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步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破:专题七 第3讲 分类讨论思想


第3讲

分类讨论思想

1. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法. 其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解 (或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策 略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大 问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难

度. 2. 分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数 函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是分类给 出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对 数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三 角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所 在的象限;点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式, 由于参数的取值不同会导致所得结果不同, 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证 明方法. 3. 分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论. 4. 解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

类型一 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 例1 (1)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=

(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________.
? ?2x+a,x<1, (2) 已知实数 a≠0 ,函数 f(x) = ? 若 f(1 - a) = f(1 + a) ,则 a 的值为 ?-x-2a,x≥1. ?

________. 答案 解析 1 3 (1) (2)- 4 4 (1)讨论字母的取值,从而确定函数的最大值与最小值.

1 - 若 a>1, 有 a2=4, a 1=m, 此时 a=2, m= , 此时 g(x)=- x为减函数, 不合题意. 若 2 0<a<1,有 a 1=4,a2=m,


1 1 故 a= ,m= ,检验知符合题意. 4 16 (2)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a=-1-3a,解得 a=- . 2 不合题意,舍去. 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综上可知,a 的值为- . 4 应用指数、对数函数时往往对底数是否大于 1 进行讨论,这是由它的性质决 定的.处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的 对应法则,离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一. 已知圆的方程 x2+y2=1,则过点 P(1,2)的圆的切线方程为________. 答案 x=1 或 3x-4y+5=0 解析 当 k 不存在时,直线为 x=1,也是切线, 当 k 存在时,设直线方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0. ∴圆心(0,0)到直线的距离 d= |2-k| =1, k2+1

3 解得 k= . 4 ∴直线方程为 3x-4y+5=0. ∴切线方程为 x=1 或 3x-4y+5=0. 类型二 由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论 例2 解 已知 m∈R,求函数 f(x)=(4-3m)x2-2x+m 在区间[0,1]上的最大值. 4 4 ①当 4-3m=0,即 m= 时,函数 y=-2x+ , 3 3

4 它在[0,1]上是减函数,所以 ymax=f(0)= . 3 4 ②当 4-3m≠0,即 m≠ 时,y 是二次函数. 3 4 1 当 4-3m>0,即 m< 时,二次函数 y 的图象开口向上,对称轴方程 x= >0,它在 3 4-3m [0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值,故不需讨论区间与对称 轴的关系). f(0)=m,f(1)=2-2m, 4 2 4 当 m≥2-2m,又 m< ,即 ≤m< 时,ymax=m. 3 3 3 4 2 当 m<2-2m,又 m< ,即 m< 时,ymax=2(1-m). 3 3 4 1 当 4-3m<0,即 m> 时,二次函数 y 的图象开口向下,又它的对称轴方程 x= <0, 3 4-3m 所以函数 y 在[0,1]上是减函数,于是 ymax=f(0)=m. 由①、②可知,这个函数的最大值为

ymax

?2-2m,m<3, =? 2 ?m,m≥3.
求解有关几何问题中,由于几何元素的形状、位置变化的不确定性,所以需

2

要根据图形的特征进行分类讨论. 一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括: 二次函数对称轴位置的变化; 函数问题 中区间的变化;函数图象形状的变化;直线由斜率引起的位置变化;圆锥曲线由焦点引 起的位置变化或由离心率引起的形状变化. x2 y2 设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P,F1,F2 9 4 PF1 是一个直角三角形的三个顶点,且 PF1>PF2,则 的值为________. PF2

7 答案 2 或 2 解析 若∠PF2F1=90° ,
2 2 则 PF2 1=PF2+F1F2,

∵PF1+PF2=6,F1F2=2 5, 14 4 解得 PF1= ,PF2= , 3 3 ∴ PF1 7 = . PF2 2

若∠F2PF1=90° ,
2 2 则 F1F2 =PF2 1+PF2 2 =PF1 +(6-PF1)2,

解得 PF1=4,PF2=2, ∴ PF1 PF1 7 =2.综上所述, =2 或 . PF2 PF2 2

类型三 由参数变化引起的分类讨论 例3 解 1-a 已知函数 f(x)=ln x-ax+ (0<a<1),讨论函数 f(x)的单调性. x a-1 ax2-x+1-a 1 f′(x)= -a+ 2 =- ,x∈(0,+∞). x x x2

由 f′(x)=0,即 ax2-x+1-a=0, 1 解得 x1=1,x2= -1. a 1 (1)若 0<a< ,则 x2>x1. 2 1 当 0<x<1 或者 x> -1 时,f′(x)<0; a 1 当 1<x< -1 时,f′(x)>0. a 1 ? ? 1 ? 故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),? ?a-1,+∞?,单调递增区间是?1,a-1?. 1 1 (2)若 a= ,则 x1=x2,此时 f′(x)≤0 恒成立,且仅在 x= 处等于零,故此时函数 f(x) 2 2 在(0,+∞)上单调递减; 1 (3)若 <a<1,则 0<x2<x1, 2 1 当 0<x< -1 或者 x>1 时,f′(x)<0; a 1 当 -1<x<1 时,f′(x)>0. a

1 ? ?1 ? 故此时函数 f(x)的单调递减区间是? ?0,a-1?,(1,+∞),单调递增区间是?a-1,1?. 含有参数的问题,主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方 程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类 型的判定等.求解时,要结合参数的意义,对参数的不同取值或不同取值范围进行分类 讨论,分类要合理,要不重不漏,要符合最简原则. 1 设 a>0,函数 f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x). 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2))处与直线 y=-x+1 垂直的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 解 a (1)由已知 x>0,f′(x)=x-(a+1)+ , x

