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云师大附中2014届高考数学适应性月考(二)试题


云师大附中 2014 届高三数学高考适应性月考(二)

云南师大附中 2014 届高考适应性月考卷(二) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 C 11 A 12 C



【解析】 1.选 A. 2. z ?
3 ? 4i (3 ? 4i)(1 ? 2i) ? ? ?1 ? 2i ,得 z ? ?1+2i ?| z |? 5 .选 B. 1+2i 5

3.根据求导公式作答选 C. 4.函数 f ( x) ? x ? a 的图象关于 x ? a 对称,且在 (??, a) 上为单调递减函数,在 [a, ? ?) 上 为单调递增函数.当“ a ? ?2 ”时“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, ? ?) 上为单调递增函 数”; 当 “函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, ? ?) 上为单调递增函数”时“ a≤ ? 2 ”. 选 A. 5.∵lg a ? lg b ? 0 ,∴a ? b ? 1 ,即 a ? 6 .
? ? 2a ? ? ∴ b=

1 .由指数函数图象性质可知.选 B. b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∵| a |?| b |?| a ? b |? 1, ∴(| a ? b |)2 ?| a |2 ? | b |2 ?2a ?b=1 ,
? ? ?


| | c

? ? a1 ,

, b

2

|

|

o

? ? 1 2π .选 C. cos ? ? ? ,则 a , b 的夹角为 2 3

7. a12 ?q6 ? 64, ∴q6 ? 64, q 2 ? 4 ,则

S6 a1 (1 ? q 6 ) 1? q 1 ? q 6 1 ? 64 ? ? ? ? ? 21 .选 A. S2 1? q a1 (1 ? q 2 ) 1 ? q 2 1 ? 4

8.如图 1,连接 D1 E ,令 D1 E ? AD ? M ;连接 BF 并延长 BF 交 AD 于点 M ? .通过计算可证明 M 与 M ? 重合(均是线段 AD 的中点) ,

图1

即 M , F , B, D1 , E 五点共面,可证 EF∥D1 B .选 D. 9.∵A ? [?1, 1] , B ? (??, 0) ,∴A ? B ? [0, 1] , B ? A ? (??, ? 1) , ∴ A ? B ? (??, ? 1) ? [0, 1] . 选 C.
1 10.∵△ABC 的面积为 3 ,即 3 ? ac ?sin 60? ,∴ ac ? 4 . 2

又∵a、b、c 成等差数列,∴ 2b ? a ? c ,则 4b2 ? a2 ? c2 ? 8 ① 由余弦定理: b2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? cos60? ? a2 ? c2 ? 4 ② 将①代入②解之,得 b ? 2 .选 C. 11.在平面直角坐标系中,通过描点作图,结合正弦函数图形的特点. 选 A. 12.∵函数 f ( x) ? ln
x2 ? 1 ( x ? 0, x ? R) 是偶函数,∴①正确. x

又∵函数 t ?

x2 ? 1 1 ? x ? ≥2. ( x ? 0, x ? R) 并且在 (??, ? 1), (0, 1)上是单调递减函 x x

数,在 (?1, 0), (1, ? ?) 上是单调递增函数,最小值是 2.并且 f ( x) ? ln x 是单调递增函 数,由复合函数性质可知②错误.③、④正确.选 C.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
?a ? 2d ? 5, ? a ? ?1, 13.令首项是 a1 ,公差是 d,则 ? 1 ∴? 1 则 a9 ? 23. ?2a1 ? 12d ? 34, ? d ? 3,

13 23

14
{x | x ? 3}

15
y ? 4x ? 4

16
(0, 2]

∴x ? 3或x ? ?1.结合 f ( x)≥0 解集是: {x | x ? 3} . 14.∵x2 ? 2 x ? 3 ? 0,
2 ? 1)( x ? x0 ) ,又∵(0, ? 4) ? l , 15.令切点是 P( x0 , y0 ) ,则切线 l: y ? y0 ? (3x0

2 ? ? x ? 1, ??4 ? y0 ? (3x0 ? 1)(0 ? x0 ), ∴? 解之得 ? 0 ∴l:y ? 4x ? 4 . 3 ? ? y0 ? 0, ? y0 ? x0 ? x0 ? 2,

16.以 AD 为直径作圆 O,由于直径所对的圆周角是直角,故当圆 O 与线段 BC 有公共点 M 时,有 DM⊥AM .又∵PA⊥平面ABCD . DM ? 平面ABCD, ∴DM⊥PA . 又∵AM ? PA ? A, ∴DM⊥平面PAM , PM ? 平面PAM .

