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2014江苏高考数学解答题专题突破


2014 江苏高考数学解答题专题突破
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,这些题涵盖了中学数学的主要内容,具 有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定 的创新意识和创新能力等特点,解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象 能力和分析问题、解决问题的能力,分值占 90 分,主要分六块:三角函数(或与平面向量交 汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几 何(或与平面向量交汇).从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题 规律,从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在,针对以上情况,在高考数学备 考中认真分析这些解题特点及时总结出来,这样有针对性的进行复习训练,能达到事半功倍 的效果. 【应对策略】 解答题是高考数学试卷的重头戏,占整个试卷分数的半壁江山,考生在解答解答题时, 应注意正确运用解题技巧. (1)对会做的题目:要解决“会而不对,对而不全”这个老大难的问题,要特别注意表达 准确,考虑周密,书写规范,关键步骤清晰,防止分段扣分.解题步骤一定要按教科书要求, 避免因“对而不全”失分. (2)对不会做的题目:对绝大多数考生来说,更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段 得分.我们说,有什么样的解题策略,就有什么样的得分策略.对此可以采取以下策略: ①缺步解答:如遇到一个不会做的问题,将它们分解为一系列的步骤,或者是一个个小 问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少,能演算几步就写几步.特别是那些解 题层次明显的题目,每一步演算到得分点时都可以得分,最后结论虽然未得出,但分数却已 过半. ②跳步解答:解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时,我们可以先承认中间结论, 往后推,看能否得到结论.若题目有两问,第(1)问想不出来,可把第(1)问作“已知”,先做 第(2)问,跳一步再解答. ③辅助解答:一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅助性的步 骤.实质性的步骤未找到之前,找辅助性的步骤是明智之举.如:准确作图,把题目中的条 件翻译成数学表达式,根据题目的意思列出要用的公式等.罗列这些小步骤都是有分的,这 些全是解题思路的重要体现,切不可以不写,对计算能力要求高的,实行解到哪里算哪里的 策略.书写也是辅助解答,“书写要工整,卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心 理上产生光环效应. ④逆向解答:对一个问题正面思考发生思维受阻时,用逆向思维的方法去探求新的解题 途径,往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推,直接证有困难就间接证.

细心计算,规范解答,全面拿下三角与向量题

【示例】? (2012· 苏锡常镇调研测试)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB=13,AC=10, → → AD=5,CD= 65,AB· =50. AC (1)求 cos∠BAC 的值;(2)求 sin∠CAD 的值; (3)求△BAD 的面积. 解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求;(2)在△ACD 中,利用余弦定理求 cos∠

CAD,再利用平方关系求解;(3)利用两角和公式求∠BAD 的正弦值,代入三角形面积公式求 解. 解 → → → → (1)因为AB· =|AB||AC|cos∠BAC, AC → → AB· AC 50 5 = = .(2 分) → → 13×10 13 |AB||AC|

所以 cos∠BAC=

(2)在△ADC 中,AC=10,AD=5,CD= 65, AC2+AD2-CD2 102+52-? 65?2 3 由余弦定理,得 cos∠CAD= = = .(4 分) 2AC· AD 5 2×10×5 因为∠CAD∈(0,π),所以 sin∠CAD= 5 (3)由(1)知,cos∠BAC= . 13 因为∠BAC∈(0,π), 所以 sin∠BAC= 1-cos2∠BAC= 5 12 1-?13?2= .(8 分) ? ? 13 1-cos2∠CAD= 3 4 1-?5?2= .(6 分) ? ? 5

从而 sin∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD) =sin∠BACcos∠CAD+cos∠BACsin∠CAD 12 3 5 4 56 = × + × = .(11 分) 13 5 13 5 65 1 所以 S△BAD= AB· sin∠BAD AD· 2 1 56 = ×13×5× =28.(14 分) 2 65

