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平面向量高三第一轮复习


平面向量
知识回顾 一.向量有关概念: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常 用有向线段来表示, 注意不能说向量就是有向线段, 为什么? (向量可以平移) 。 如:

? ??? ? 已知 A(1,2) ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得到的
向量是_____(答: (3,0)

) 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任 意的;
??? ? 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位
AB 向量是 ? ??? ); ? | AB | ??? ?

4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传 递性; 5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行 向量,记作: a ∥ b ,规定零向量和任何向量平行。 注意: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 两个向量平行包含两 个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合; ? ③平行向量无传递性! (因为有 0 );

??? ???? ? AC ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 共线;
6. 相反向量: 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是- a 。 如 下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的 起点相同,终点相同。 (3)若 AB ?DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是
?? ?? ? ?? ?
? ?

?

?

, ? 平行四边形, AB ? DC 。 则 (5) a ?bb c , a ? c 。 若 则 (6) a / bb/ c , a // c 。 若 , 则

??? ?

????

?

??

?

?

?

? ?? ?

? ?

其中正确的是_______ (答: (4) (5) ) 二.向量的表示方法: 1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; 3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单
? ? ? 位向量 i , j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称

? x, y ? 为向量 a 的坐标,a = ? x, y ? 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在
原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三.平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。 如 (1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1, 2) ,则 c ? ______ (答: a ? b ) ; (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?
?

1? 2

3? 2

B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B) ;
?? ?? ? 1 2 3 4

??

?? ?

(3) 已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC
? ? 可用向量 a, b 表示为_____

???? ??? ?

????

? ??? ?

?

??? ?

(答: a ? b ) ; (4)已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC , 则 r ? s 的值是___
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

2? 3

4? 3

(答:0) 四.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和 ? ? 方向规定如下: ?1? ? a ? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,

? ? 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反,当 ? =0 时, ? a ? 0 ,注意:? a ≠
0。 五.平面向量的数量积:
??? ? ??? ? ? ? 1.两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a, OB ? b , ?AOB ? ?

? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a , b 的夹角,当 ? =0 时, a , b 同向,当 ? = ? 时, a , b
反向,当 ? =

? 时, a , b 垂直。 2

2.平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把
? ? 数量 | a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b =

? ? a b cos ? 。规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数,不

再是一个向量。如 (1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ (答:-9) ; (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 于____ (答:1) ; (3)已知 a ? 2, b ? 5, a ?b ? ?3 ,则 a ? b 等于____ (答: 23 ) ;
? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ?b 的夹角为____
? ? ? ? ? ?
? ?? ? ?? ? ??

?

1 ? 2

1 ? 2

?

?? ?

? ?

?

? ?

? ,则 k 等 4

(答: 30? )
? 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。如

已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______

?

?

? ?

?

?

(答:

12 ) 5

? 4. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。

5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则:

? ? ? ? ① a ? b ? a ?b ? 0;
? ? ?2 ? ? ? 2 ? ?2 ②当 a ,b 同向时,a ? b = a b ,特别地,a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与

? ? ? ? ? ? b b 反向时, a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 不同向, a ? b ? 0 是
b ? 为锐角的必要非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 不反向, a ? b ? 0
是 ? 为钝角的必要非充分条件;

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? a ?b ③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ;④ | a ? b |?| a || b | 。如 a b
(1)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值 范围是______
4 1 (答: ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ) ; 3 3
? ?
? ?

(2)已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若 角 ? 的取值范围是_________

? ?? ? ??

? ?? ? ?? 1 3 ,则 OF , FQ 夹 ?S? 2 2

? ? (答: ( , ) ) ; 4 3
( 3 ) 已 知 a ? ( c ox s
? ? , x ?i bn s
? ? ) , y ( ac yo s b , 之 i间 有 , 系 式 s n ) 关 与

? ? ? ? ? ? ? ? ? k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 ,①用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 ? b 的夹角 ? 的大小

(答:① a ? b ? 六.向量的运算: 1.几何运算:

? ?

