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龙岩一中2014届高考模拟试卷(数学理)


龙岩一中 2014 届高考模拟试卷

数学(理科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分 )
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线内填写学 校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式

: 样本数据 x1 , x 2 ,
s?

, x n 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? ?

锥体体积公式:
1 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 3

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? n?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题
5 的共轭复数为( 3 ? 4i

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是 符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.复数 ) C.

3 4 3 4 ? i D. ? i 5 5 5 5 2 2 q : 2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 2 x ;命题 不等式 x ? mx ? 1 ? 0 恒成立,那么( A. “ ? p ”是假命题 B. q 是真命题 C. “ p 或 q ”为假命题 D. “ p 且 q ”为真命题
A. 3 ? 4i B. 3 ? 4i

)

3.右图是 2014 年在某市举行的演讲比赛,七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图,去掉 一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为( ) A.84,4.84 B.84,1.6 7 9 C.85,1.6 D.85,4
?x ? 2 x ? 2y 4.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 的取值范围是( ? x ?x ? y ? 3 ?

8 ) 9

4 4 3

6 4

7

A.[2,5]

B.[1,5]
n ?1

C.[

1 ,2] 2

D.[2,6] )
n n

5.阅读如右图所示的程序框图,则该算法的功能是( A.计算数列 {2

D.计算数列 {2 ?1} 前 6 项的和 6.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 ? ,n⊥平面 ? .直线 l 满足 l⊥m, l ⊥n, l ? ? , l ? ? ,则( C. ? ∥? ,且 l ∥ a ) B. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l D. ? ⊥ ? ,且 l ⊥ ? A. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

} 前 5 项的和 n ?1 C.计算数列 {2 } 前 6 项的和

B.计算数列 {2 ?1} 前 5 项的和

7.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,
龙岩一中 2014 届高三数学理科试题

Sn?2 ? Sn ? 36 ,则 n ? (
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)

A. 5
2

B. 6 B. 5

C. 7 C.3

D. 8 D.5

8.抛物线 y ? 4 x 上一点 P 到直线 x ? ?1 的距离与到点 Q (2, 2) 的距离之差的最大值为( ) A. 3

9 .在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A(2, 0) , 将向量 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转

? 后得向量 3

OB ,若向量 a 满足 a ? OA ? OB ? 1 ,则 a 的最大值是(

)

A. 2 3 ? 1 B. 2 3+1 C. 3 D. 6+ 2+1 10.已知 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R} , A ? U , B ? U ,映射 f : A ? B .对于直线 l 上任意一点 A , , l 称为映射 f 的“友好直线”.又知 B ? f ( A) ,若 B ? l ,我们就称 f 为直线 l 的“友好映射” f ( x, y) ? (3 y , 2x ),则映射 f 的“友好直线”有多少条( ) A.无数 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

π 11.已知函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的 2 部分图象如图所示,则 ? ?

y 2

x2 y 2 12.过双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线 a b 段 OF (O 为 坐 标 原 点 ) 的 垂 直 平 分 线 上 , 则 双 曲 线 的 离 心 率
为 . 13.如图,正四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? 2 , E 是边 BC 的中点,动点 P 在 四 棱锥的表面上运动,且总保持 PE ? AC ? 0 ,点 P 的轨迹所围成的图形的 面积为 2 ,若以 BC 的方向为主视方向,则四棱锥 S ? ABCD 的主视图的面 积是 . 14 . 若 a1 x ? sin x ? a2 x 对 任 意 的 x ? [0,

O π π 12 3 -2

x

?
2

] 都 成 立 , 则 a 2 ? a1 的 最 小 值

为 . 15. 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、C,其中 A ? {a1 , a2 ,..., an } , B ? {b1, b2 ,..., bn } , C ? {c1, c2 ,..., cn } ,若 A、B、C 中的元素满足条件:

c1 ? c2 ? ... ? cn , ak ? bk ? ck , k = 1,2,…, n ,则称 M 为“完并集合”.
对于“完并集合” M = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,则集合 C 的个数是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , AC ? 10 , cos ?C ? (1)边 AB 的长; (2) cos A 的值和中线 CD 的长.
D

2 5 ,点 D 是 AB 的中点, 求: 5
A

B

C

龙岩一中 2014 届高三数学理科试题

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17.(本小题满分 13 分) 某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况,从各班抽取了一批学生进行测试, 全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试,成绩均分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考 生两项测试成绩的数据统计如下图所示,其中“理论部分”科目测试成绩为 B 的考生有 20 人. (1)求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生 “理论部分”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人 中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 13 分) 如图,C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A, B 的点, 平面 PAC ? 平 面 ABC , PA ? PC ? AC ? 2 , BC ? 4 , E , F 分别是 PC, PB 的 中点,记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l . (Ⅰ)求证:直线 l ? 平面 PAC ; (Ⅱ)直线 l 上是否存在点 Q ,使直线 PQ 分别与平面 AEF 、直 线

EF 所成的角互余?若存在,求出 | AQ | 的值;若不存在,请说明
理由. 19.(本小题满分 13 分) 设椭圆 ?1 的中心和抛物线 ?2 的顶点均为原点 O , ?1 、 ?2 的焦点均 在 x 轴上,过 ?2 的焦点 F 作直线 l ,与 ?2 交于 A、B 两点,在 ?1 、 ?2 上各取两个点,将其坐标记录 于下表中: (1)求 ?1 , ?2 的标准方程; (2)若 l 与 ?1 交于 C、D 两点, F0 为 ?1 的左焦点,求

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值。

x
y

3

?2

4

3
? 3 2

y

A C

?2 3

0

?4

F0 O

F x B D
第 19 题图

龙岩一中 2014 届高三数学理科试题

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20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x 。 (Ⅰ)若函数 h( x) ? f ( x) ? 的值 (Ⅱ) 对任意的 a ???1, 0? , 若不等式 f ( x) ?

1 2 x ? ax 在点 (1, h(1)) 处的切线与直线 4 x ? y ? 1 ? 0 平行,求实数 a 2 1 2 ax ? 2 x ? b 在 2

y
B N A

x ?? 0 ,1? 上恒成立,求实数 b 的取值范围 (Ⅲ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对 a?b a?b , g( )) (a ? b) , 称, 设 A(a , g (a)) , B(b , g (b)) , N ( 2 2
试根据如图所示的曲边梯形 ABCD 的面积与两个直角梯形 ADMN 和 NMCB 的面积的大小关系,写出一个关于 a 和 b 的不 等式,并加以证明。

x
O D M C

21.(本小题满分 14 分) 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将 所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 ?1 a? 设矩阵 M ? ? ?. ?b 1? (Ⅰ)若 a ? 2,b ? 3 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (Ⅱ)若曲线 C: x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 M 的作用下变换成曲线 C ? : x2 ? 2 y 2 ? 1, 求 a ? b 的值. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 ? C 上的点 M(1,

? x ? a cos? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) .已知曲线 ? y ? b sin ?

? 3 )及对应的参数 ? = . 3 2

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 在平面直角坐标系 xoy 中, 以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 若点 A( ?1, ? ) ,

1 1 ? B( ? 2 ,? ? ) 在曲线 C 上,求 2 ? 2 的值. 2 ?1 ?2
(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 在平面直角坐标系中, 定义点 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 ) 之间的直角距离为 L( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | , 点 A( x,1) , B(1, 2) , C (5, 2) (Ⅰ)若 L( A, B) ? L( A, C ) ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)当 x ? R 时,不等式 L( A, B) ? t ? L( A, C ) 恒成立,求 t 的最小值.

龙岩一中 2014 届高三数学理科试题

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