因为曲线 y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为 1, a 所以 f′(2)=1,即 2-(a+1)+ =1,所以 a=0, 2 此时 f(2)=2-2=0, 故曲线 f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 x-y-2=0. a (2)f′(x)=x-(a+1)+ x = x2-?a+1?x+a ?x-1??x-a? = . x x

①当 0<a<1 时,若 x∈(0,a),f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;若 x∈(a,1),f′(x)<0,函 数 f(x)单调递减; 若 x∈(1,+∞),f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 1 此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(a)=- a2 2 +aln a, 1 极小值是 f(1)=- ; 2 ②当 a=1 时,若 x∈(0,1),f′(x)>0,若 x=1,f′(x)=0,若 x∈(1,+∞),f′(x)>0, 所以函数 f(x)在定义域内单调递增,此时 f(x)没有极值点,也无极值. ③当 a>1 时,若 x∈(0,1),f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 若 x∈(1,a),f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 若 x∈(a,+∞),f′(x)>0,函数 f(x)单调递增,此时 x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 1 1 f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(1)=- ,极小值是 f(a)=- a2+aln a; 2 2 1 1 综上,当 0<a<1 时,f(x)的极大值是- a2+aln a,极小值是- ; 2 2

1 1 当 a=1 时,f(x)无极值;当 a>1 时,f(x)的极大值是- ,极小值是- a2+aln a. 2 2

分类讨论思想的本质是“化整为零, 积零为整”. 用分类讨论的思维策略解数学问题的 操作过程: 明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→ 检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集, 并集为全集). 做到“确定对象的全体, 明确分类的标准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有: (1)集合:注意集合中空集的讨论. (2)函数:对数或指数函数中的底数 a,一般应分 a>1 和 0<a<1 的讨论;函数 y=ax2+ bx+c 有时候分 a=0 和 a≠0 的讨论;对称轴位置的讨论;判别式的讨论. (3)数列:由 Sn 求 an 分 n=1 和 n>1 的讨论;等比数列中分公比 q=1 和 q≠1 的讨论. (4)三角函数:角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式:解不等式时含参数的讨论,基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论;平面解析几何:直线点 斜式中 k 分存在和不存在,直线截距式中分 b=0 和 b≠0 的讨论; 轨迹方程中含参数时 曲线类型及形状的讨论. (7)概率中的分类计数问题. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

1. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为____________. 答案 4 3或 8 3 3

解析 分侧面矩形长、宽分别为 6 和 4 或 4 和 6 两种情况. 2. 等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21,则公比 q 的值是________. 1 答案 1 或- 2 解析 当公比 q=1 时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求. a1?1-q3? 1 当 q≠1 时,a1q2=7, =21,解之得,q=- . 2 1-q 3. 若 x>0 且 x≠1,则函数 y=lg x+logx10 的值域为________. 答案 (-∞,-2]∪[2,+∞)

解析 当 x>1 时,y=lg x+logx10

1 =lg x+ ≥2 lg x

1 lg x· =2; lg x

? 1 ?? 当 0<x<1 时,y=lg x+logx10=-? ??-lg x?+?-lg x??
≤-2 1 ? ?-lg x?? ?-lg x?=-2.

所以函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 4. 过双曲线 2x2-y2=2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB=4,则这样的直 线有________条. 答案 3 y2 解析 由 2x2-y2=2,得 x2- =1. 2 2b2 当 l 无斜率时,AB= =4,符合要求. a 当 l 有斜率时,若 A、B 两点都在右支上,则 AB>4 不符合要求. A、B 在左、右两支上,有两条.所以共 3 条. 5.函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域为一切实数,则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,4] 解析 因为函数 f(x)的定义域为一切实数, 所以 mx2+mx+1≥0 对一切实数恒成立, 当 m=0 时,原不等式即 1≥0 对一切实数恒成立,
?m>0 ? 当 m≠0 时,则需? ,解得 0<m≤4. 2 ?Δ=m -4m≤0 ?

综上,实数 m 的取值范围是[0,4]. 6. 已知线段 AB 和平面 α,A、B 两点到平面 α 的距离分别为 1 和 3,则线段 AB 的中点到 平面 α 的距离为________. 答案 1 或 2 解析 此题分线段 AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况,答案为 1 或 2. 1 7. (2013· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y= (x>0)图象上一动 x 点,若点 P,A 之间的最短距离为 2 2,则满足条件的实数 a 的所有值为________. 答案 10,-1

1 ?2 解析 PA2=(x-a)2+? ?x-a? 1 1 =x2+ 2-2ax-2a +2a2 x x 1?2 ? 1? 2 =? ?x+x? -?x+x?2a+2a -2

1 ?2 2 =? ?x+x-a? +a -2 1 由 x>0,得 x+ ≥2, x
? ?a<2 ?a≥2 ? 由已知条件? 2 或? 2 2 ??2-a? +a -2=8 ?a -2=8 ? ?

解得 a= 10,或 a=-1. 8. 已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn 解
-1

(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

(1)设数列{an}的公差为 d,

? ? ?3a1+3d=6, ?a1=3, 由已知,得? 解得? ?8a1+28d=-4, ?d=-1. ? ?

故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得 bn=n· qn 1,


于是 Sn=1· q0+2· q1+3· q2+?+n· qn 1.


若 q≠1,将上式两边同乘 q,得 qSn=1· q1+2· q2+?+(n-1)· qn 1+n· qn.


两式相减,得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-?-qn qn-1 nqn 1-?n+1?qn+1 =nqn- = . q- 1 q-1


-1

nqn 1-?n+1?qn+1 于是,Sn= . ?q-1?2


n?n+1? 若 q=1,则 Sn=1+2+3+?+n= . 2 n?n+1? ? ? 2 ?q=1?, 综上,S =? nq -?n+1?q +1 ?q≠1?. ? ? ?q-1?
n n+1 n 2


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