1 k2 ?1 (k ? 0) ;②最小值为 , ? ? 60? ) 4k 2

①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用 ??? ? ??? ? ? ? 于不共线的向量, 如此之外, 向量加法还可利用 “三角形法则” 设 AB ? a, BC ? b , :

???? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC ;
??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ②向量的减法: “三角形法则” 设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA , 用 :

由减向量的终点指向被减向量的终点。 注意: 此处减向量与被减向量的起点相同。 如 ( 1 ) 化 简 : ① AB ? BC ? CD ? ___ ; ② AB ? AD ? DC ? ____ ; ③
??? ??? ? ? ???? ??? ? ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____
??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ?

??? ? ? ???? (答:① AD ;② CB ;③ 0 ) ;
??? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =

_____ (答: 2 2 ) ;
??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? (3)若 O 是 ? ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,

则 ? ABC 的形状为____ (答:直角三角形) ; (4)若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? | AP | ? PA ? BP ? CP? 0 ,设 ??? ? ? ,则 ? 的值为___ | PD | (答:2) ; (5)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____ (答: 120? ) ;
??? ? ??? ? ??? ? ?

? ? 2.坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: ? ? ①向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。如
(1)已知点 A(2,3), B(5,4) ,C (7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC (? ? R) ,则当 ? =____ 时,点 P 在第一、三象限的角平分线上 (答: ) ;
1 2
??? ? ??? ? ????

? 1 ??? ? ? (2)已知 A(2,3), B(1,4), 且 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? , ) ,则 x ? y ? 2 2 2

(答:
?? ? ?? ? ?? ?

? ? 或? ) ; 6 2

(3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3, 4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) ,则合力
?? ?? ?? ?? ? ? ? F ? F1 ? F2 ? F3 的终点坐标是

(答: (9,1) )
? ②实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 ??? ? ③若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ,即一个向量的坐标等于表

示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设 A(2,3), B(?1,5) , A ? A 且 C B
? ?? 1 ? 3

,AD ? 3 AB , C、 的坐标分别是__________ 则 D (答: (1, ),(?7,9) ) ;
11 3

????

??? ?

? ? ④平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。如

已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0)(1) 。 若 x=
3? ? ? ,求向量 a 、 c 的夹角; (2)若 x∈ [? , ] ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大 8 4 3

1 值为 ,求 ? 的值 2

(答: (1)150? ;(2)
? ?2 ? ⑤向量的模: | a |? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。如

1 或 ? 2 ?1) ; 2

? ? ?? ? ? 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | =_____

(答: 13 ) ; ⑥两点间的距离:若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

| AB |?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

。如

如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P

??? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若 OP ? xe1 ? ye2 ,其中 e1 , e2
分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量,则 P 点斜坐标为 ( x, y ) 。 (1)若点 P 的

斜坐标为(2,-2) ,求 P 到 O 的距离|PO|; (2)求以 O 为圆心,1 为半径的 圆在斜坐标系 xOy 中的方程。 (答: (1)2; (2) x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0 ) ; 七.向量的运算律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.交换律: a ? b ? b ? a , ? ? a ? ? ?? ? a , a ? b ? b ? a ;

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 2. 结合律: ? b ? c ? a ? b ? c, a ? b ? c ? a ? b ? c , ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;

?

?

?

? ? ? ?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.分配律: ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? a ? b ? ? a ? ? b , a ? b ? c ? a ? c ? b ? c 。

?

?

?