评分细则

?1?没有写 cos∠BAC=

→ → AB· AC 直接计算的,扣 1 分.,?2?不交代∠CAD 的范围 → → |AB||AC|

的,扣 1 分;,?3?不交代∠BAC 范围的,扣 1 分. 【突破训练】 (2012· 苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, C C b,c,向量 m=?2cos 2 ,-sin C?,n=?cos 2 ,2sin C?,且 m⊥n. ? ? ? ? (1)求角 C 的大小; (2)若 a2=2b2+c2,求 tan A 的值. 解 C (1)∵m⊥n,∴m· n=0.则 2cos2 -2sin2C=0.(2 分) 2

(阅卷说明:无中间分) C C ∵C∈(0,π),∴cos >0,sin C>0.∴cos =sin C(4 分) 2 2 (阅卷说明:得到 2cos2C+cos C-1=0 也得 2 分) C 1 则 sin = .(6 分) 2 2 π C C π π 又 ∈?0,2?,∴ = .则 C= .(8 分) ? 2 ? 2 6 3 (阅卷说明:以上有一处写范围不扣分,否则扣 1 分) π (2)∵C= ,由余弦定理,得 c2=a2+b2-ab. 3 又∵a2=2b2+c2,∴a2=2b2+a2+b2-ab. 则 a=3b.(10 分) 由正弦定理,得 sin A=3sin B.(11 分) 2π π ∵C= ,∴sin A=3sin? 3 -A?.(12 分) ? ? 3 即 sin A=-3 3cos A.(13 分) ∵cos A=0 上式不成立,即 cos A≠0, ∴tan A=-3 3.(14 分) (阅卷说明:结果正确不扣分) 【抢分秘诀】 1.解决三角函数图象问题,主要从函数图象上的点入手,抓住函数图象上的关键点,而 对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状,识图问题需要利用关 键点确定解析式中参数的取值,而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相 关规律. 2.解决三角函数的最值与范围问题,要从三角函数的性质入手,常常转化为两类问题求 解:一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解;二是通过换

元分解为基本初等函数和正弦、余弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调 性问题解决. 3. 解决三角函数的化简、 求值与证明问题的基本思路是: 第一, 观察角与角之间的关系, 注意角的变形应用,角的变换是三角函数变换的核心;第二,看函数名称之间的关系,通常 是统一为正弦、余弦函数的形式;第三,观察代数式的结构特点,对于三角公式要记忆准确, 应用公式要认真分析,合理转化,避免盲目性. 4. 解三角形或多边形问题均以三角形为载体, 其解题过程的实质是将三角形中的问题转 化为代数问题或方程问题,解题要从三角形的边角关系入手,依据题设条件合理设计解题程 序,灵活进行边角之间的互化. 善于观察,注意转化,做好立体几何不是难事 【示例】 (2012· ? 南师大附中阶段检测)如图, 四棱椎 P ABCD 的底面为矩形, AB= 2, 且 BC=1,E,F 分别为 AB,PC 中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)若平面 PAC⊥平面 ABCD,求证:平面 PAC⊥平面 PDE.

解题突破 行四边形.

(1)由 E,F 分别为 AB,PC 中点.取 PD 的中点 M,再证四边形 AEMF 是平

DA CD (2)在矩形 ABCD 中,根据 AB= 2BC,可得 = ,从而可证△DAE∽△CDA.再证明 AE DA DE⊥AC,根据面面垂直的性质和判定可得平面 PAC⊥平面 PDE.

证明

(1)法一 取线段 PD 的中点 M,连接 FM,AM.

1 因为 F 为 PC 的中点,所以 FM∥CD,且 FM= CD. 2 因为四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 1 所以 EA∥CD,且 EA= CD. 2 所以 FM∥EA,且 FM=EA. 所以四边形 AEFM 为平行四边形. 所以 EF∥AM.(5 分)

又 AM?平面 PAD,EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD.(7 分)

法二 连接 CE 并延长交 DA 的延长线于 N,连接 PN. 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD∥BC, 所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE. 又 AE=EB,所以△CEB≌△NEA,所以 CE=NE. 又 F 为 PC 的中点,所以 EF∥NP.(5 分) 又 NP?平面 PAD,EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD.(7 分)