∴PM⊥DM .故 a 的取值范围为 (0, 2] .
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
1 1 1 ? ? 解: (Ⅰ) f ( x) ? a ?b ? sin x cos x ? cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
? 2 π? 1 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 4? 2 ?

?????????????????????(3 分)

π ? 3 ? ∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,单调递增区间: ? ? π ? kπ, ? kπ ? , (k ? Z) ; 8 ? 8 ? 5π ?π ? 单调递减区间: ? ? kπ, ? kπ ? , (k ? Z) . ??????????????(6 分) 8 ?8 ? π ? π 5π ? ? π π? (Ⅱ)若 x ? ? ? , ? ,则 2 x ? ? ? ? , . 4 ? 12 4 ? ? 6 2? ?
π? ? 2 ? ? , 1? , ∴ sin ? 2 x ? ? ? ? ? 4? ? 2 ? ? f ( x) ? 2 π? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ?1, 2 4? 2 ? ?

????????????????????(8 分)
2 ? 1? ?, 2 ?

??????????(10 分)

即 f ( x) 的最大值是

2 ?1 π ,此时 x ? ; 2 8 π ?????????????????(12 分) f ( x) 的最小值是 ?1 ,此时 x ? . 2

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵a ? 1, ∴f ( x) ? ? x2 ? x ,其图形是开口向下的抛物线. 且与 x 轴的两个交点的横坐标分别是 0,1. 又∵x ?[0, 2] . ????????????(2 分)

由抛物线的几何性质可知: f ( x) 的最小值是 f (2) ? ?2 .

????????(4 分)

(Ⅱ) (1)∵函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax 的图象是开口向下的抛物线, 且与 x 轴的两个交点的横坐标分别是 0, a . (a ? 0) . 若 a ? 0 ,则与 x 轴只有一个交点,其横坐标是 0. 又∵ x ?[0, 2] , ∴由抛物线几何性质可知: ①当 a≤0 时, m(a) ? f (2) ? ?4 ? 2a ; ②当 0 ? a≤2 时, m(a) ? f (2) ? ?4 ? 2a ; ③当 a ? 2 时, m(a) ? f (0) ? 0 ,
??4 ? 2a, a≤2, 综合①②③可知 m(a) ? ? ?0, a ? 2. ??4 ? 2a, a≤2, (2)由(1)可知 m(a) ? ? ?0, a ? 2,

??????????(6 分)

????????????????(7 分) ??????????????(8 分)

??????????????????(9 分)

??????????????(10 分)

其中函数 m(a) ? ?4 ? 2a, a≤2 是单调递增函数,其最大值是 M (a) ? m(2) ? 0 , ???????????????????????????(11 分) 又∵函数 m(a) ? 0, a ? 2 ,
??4 ? 2a, a≤2, ∴ m( a ) ? ? 的最大值 M (a) ? 0 . ?0, a ? 2

????????????(12 分)

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 2,∵矩形 ABCD 中 CD ? AD , 又∵PA⊥底面 ABCD,且 CD ? 平面 ABCD, ∴ CD ? PA . 又∵ PA ? AD ? A , ∴ CD ? 平面 PAD,
图2

???????????(2 分)

??????????????????????(4 分)

又∵ CD ? 平面 PDC, ∴平面 PDC⊥平面 PAD. ?????????????????????(6 分)

(Ⅱ)解:如图 3,假设 BC 边上存在一点 M 满足题设条件, 令 BM=x, ?????????????????(7 分)
图3

∵矩形 ABCD 中 AB=2,BC=4.且 PA⊥底面 ABCD,PA=2, 则在 Rt△ABM 中 AM ? AB 2 ? BM 2 ? 4 ? x 2 , ∵PA⊥底面 ABCD,
∴SRt △PAM ? S△AMD ? 1 PA ? AM ? 4 ? x 2 , 2