如 下列命题中:① a ? ( b ? c ) ? a ? b ? a ? c ;② a ? ( b ? c ) ? ( a ? b ) ? c ;③ ( a ? b ) 2
?| a |2
?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

? ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 | a | ? | b | ? | b |2 ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;⑥
? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ?2 a ?b b a ? a ;⑦ ? 2 ? ? ;⑧ ( a ? b) 2 ? a ? b ;⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。其中正确的是 a a

______ (答:①⑥⑨) 注意: 1) ( 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别: 对于一个向量等式, 可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向 量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相 除(相约); (2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a(b ? c) ? (a ? b)c ,为什么? 八. 向量平行(共线)的充要条件:a // b ? a ? ? b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 = 0。如
? ? ? ?

? ?

? ?

? ? ? ? (1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同
(答:2) ; (2)已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______ (答:4) ;
? ?
? ? ? ? ? ?

? ?

(3)设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线 (答:-2 或 11) 九.向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .特 ??? ? ???? ??? ? ???? AB AC AB AC 别地 ( ??? ? ???? ) ? ( ??? ? ???? ) 。如 ? ? AB AC AB AC (1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ? (答:
3 ) ; 2
??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

(2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则 点 B 的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1); ) (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ (答: (b, ?a)或(?b, a) )
? ? 十. 平移公式: 如果点 P( x, y ) 按向量 a ? ? h, k ? 平移至 P( x?, y?) , ? x? ?x h ; 则? ? 曲线 f ( x, y) ? 0 按向量 a ? ? h, k ? 平移得曲线 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .注意: (1)函数按
? ? y ? ?y k

?

?

??

?

??

??

向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别 忘了啊!如 (1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7,2) 平移到点______ (答: (-8,3); ) ( 2 ) 函 数 y ? s in x 的 图 象 按 向 量 a 平 移 后 , 所 得 函 数 的 解 析 式 是 2
y ? cos 2 x ? 1,则 a =________
? ?

?

?

(答: ( ? 典型例题 例 1 .已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证: AB ? DC ? 2EF . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
A E
??? ? ???? ??? ?

?
4

,1) )

D C F B

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 例 2.已知 OA, OB 不共线, OP ? aOA ? bOB ,求证:A,P,B 三点共线的充要条件
是 a ? b ?1 分析:证明三点共线可以通过向量共线来证明.

例 3.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 0 , c ? 2a ? b, d ? 3b ? a , 若 试求 c 与 d 的夹角的余弦值。 分析:利用 a ? a 2 及 cos ? ?
2

a ?b 求解. a?b

例 4.已知平面上三个向量 a 、 、 的模均为 1, 它们相互之间的夹角均为 120°, b c (1)求证: (a ? b) ⊥ c ; (2)若 | ka ? b ? c |? 1 (k ? R) ,求 k 的取值范围. 分 析:问题( 1 )通过证明 (a ? b) ? c ? 0 证明 (a ? b) ? c ,问题(2 )可以利用

| ka ? b ? c |2 ? ? ka ? b ? c ?

2

例 5.如图, 在直角△ABC 中, 已知 BC ? a , 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问 PQ与BC 的夹角 ? 取 何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得 ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC ) ,再结合直角三 角形和各线段长度特征法解决问题

例 6.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 ? a ? kc ? // ? 2b ? a ? ,求实数 k; (3)若 d 满足 ? d ? c ? // ? a ? b ? ,且 d ? c ? 5 ,求 d 分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.

例 7.已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD,求 AD 及点 D 的坐标、 分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.

3x 3x ? x x? ? ?? ? ? 例 8.已知向量 a ? ? cos ,sin ? , b ? ? cos , ? sin ? , 且 x ? ?0, ? 2 2 ? 2 2? ? ? ? 2?

求 (1)a ? b 及 a ? b ; (2) f ? x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ? 若 分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.