法三 取 CD 的中点 Q,连接 FQ,EQ. 在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,所以 AE=DQ,且 AE∥DQ. 所以四边形 AEQD 为平行四边形,所以 EQ∥AD. 又 AD?平面 PAD,EQ?平面 PAD,所以 EQ∥平面 PAD.(2 分) 因为 Q,F 分别为 CD,CP 的中点,所以 FQ∥PD. 又 PD?平面 PAD,FQ?平面 PAD,所以 FQ∥平面 PAD. 又 FQ,EQ?平面 EQF,FQ∩EQ=Q,所以平面 EQF∥平面 PAD.(5 分) 因为 EF?平面 EQF,所以 EF∥平面 PAD.(7 分) (2)设 AC,DE 相交于 G. DA CD 在矩形 ABCD 中,因为 AB= 2BC,E 为 AB 的中点.所以 = = 2. AE DA 又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE=∠DCA. 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90° ,所以∠DCA+∠CDE=90° . 由△DGC 的内角和为 180° ,得∠DGC=90° DE⊥AC.(9 分) .即 因为平面 PAC⊥平面 ABCD 因为 DE?平面 ABCD,所以 DE⊥平面 PAC,(12 分) 又 DE?平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE.(14 分) 评分细则 ?1?第一问,方法 1 和 2,下结论时:不交代平面外一条直线与平面内一条直

线平行,一律扣 2 分;方法 3,直接由线线平行→面面平行,扣 3 分; ?2?第二问,不用平面几何知识证明 DE⊥AC,扣 2 分.

【突破训练】 (2012· 南师附中统测)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,四 边形 ABCD 是菱形,AC=6,BD=6 3,E 是 PB 上任意一点. (1)求证:AC⊥DE; (2)当△AEC 面积的最小值是 9 时,求证:EC⊥平面 PAB. (1)证明 连接 BD, AC 与 BD 相交于点 F.因为四边形 ABCD 是菱形, 设 所以 AC⊥BD.(4 分) 又因为 PD⊥平面 ABCD,AC?平面 PDB, E 为 PB 上任意一点,DE?平面 PBD,所以 AC⊥DE.(7 分) (2)解 连 ED.由(1)知 AC⊥平面 PDB,EF?平面 PBD,所以 AC⊥EF. 1 S△ACE= AC· EF,在△ACE 面积最小时,EF 最小,则 EF⊥PB. 2 1 S△ACE= ×6×EF=9,解得 EF=3,(10 分) 2 由 PB⊥EF 且 PB⊥AC 得 PB⊥平面 AEC,则 PB⊥EC, 又由 EF=AF=FC=3 得 EC⊥AE,而 PB∩AE=E,故 EC⊥平面 PAB.(14 分) 【抢分秘诀】 (1)在解答中,遵循先证明后计算的原则.注重考查立体问题平面化,面面问题,线面 化再线线化的化归过程. (2)根据题目的条件画出图形,注意图形的合理性、美观性和直观性.有些性质的判定和 长度的计算及点的位置的确定,往往需借助图形的直观性而估算一个大概,而且有利于经过 计算或论证得到的最后的结果的验证. (3)要注意立体几何语言的表达方法,要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述,要 以课本上的表述为示范,尽快地掌握要领.各个命题的因果关系要明明白白,计算过程清晰 明了,保证无误.重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性,往往思路正确,而表述有 误,因此失分真是太可惜! (4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等,应牢固掌握,同时尽可能多的掌握一些 重要结论.因为这些知识都是学习立体几何的基本工具,它是思维浓缩的精华内容,是规律 的总结,也是进行推理、论证和计算的基础. 看似复杂,实则简单,带你融会贯通应用题

【例 1】 (2012· ? 南京高三调研)经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相 距 400 km 的水果批发市场.据测算,J 型卡车满载行驶时,每 100 km 所消耗的燃油量 u(单

? v +23,0<v≤50, 位:L)与速度 v(单位:km/h),的关系近似地满足 u=? v ?500+20,v>50.
100
2

除燃油费外,

人工工资、车损等其他费用平均每小时 300 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元. (1)设运送这车水果的费用为 y(元)(不计返程费用),将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少? 解题突破 由 u 是关于 v 的分段函数,得 y 也是关于 v 的分段函数,求出各段函数的最

小值,再比较大小,而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等,其中导 数法是求函数最值的一种相当重要的方法. 解 +690,
2 2 400 400 400 3v 120 000 ?v 当 v>50 时,y=7.5· u+300·v =30·500+20?+300·v = + v +600, 100 50 ? ?