1 AD ? AB ? 4 . 2

?????????????????????(9 分)

又∵ VP ? AMD ? VD ? PAM ,
1 1 ∴ ?2 ?4 ? ?2 ? 4 ? x 2 ,解之 x ? 2 3 ? 4 . 3 3

故存在点 M,当 BM= 2 3 时,使点 D 到平面 PAM 的距离为 2. ????????????????????????????(12 分) 20. (本小题满分 12 分)
1 1 (Ⅰ)解:∵对任意 n ? N* ,都有 an ?1 ? an ? , 2 4 1 1? 1? ?????????????????????(2 分) ∴an ?1 ? ? ? an ? ? , 2 2? 2?
1? 1 ? 则 ?an ? ? 是首项为 3,公比为 的等比数列, 2 2 ? ?

????????????(4 分)

∴ an ?

1 ?1? ? 3 ?? ? 2 ?2?

n ?1

?1? ,即 an ? 3 ?? ? ?2?
n ?1

n ?1

1 ? , n ? N? . 2

??????????(6 分)

?1? (Ⅱ)证明:∵ an ? 3 ?? ? ?2?

1 ? , n ? N? , 2
1 ? 3 ?? 1 ? n ? 2 1 1? 2 ? ? n ? ? ? 6 ?? 1 ? 1 ? ? n . ? n ? 2 ? 2 ? 2

1 ? n ? 1 1 ∴ Sn ? 3 ??1 ? ? 2 ? … ? n ?1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 2

????????????????????????????(8 分)

? ? 1 ? n ? 1? ? ? 1 ? n? 3 1 又∵ Sn?1 ? Sn ? ?6 ??1 ? n ?1 ? ? ? ?6 ??1 ? n ? ? ? ? n ? ? 0 , ? 2 ? ? ? 2 ? 2? 2 2 ? ? 2 ?

即数列 {Sn } 是单调递增数列.
7 ∴Sn≥S1 ? , n ? N? . 2 21. (本小题满分 12 分)

???????????????????(10 分) ????????????????????(12 分)

解: (Ⅰ)由于 f ( x) 为奇函数,易得 m ? 0 . 设 f ( x) ? x3 ? 3tx ? x( x 2 ? 3t ) ? 0 , ①当 t ? 0 时,上述方程只有一个实数根 x ? 0 ,
∴f ( x)与x 轴的交点坐标为 (0, 0) ;

?????????????(2 分)

②当 t ? 0 时,上述方程有三个相等实数根 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,
∴f ( x)与x 轴的交点坐标为 (0, 0) ;

③当 t ? 0 时,上述方程的解为 x1 ? 0, x2,3 ? ? 3t ,
∴f ( x) 与 x 轴的交点坐标分别为: (0, 0), ( 3t , 0), (? 3t , 0) .

????(6 分)

(少一种情况扣 1 分) (Ⅱ) f ( x) ? x3 ? 3tx ,∴f ?( x) ? 3( x2 ? t ), x ?[0, 1] , ① t≤0时, f ?( x)≥0. 则在[0, 1]上f ( x)为增函数,
故F (t ) ? f (1) ? 1 ? 3t ,

????????????????????(8 分)

② t ? 0时, 则在[0, 1]上f ?( x) ? 3( x ? t )( x ? t ) , 令 f ?( x) ? 0, 则x1 ? ? t , x2 ? t , 令 f ?( x) ? 0, 则x ? ? t或x ? t , 令 f ?( x) ? 0, 则 ? t ? x ? t .

x
f ?( x) f ( x)

(??, ? t )

? t

(? t ,

t)

t

( t , ? ?)