3 , ? 的值。 求 2

同步练习 1.已知向量 a 和 b 反向,则下列等式成立的是(C) A. |a|-|b|=|a-b| D. |a|+|b|=|a+b|
???? 1 ??? ???? ??? ? ? 2.设四边形 ABCD 中,有 DC ? AB, AD ? BC 则这个四边形是(C) 2

B. |a|-|b|=|a+b|

C.|a|+|b|=|a-b|

A.平行四边形

B.矩形

C.等腰梯形

D.菱形

3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ??? ? ? ① AB ? BC ? CD , ② DB ? AC ? BD ,



??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?OA ? OC ? OB ? CO 。

4.设 x 为未知向量, a 、 b 为已知向量, x 满足方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+ ?3 b =0,则 x =

1 a 2

(用 a 、 b 表示) ???? ??? ? ??? ? 5.在四面体 O-ABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c, D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,

则 OE =

(用 a,b,c 表示)

6.如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C,线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM, 线 段 CD 上 有 一 点 ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ? OA ? a, OB ? b, 试用a, b表示OM,ON,MN N 满 足 CD = 3CN, 设

第6题

7.已知向量 a,b 满足 a = 1, b ? 4, 且a ?b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 8.如图,在四边形 ABCD 中, | AB | ? | BD | ? | DC |? 4, AB? BD ? BD? DC ? 0,
| AB | ? | BD |? | BD | ? | DC |? 4 ,则 ( AB ? DC ) ? AC 的值为
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
D C

a b 9.若向量 a,b 满足 a = b = 1 , a,b 的夹角为 60°,则 a? + a? =
10.若向量 a = 1, b ? 2, 且 a -b ? 2 ,则 a +b ? 11.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求:①

A

B

第8题

a·b ;②(2a-b) ·(a+3b)

12.已知 a 与 b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直, 求 a 与 b 的夹角.

13.已知向量 a ? (?5, 6) , b ? (6,5) ,则 a 与 b A.垂直 B.不垂直也不平行



) D.平行且反向

C.平行且同向

?1 7? ?7 1? 14.与向量 a= ? , ? , b= ? , ? 的夹角相等,且模为 1 的向量是 ?2 2? ?2 2?

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? 15.已知向量 OA ? (4, 6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于
5 16.已知向量 a ? (1, 2), b ? (?2, ?4),| c |? 5, 若(a ? b) ? c ? , 则a与c的夹角为 2

17.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状____

_____
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18.已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 19.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是 20.已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (1)若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; (2)若| b |=
5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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21.







O



?ABC内的一点,?AOB ? 150 0 ,?BOC ? 90 0 ,

???? ??? ? ??? ? 设OA ? a, OB ? b, OC ? c, 且 a ? 2, b ? 1, c ? 3, 试用 a, 和b表示c .

第 21 题

参考答案

典型例题

例 1.证明:如图,连接 EB 和 EC , ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 由 EA ? AB ? EB 和 EF ? FB ? EB 可得, EA ? AB ? EF ? FB

(1) (2) (3)

例1

??? ???? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ??? ??? ? ? ? 由 ED ? DC ? EC 和 EF ? FC ? EC 可得, ED ? DC ? EF ? FC ??? ??? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? (1)+(2)得, EA ? ED ? AB ? DC ? 2EF ? FB ? FC ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ∵E、F 分别为 AD 和 BC 的中点,∴ EA ? ED ? 0 , FB ? FC ? 0 ,
代入(3)式得, AB ? DC ? 2EF
??? ? ???? ??? ?

点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. ??? ? ??? ? 例 2. 解:先证必要性:若 A,P,B 三点共线,则存在实数 ? ,使得 AP ? ? AB ,即 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? ? OB ? OA , ∴ OP ? ?1 ? ? ? OA ? ? OB, ∵ OP ? aOA ? bOB , ∴

?

?

a ? 1 ? ? , b ? ? ,∴ a ? b ? 1.

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 再证充分性: a ? b ? 1. 则 AP ? OP ? OA = ? a ? 1? OA ? bOB ? b OB ? OA = b AB , 若

?

?

??? ? ??? ? ∴ AP 与 AB 共线,∴A,P,B 三点共线.