400 400 400 123 000 ?100 (1)由题意, 0<v≤50 时, 当 y=7.5· u+300·v =30· v +23?+300·v = v 100 ? ?

? v +690,0<v≤50, 所以 y=? 3v 120 000 ? 50 + v +600,v>50.
123 000
2

(8 分)

123 000 (2)当 0<v≤50 时,y= v +690 是单调减函数, 故 v=50 时,y 取得最小值 ymin= 123 000 +690=3 150; 50

3v2 120 000 当 v>50 时,y= + v +600(v>50) 50 3v 120 000 3?v3-106? 由 y′= - = =0,得 v=100 25 v2 25v2 3v2 120 000 当 50<v<100 时,y′<0,函数 y= + v +600 单调递减. 50 所以当 v=100 时, 取得最小值 ymin= y 所以当 v=100 时,y 取得最小值. 答当卡车以 100 km/h 的速度驶时,运送这车水果的费用最少.(16 分) 评分细则 ?1?第一问,有一段求解错误的,扣 4 分; 3×1002 120 000 + +600=2 400 由于 3 150>2 400, 50 100

?2?第二问,有一段函数最值求解错误的,扣 2 分;没有将两个最小值比较的,扣 2 分,

不写答案的,扣 1 分.

【例 2】? (2012· 南通市数学学科基地密卷(一),18)如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4 m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即 OB)为 2 m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2,A3.点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B),同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接,且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等。设细绳的总长为 y. (1)设∠CA1O=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 θ,当角 θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为 多长. 解 2 (1)在 Rt△COA1 中,CA1= ,CO=2tan θ,(2 分) cos θ

2?3-sin θ? ? π 2 y=3CA1+CB=3· +2-2tan θ= +2?0<θ<4?.(7 分) ? cos θ cos θ -cos2θ-?3-sin θ??-sin θ? 3sin θ-1 (2)y′=2 =2 , cos2θ cos2θ 1 令 y′=0,则 sin θ= ,(12 分) 3 π 1 1 当 sin θ> 时,y′>0;sin θ< 时,y′<0,∵y=sin θ 在?0,4?上是增函数 ? ? 3 3 1 2 ∴当角 θ 满足 sin θ= 时,y 最小,最小为 4 2+2;此时 BC=?2- ? m.(16 分) 3 2? ?

【突破训练】 (2012· 启东中学一模)如图, 某单位准备修建一个面积为 600 平方米的矩形 场地(图中的 ABCD)的围墙,且要求中间用围墙 EF 隔开,使得图中 ABEF 为矩形,EFDC 为 正方形,设 AB=x 米,已知围墙(包括 EF)的修建费用均为 800 元/米.设围墙(包括 EF)的修 建总费用为 y 元. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,围墙(包括 EF)的修建总费用 y 最小?并且求出 y 的最小值. 解 分) 600 (1)设 AD=t 米,则由题意得 xt=600,且 t>x,故 t= >x,可得 0<x<10 6,(4 x

600 400 则 y=800(3x+2t)=800?3x+2× x ?=2 400?x+ x ?, ? ? ? ? 400 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y=2 400?x+ x ?(0<x<10 6).(8 分) ? ? 400 (2)y=2 400?x+ x ?≥2 400×2 ? ? 400 x· =96 000, x

400 当且仅当 x= ,即 x=20 时等号成立. x 故当 x 为 20 米时,y 最小.y 的最小值为 96 000 元.(14 分) 解题突破 将实际问题转化为数学问题,利用基本不等式求解最值. 【抢分秘诀】 1.常见的应用题:(1)函数与导数模型;(2)三角函数模型;(3)函数与不等式模型;(4)数 列模型. 2.解决实际问题的一般步骤:(1)阅读题目,理解题意;(2)设置变量,建立函数关系; (3)应用函数知识或数学方法解决问题;(4)检验,作答. 强化系统,精确计算,解析几何我们不再害怕

【示例】 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O, ? 焦点在 x 轴上, 1, 2 分别是椭圆 C 的左、 F F 右焦点,M 是椭圆短轴的一个端点,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,△MF1F2 的面积 为 4,△ABF2 的周长为 8 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 的坐标为(1,0),是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆,使得该圆与 直线 PF1,PF2 都相切.若存在,求出点 P 的坐标及圆的方程;若不存在,请说明理由. 解题突破 (1)△MF1F2 的面积为 4,△ABF2 的周长为 8 2,确立 a,b,求椭圆方程.