+

0 极大 值

-

0 极小 值

+







又∵x ?[0, 1] ,

1 ∴当 1≤ 3t , 即t≥ 时, F (t ) ? f (0) ? 0 , 3 1 当 3t ? 1, 即0 ? t ? 时, F (t ) ? f (1) ? 1 ? 3t . 3
? ? 1? ?1 ? 3t , ? t ? 3 ? , ? ? ? 综上所述, F (t ) ? ? ?0, ? t≥ 1 ? . ? ? ? ? ? 3?

??????????????(10 分)

????????????(11 分)

???????????????(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 证明:如图 4,连接 OD, 因为 OA ? OD ,所以 ?DAO ? ?ODA ? ?DCO ? 30? , ?????????????????(4 分) ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO= 60? , ???????????????????????????????(8 分) 所以 ?ODC ? 90? , 那么 OC ? 2OD ,即 OB ? BC ? OD ? OA ,所以 AB ? 2BC . ???????????????????????????????(10 分) 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】
π? ? 解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ? 4 2, ? ,得点 M 的直角坐标为(4,4) , 4? ?
图4

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .

???????????????(5 分)

? ? x ? 1 ? 2cos? , (Ⅱ)将曲线 C 的参数方程 ? ( ? 为参数) , ? ? y ? 2sin?

化成普通方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 , 圆心为 A(1, 0) ,半径为 r ? 2 . 由于点 M 在曲线 C 外, 故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最大值为 MA ? r ? 5 ? 2 . 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 ??????(10 分) ??????????????????(8 分)

解: (Ⅰ) m ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ,
1 1 3 当 x≥ 时, f ( x)≤3 可化为 2x ? 2 ? 2x ? 1≤3 ,解之得 ≤x≤ ; 2 2 2

????(2 分) ????(4 分)

当x?

1 1 时, f ( x)≤3 可化为 2x ? 2 ? 1 ? 2x≤3 ,解之得 x ? , 2 2

? 3? 综上可得,原不等式的解集为 ? x x≤ ? . 2? ?
1 ? (m ? 2) x ? 3, x≥ , ? ? 2 (Ⅱ) f ( x) ? mx ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? 1 ? (m ? 2) x ? 1, x ? , ? ? 2

????????????(5 分)

若函数 f ( x) 有最小值, 则当 x ?
1 1 时,函数 f ( x) 递减,当 x≥ 时,函数 f ( x) 递增, 2 2

????(8 分)

? m ? 2≥0, ∴? 即 ?2≤m≤2 , ?m ? 2≤0,

即实数 m 的取值范围是 [?2, 2] .

????????????????(10分)

云南师大附中 2014 届高考适应性月考卷(二) ·双向 细目表 文科数学
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 合 计 命 题 思 想 达 成 目 标 涉及模块 必修 1 选修 1 一 2 选修 1 一 1 选修 1 一 1 必修 1 必修 4 必修 5 必修 2 必修 1 必修 5 必修 5 必修 4 必修 1 必修 5 必修 1, 必修 5 选修 1 一 1 必修 2 必修 4 必修 1 必修 2 必修 5 必修 1 选修 1 一 1 选修 4 一 1 选修 4-4 选修 4-5 试题考点内容 集合 复数 导数运算 常用逻辑用语 函数图象 平面向量 等比数列 立体几何 集合运算与函数 解三角形 三角函数 函数性质 等差数列 函数与不等式 导数的应用 立体几何 三角函数 函数 立体几何 数列综合 导数与最值 平面几何 极坐标与参数方程 解不等式 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 难度 易 易 易 易 易 易 易 中 中 中 中 难 易 易 中 难 易 中 ⑴易⑵ 中 ⑴ 易 ⑵ 中 ⑴易⑵ 难 中 中 中 10 分 分值 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 12 分 12 分 12 分 12 分 12 分 10 分 10 分 10 分 150 分 I、II 两卷合计 150 分 ,全卷易、中、难之比为 71:24:5 优秀率 6%±2% 及格率 70%±5% 平均分 95±5 II 卷 合计 90 分 I卷 合计 60 分 备注

1.着重考查数学基础知识和基本技能的考查。 2.突出基本初等函数及应用。 3.及时反馈学生本阶段复习效果相关信息, 指导下一阶段的复习, 提高复习的有效性。


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