点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、 直线 平行等问题.
例 3. 解:先证必要性:若 A,P,B 三点共线,则存在实数 ? ,使得 AP ? ? AB ,即

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OP ? OA ? ? OB ? OA

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? , ∴ OP ? ?1 ? ? ? OA ? ? OB, ∵ OP ? aOA ? bOB , ∴

a ? 1 ? ? , b ? ? ,∴ a ? b ? 1.

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 再证充分性: a ? b ? 1. 则 AP ? OP ? OA = ? a ? 1? OA ? bOB ? b OB ? OA = b AB , 若

?

?

??? ? ??? ? ∴ AP 与 AB 共线,∴A,P,B 三点共线.

点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、 直线 平行等问题.
例 4. 解: (1)∵

| a |?| b |?| c |? 1 ,且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120°,



(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ?| a || c | cos1200 ? | b || c | cos1200 ? 0

∴ (2)∵

(a ? b) ? c ? 0 | ka ? b ? c |? 1 ,即 | ka ? b ? c |2 ? 1

也就是 k 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1 ∵ 所以
1 a ? b ? b ? c ? a ? c ? ? ,∴ k 2 ? 2k ? 0 2

k ?0

或 k ?2.

解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量 的数量积解决. ??? ???? ??? ???? ? ? 例 5. 解: ? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0.
??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC )

??? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ??? ??? ???? ? ? ? ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) ? ? 1 ??? ??? ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 ? ? 1 ??? ??? ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ? a ? a 2 cos ? .
故当cos ? ? 0,即? ? ? ? ? ??? ??? 2 ??? ??? ? ? ( PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大.其最大值为 ? a 2 .

点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问 题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求 解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.
例 6. 解: (1)由题意得 ?3,2? ? m?? 1,2? ? n?4,1?

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4 n ? 3 所以 ? ,得 ? 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ?
(2) a ? k c ? ?3 ? 4k ,2 ? k ?,2b ? a ? ?? 5,2?
? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ? 16 13

? ? (3)设 d ? ? x, y ? ,则 d ? c ? ?x ? 4, y ? 1?, a ? b ? ?2,4?

?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 由题意得 ? 2 2 ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 5
? ? ? x?3 ?x ? 5 3 得? 或? ∴ d ? ? 3, ?1? 或 ? 5,? ? y ? ?1 ? y ? 3

点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式, 建立方程组求解。
例 7. 解:设点 D 的坐标为(x,y)

∵AD 是边 BC 上的高, ∴AD⊥BC,∴ AD ⊥ BC 又∵C、B、D 三点共线, ∴ BC ∥ BD 又 AD =(x-2,y-1), BC =(-6, -3)

BD =(x-3,y-2)
∴?
?? 6( x ? 2) ? 3( y ? 1) ? 0 ?? 6( y ? 2) ? 3( x ? 3) ? 0

例7
7 5

解方程组,得 x= ,y=
9 5

9 5

∴点 D 的坐标为( , ), AD 的坐标为(- , ) 点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例 8. 解: (1) a ? b ? cos

7 5

1 5

2 5

3 x 3 ? x? x cos ? sin x ? ? sin ? ? cos 2 x 2 2 2 ? 2?
2 2

3 x? ? 3 x? ? , a ? b ? ? cos x ? cos ? ? ? sin x ? sin ? 2 2? ? 2 2? ?

? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos x.

? ?? ? x ? ?0, ? ,? a ? b ? 2 cos x 。 ? 2?

(2) f ?x ? ? cos 2 x ? 4? cos x ? 2 cos2 x ? 4? cos x ? 1 ? 2?cos x ? ? ? ? 2?2 ? 1
2

? ?? ? x ? ?0, ? ? cos x ? ?0,1? ? 2?
3 5 (1) 当 ? ? ?0,1? 时, cos x ? ? , f ?x ?min ? ?2?2 ? 1 ? ?2?2 ? 1 ? ? ,? ? ? 2 2

(2) 当 ? ? 0 时, cos x ? 0, f ?x ?min ? ?1 ? ?