(2)圆 Q 与直线 PF1,PF2 都相切,根据平面几何的知识,可知,PQ 为∠F1PF2 的角平分 线,由角平分线的性质可得 PF1∶PF2=3∶1,从而求出 PF1,再建立方程求 P 的坐标.进一 步求圆的方程. 解 x2 y2 1 (1)由题意设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),4a=8 2, ×b×2c=4,(2 分) a b 2

? ?bc=4, ∴? 2 2 ∴b=c=2,a=2 2,(4 分) ?b +c =8, ?

x2 y2 所以,所求的椭圆方程为 + =1.(6 分) 8 4 (2)假设存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆,使得该圆与直线 PF1,PF2 都相切; 设圆 Q 的半径为 r,点 P(x0,y0),因为圆 Q 与直线 PF1,PF2 都相切, 所以,PQ 为∠F1PF2 的角平分线,



PF1 QF1 PF1 QF1 PF1 QF1 = ,∴ = ,∴ = ,∴PF1= 2QF1,QF1=3,∴PF1 PF2 QF2 4 PF1+PF2 QF1+QF2 4 2

=3 2,(8 分)

??x0+2? +y0=18, ?2 ∴?x0 y2 解得 x0=2,y0=± 2;(10 分) 0 ? 8 + 4 =1, ?
2 2

当 P(2, 2)时,直线 PF1 的方程为:x-2 2y+2=0, |1-2 2×0+2| 则 Q 到直线 PF1 的距离= =1;(14 分) 1+?2 2?2 所以存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆,使得该圆与直线 PF1,PF2 都相切,点 P(2,± 2),圆的方程为:(x-1)2+y2=1.(16 分) 评分细则 ?1?由条件建立 a,b,c 关系并求其值得 4 分;

?2?写出椭圆的方程得 2 分,若错则不得分; ?3?求出 PF1 得 2 分; ?4?求出 x0=2,y0=± \r(2),得 2 分; ?5?确定 P?2,\r(2)?得 2 分,写出圆的方程得 2 分. x2 y2 【突破训练】 (2012· 盐城一模)已知半椭圆 2+ 2=1(y≥0)和半圆 x2+y2=b2(y≤0)组成曲 b a x2 y2 线 C,其中 a>b>0;如图,半椭圆 2+ 2=1(y≥0)内切于矩形 ABCD,且 CD 交 y 轴于点 G, b a 点 P 是半圆 x2+y2=b2(y≤0)上异于 A、B 的任意一点,当点 P 位于点 M? AGP 的面积最大. 6 3? 时,△ ? 3 ,- 3 ?

(1)求曲线 C 的方程; (2)连 PC,PD 交 AB 分别于点 E,F,求证: ;AE2+BF2 为定值. 解 (1)已知点 M? 6 3? 6 3 在半圆 x2+y2=b2(y≤0)上,所以? ?2+?- ?2=b2,又 b ? 3 ,- 3 ? ?3? ? 3?

>0,所以 b=1,(2 分) 当半圆 x2+y2=b2(y≤0)在点 P 处的切线与直线 AG 平行时, P 到直线 AG 的距离最大, 点 此时△AGP 的面积取得最大值,故半圆 x2+y2=b2(y≤0)在点 M 处的切线与直线 AG 平行, 所以 OM⊥AG,(3 分)

yM-0 2 a 又 kOM= =- ,所以 kAG= 2= ,又 b=1,所以 a= 2,(4 分) 2 b xM-0 y2 所以曲线 C 的方程为 x2+ =1(y≥0)或 x2+y2=1(y≤0).(6 分) 2 (2)由(1)知点 C(1, 2),点 D(-1, 2), 设 P(x0,y0),则有直线 PC 的方程为 y- 2= 令 y=0,得 xE=1- y0- 2 (x-1),(7 分) x0-1

