2π π ∴ · =14-6,解得 ω= . 2 ω 8 1 1 由图可得,A= (30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 2 π 这时 y=10sin( x+φ)+20. 8

将 x=6,y=10 代入上式,可取 φ=

3π . 4

π 3π 综上,所求解析式为 y=10sin( x+ )+20,x∈[6,14]. 8 4

【答案】

(1)20 ℃

π 3π (2)y=10sin(8x+ 4 )+20,x∈[6,14]

思考题4 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m, 圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与 地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与 地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式; (2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB, 求h与t之间的函数关系式,并求缆车到达 最高点时用的最少时间是多少?

1.五点法作函数图像及函数图像变换问题. (1)当明确了函数图像基本特征后,“描点法”是作函数图像 的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图像时, 应取好五个特殊点,并注意曲线的凹凸方向. (2)在进行三角函数图像变换时,提倡“先平移,后伸缩”, 但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须 熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角” 变化多少.

2.由图像确定函数解析式. 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图像确定 A,ω,φ 的题型, φ 常常以“五点法”中的第一零点(-ω,0)作为突破口,要从图 像的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特 殊点.

第4课时

三角函数的性质

1.了解周期函数与最小正周期的意义,会求一些简单三角函 数的周期. 2.了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性,并会运用这些 性质解决问题. 请注意 近两年的新课标高考对三角变换的考查要求有所降低,而 对三角函数的图像与性质考查有所加强,但以选择填空为 主.

? 1.三角函数的性质.
函数
周期性 奇偶性

y=sinx

y=cosx

y=tanx

T=2π
奇函数

T=2π
偶函数

T=π
奇函数

函数 增区 单 调

y=sinx
π [2kπ- 2 ,2kπ+ π 2 ](k∈Z)
π [2kπ+ 2 ,2kπ+ 3π 2 ](k∈Z)

y=cosx

y=tanx
π (kπ- 2 , kπ+



[2kπ - π , 2kπ](k∈Z) π 2 )(k∈Z)



减区


[2kπ , 2kπ + π](k∈Z)

函数

y=sinx 对称轴

y=cosx x=kπ

y=tanx

对称性

π x=2+kπ

无 kπ ( 2 ,0)

π 对称中心(kπ, 0) ( +kπ,0) 2

2π 2.y=Asin(ωx+φ)的最小正周期 T=|ω|. π y=Atan(ωx+φ)的最小正周期 T=|ω|. 3.(1)求三角函数的最小正周期,应先化简为只含一个 三角函数一次式的形式. (2)形如 y=Asin(ωx+φ)形式的函数单调性, 应利用复合 函数单调性研究. (3)注意各性质应从图像上去认识, 充分利用数形结合解 决问题.

题型一 三角函数的周期性
例1 求下列函数的周期:
? ? ?2 π? (1)y=2sin?3x+ 3 ?;

(2)y=|cosx|;

(3)y=|tanx|;

(4)y=sin2x+ 3cos2x.

【解析】

?2 π? ? (1)∵y=2sin 3x+ 3 ?, ? ?

?2 π? 2π ∴T= =3π,即 y=2sin?3x+ 3 ?的周期为 3π. 2 ? ? 3

(2)作图可知 T=π. (3)作图可知 T=π. (4)y=sin2x+ 3cos2x
?1 =2? ?2sin2x+ ? ? 3 ? cos2x? 2 ?

? π π? ? cos +cos2x· sin ? =2 sin2x· 3 3? ? ? π? =2sin?2x+ 3 ?, ? ?

∴T=

2π =π. 2

? 【答案】

(1)3π

(2)π

(3)π (4)π

思考题1 (1)f(x)=|sinx-cosx|的最小正周期为 ________.

(2)若f(x)=sinωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点,则ω 的取值范围是________.

题型二
例2

三角函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性:

3x 3π (1)f(x)=sin( 4 + 2 ); (2)f(x)=xsin(5π-x).

3x 3π 3x (1)∵x∈R,f(x)=sin( 4 + 2 )=-cos 4 , 3? -x? 3x ∴f(-x)=-cos 4 =-cos 4 =f(x). 3x 3π ∴函数 f(x)=sin( 4 + 2 )为偶函数. 【解析】 (2)f(x)=xsin(π-x)=xsinx, f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x). ∴f(x)为偶函数. ? 【答案】 (1)偶函数

(2)偶函数

?

思考题2

判断下列函数的奇偶性:

π (1)y=sin(2x+ 2 ); (2)y=tan(x-3π); cosx?1-sinx? (3)f(x)= ; 1-sinx (4)f(x)=sin(2x-3)+sin(2x+3).

题型三
例3 程.

三角函数图像的对称性

π (1)求函数 f(x)=sin(2x- 6 )的对称中心和对称轴方

π (2)设函数 y=sin2x+acos2x 的图像关于直线 x=- 6 对 称,求实数 a 的值. x π (3)求函数 y=tan(2+ 3 )的图像的对称中心.

【解析】

π (1)思路:利用三角函数的图像,把 2x-6看

做一个变量,用换元的方法求对称中心或对称轴方程,也可 π 以考虑 y=sinx 与 y=sin(2x-6)的关系,利用变换的思想求 对称轴与对称中心.

π 方法一:设 A=2x- 6,则函数 y=sinA 对称中心为(kπ, π kπ π 0),即 2x- 6=kπ,x= 2 +12(k∈Z). π π π k 对称轴方程为 2x- 6= 2+kπ,x= 3+2π(k∈Z). π kπ π 所以 y=sin(2x- 6)的对称中心为( 2 +12,0). π k 对称轴为 x= 3+2π(k∈Z).