3 2

3 5 (3) 当 ? ? 1 时, cos x ? 1, f ?x ?min ? 1 ? 4? ? ? ? ? ? ? 1 2 8

综上所述: ? ?

5 。 2

点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意 分类讨论. 同步练习:1.C 2.C
??? ??? ??? ??? ??? ???? ? ? ? ? ? 3.解析:①原式= ( AB ? BC ) ? CD ? AC ? CD ? AD ; ??? ??? ? ? ???? ? ???? ???? ②原式= ( DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ; ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB 。

9 1 1 1 ? a?b a? b? c 4 4 4. 2 ,5. 2 ???? 1 ??? 1 ???? ??? 1 ? ? ? 1 1 6. 解:? BM= BC= BA, ? BM= BA= OA-OB = ? a ? b ? 3 6 6 6 6 ???? ??? ???? 1 ? ? ? 5 1 4 2 ? OM=OB+BM ? a ? b . ? CN ? CD,? ON ? CD ? OD 6 6 3 3 3 ???? 2 ???? 2 ???? ??? ? ???? ???? ???? 1 ? ? 2 1 ? ON= OD= OA+OB ? ? a ? b ? ? MN=ON-OM ? a ? b 3 3 3 2 6

?

?

?

?

? 3 7. 3 , 8.4, 9. 2 .10. 6
11.
a ?b ?

第6题

解 :( 1 ) |a+b|2= ( a+b ) 2=a2+2ab+b2=|a|2+2a · b+|b|2 , ∴
a?b ? a ? b
2 2 2

2

? ?10

(2) a-b)(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×42+5×(-10) (2 · -3×52=-93. 12. 解:∵且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,

∴(a+3b)(7a-5b)=0, a-4b)(7a-2b)=0 ∴7a2+16 a·b-15 b2=0,7a2 · ( · -30 a·b+8 b2=0, ∴b2=2 a·b,|a|=|b| ∴ cos ? ? a ? b ? 1 a?b 2 ∴ ? ? 60?

? 4 3? ? 4 3? 4? ?2 ? ,? ? ? , ? ?或? ? , ? 13.A.14. ? 5 5 ? ? 5 5 ? 15. ? 7 21 ?

120°.17. 直角三角形.18.4. 16.

? 19. 3
20. 解: (1)设 c ? ( x, y) ,由 c // a 和 c ? 2 5 可得:
? 1? y ? 2 ? x ? 0 ? 2 2 ? x ? y ? 20



? x?2 ? ? y?4

? x ? ?2 或 ? ? y ? ?4

∴ c ? (2, 4) ,或 c ? (?2, ?4)

(2 (2) ? (a ? 2b) ? (2a ? b), ? (a ? 2b)? a ? b) ? 0 即 2a 2 ? 3a ? b ? 2b2 ? 0,
? 2 | a |2 ?3a ? b ? 2 | b |2 ? 0

∴ 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? ∴
cos ? ?

5 ? 0, 4

所以 a ? b ? ? ∵

5 2

a ?b ? ?1, | a |?| b|

? ? [0, ? ]



? ?? .

21. 解:以 O 为原点,OC,OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标 系.由 OA=2, ?AOx ? 120 0 ,所以 A?2 cos120 0 ,2 sin120 0 ?,即A - 1,,3 ,

?

?

易求 B?0,1?,C?3,0 ? ,设
OA ? λ 1 OB ? λ 2 OC, 即 - 1,3 ? λ 1 ?0,1? ? λ 2 ?3,0?, ?λ ? - 3 ? ?- 1 ? 3λ 2 ? 1 , ? ? 1. ? 3 ? - λ 1 ?λ 2 ? ? 3 ?

?

?

1 a ? ? 3b ? c . 3

第 21 题


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