π π π 方法二:由 2x- 6 =2(x-12),知 y=sin(2x- 6 )图像是 π 由 y=sin2x 图像向右平移了12个单位. π 所以对称轴与对称中心也相应地向右平移12个单位. π 而 y=sinx 的对称中心(kπ, 0), 对称轴方程为 x=kπ+ 2 , π kπ π 所以 y=sin(2x- 6 )的周期为 π,对称中心为( 2 +12,0),对 π kπ 称轴方程为 x= 3 + 2 (k∈Z).

(2) 思路:利用对称的定义或利用对称轴的位置特征求 解. 方法一:因为 y=sin2x+acos2x= 1+a2sin(2x+θ),其 π 中 θ 由 tanθ=a 确定.又图像关于 x=- 6 对称, π 故在 x=- 6 处,函数应取得最大或最小值.
? ? π? π? π ? ? ? 所以 x=- 6 时,y=sin - 3 +acos - 3 ? ? ? ? ?

3 1 3 =- 2 +2a=± 1+a2,解得 a=- 3 .

方法二:因为函数 f(x)=sin2x+acos2x 的图像关于直线 π π x=- 6对称.所以到 x=- 6距离相等的 x 值对应函数值相 π π 等.即 f(- 6+x)=f(- 6-x)对定义域内任何值都成立. π π 令 x= 6,得 f(0)=f(- 3). 2π 2π 所以 0+a=sin(- 3 )+acos(- 3 ). 3 解得 a=- 3 .

π 方法三:∵函数关于 x=- 6对称, π π ∴x=- 6为函数的极值点,∴f′(-6)=0. π 即(2cos2x-2asin2x)|x=- 6=0. π π ∴cos(- 3)-asin(- 3)=0. 3 ∴a=- 3 .

x π kπ 2 (3)由2+ 3 = 2 (k∈Z),得 x=kπ-3π,即其对称中心为 2 (kπ-3π,0)(k∈Z).

kπ π 【答案】 (1)对称中心为( 2 +12,0),对称轴方程为 x π kπ =3+ 2 (k∈Z) 3 (2)a=- 3 2π (3)(kπ- 3 ,0),k∈Z

π (2)∵y=sinx 的对称轴是 x=kπ+2,k∈Z, π ∴ωx+φ=kπ+2解出 x, 即为函数 y=Asin(ωx+φ)的对 称轴. 1 (3)注意 y=tanx 的对称中心为(2kπ,0)(k∈Z).

π 思考题3 (1)函数 y=sin(2x+ )的图像的对称轴方 3 程可能是( ) π B.x=-12 π D.x=12

π A.x=-6 π C.x=6

π (2)设函数 y=2sin(2x+3)的图像关于点 P(x0,0)成中心对 π 称,若 x0∈[-2,0],则 x0=______.

题型四
例4

三角函数的单调性

求下列函数的单调递减区间:

π (1)求函数 y=cos(-2x+3)的单调递减区间; π (2)求函数 y=sin(3-2x)的单调递减区间; π (3)求函数 y=-|sin(x+4)|的单调递减区间.

【解析】

? ? π? π? (1)∵y=cos?-2x+3 ?=cos?2x-3 ?, ? ? ? ?

π ∴由 2kπ≤2x- 3≤2kπ+π(k∈Z), π 2π 得 kπ+ 6≤x≤kπ+ 3 (k∈Z).
? π 2π? ? 即所求单调减区间为 kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ?

π π (2)y=sin(3-2x)=-sin(2x- 3), π π π 故由 2kπ- 2≤2x-3≤2kπ+ 2, π 5 解得 kπ-12≤x≤kπ+12π(k∈Z). π 5 ∴函数的单调递减区间为[kπ-12,kπ+12π](k∈Z). π π (3)画图知单调递减区间为[kπ- 4,kπ+ 4](k∈Z).

【答案】

? π 2π? (1)?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ?

π 5 (2)[kπ-12,kπ+12π](k∈Z) π π (3)[kπ- 4,kπ+ 4](k∈Z)

探究 由三角函数单调性问题,应遵循简单化原则,将 解析式先化简,并注意复合函数单调性的规律.本例(1)易出 现以下错解: ∵y=cosx 的单调减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z, π ∴2kπ≤-2x+3≤2kπ+π. π π ∴-kπ-3≤x≤-kπ+6. ? π π? ∴单调减区间为?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). ? ?

思考题4
________.

x x (1)y = sin 2 - cos 2 的 单 调 递 增 区 间 为

π π (2)已知 ω>0, 函数 f(x)=sin(ωx+ 4 )在(2 , π)上单调递减, 则实数 ω 的取值范围是( 1 5 A.[2,4] 1 C.(0,2] )

1 3 B.[2,4] D.(0,2]

1.三角函数的最小正周期的求法有: 由定义出发去探求;根据图形去判断;化成 y=Asin(ωx 2π +φ),或 y=Atan(ωx+φ)等类型后,用基本结论 T=|ω|,或 π T=|ω|来确定等.

2.判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性.注意 偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合函数在复合过 程中,对每个函数而言,“同奇才奇,一偶则偶”. 3.三角函数单调区间的确定,一般先将函数转化为基本三角 函数标准式,即y=Asin(ωx+φ)形式,一定借助诱导公式 把ω>0,把ωx+φ作为一整体,考虑A的符号. 4.函数y=Asin(ωx+φ)的图像与x轴的每一个交点均为其对 称中心,经过该图像上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每 一条直线均为其图像的对称轴,这样的最近两点间横坐标 的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

讲座到此结束,谢谢。


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