2?x0-1? 2?x0-1? ,所以 AE=2- ;(9 分) y0- 2 y0- 2

y0- 2 直线 PD 的方程为 y- 2= (x+1),(10 分) x0+1 令 y=0,得 xF=-1-
2 2

2?x0+1? 2?x0+1? ,所以 BF=2+ ;(12 分) y0- 2 y0- 2

2 2?x0-1??2 ? 2?x0+1??2 4x0+4 8 2 ? 2- 2+ 则 AE +BF =? + +8,(13 分) ? +? ?= y0- 2 ? ? y0- 2 ? ?y0- 2?2 y0- 2 ? 2 又由 x2+y2=1,得 x0=1-y2,代入上式得 0 0 0 2 8-4y0 8-4y2+8 2?y0- 2? -4?y0- 2?2 8 2 0 = +8= +8= +8=4 2+ 2 ?y0- 2? y0- 2 ?y0- 2? ?y0- 2?2

所以 AE2+BF2 为定值(16 分) 【抢分秘诀】 (1)解析几何,首先必须要保证计算正确.因为解析几何都是环环相扣的,如果数值出 现错误,后面的问题就白做了,还浪费时间. (2)看到题目不要着急,仔细挑拣出已知条件,按题目深浅大致区分第一问和以后几问要 用到的条件.一些问题要通过画图才能看见隐含条件(例如交点、域和一些特别的几何图形 等),继而找到思路,同时数形结合至关重要,要把平面几何知识与解析几何知识结合起来, 使解题更加直观、简捷. (3)解题步骤不能太过臃肿, 非得分点多写了也不加分, 多出的步骤有漏洞(如符号错误等) 还会扣分.但如果简略的步骤过多,一些得分步骤被你省略了,也会扣分的. (4)思路清晰,书写有条理也是得分关键. 掌握类型,巧妙构造,解决棘手的数列问题 【示例】? (徐州市 2011-2012 学年度高三第一次质量检测 20)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn+1=pSn+q(p,q 为常数,n∈N*),a1=2,a2=1,a3=q-3p. (1)求 p,q 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正整数 m,n,使 Sn-m 2m < m 成立?若存在,求出所有符合条件的有序 Sn+1-m 2 +1

实数对(m,n);若不存在,说明理由. 解题突破 根据条件建立方程组求解(1);将前 n 项和转化为通项,再利用等比数列的通 项公式求解(2);利用等比数列的前 n 项求和公式化简不等式,根据不等式的结构特点利用正 整数的条件解不等式. 解
? ? ?S2=pa1+q, ?3=2p+q, (1)由题意,知? 即? ?S3=pS2+q, ?3+q-3p=3p+q, ? ?

?p=1, ? 解之得? 2 (4 分) ?q=2. ?
1 (2)由(1)知,Sn+1= Sn+2,① 2 1 当 n≥2 时,Sn= Sn-1+2,② 2 1 ①-②得,an+1= an(n≥2),(6 分) 2 1 1 1 又 a2= a1,所以 an+1= an(n∈N*),所以{an}是首项为 2,公比为 的等比数列,所以 an 2 2 2 = 1 - .(8 分) 2n 2 1 2?1-2n? ? ? ? 1? (3)由(2)得,Sn= =4?1-2n?, 1 1- 2 由 Sn-m 2m < m ,得 Sn+1-m 2 +1

2n?4-m?-4 2m 2m < m ,即 n < m ,(10 分) 1 2 +1 2 ?4-m?-2 2 +1 4?1-2n+1?-m

1 4?1-2n?-m ? ?

?

?



2 1 > ,因为 2m+1>0,所以 2n(4-m)>2, 2n?4-m?-2 2m+1


所以 m<4,且 2<2n(4-m)<2m 1+4,(*),因为 m∈N*,所以 m=1 或 2 或 3.(12 分) 当 m=1 时,由(*)得,2<2n×3<8,所以 n=1; 当 m=2 时,由(*)得,2<2n×2<12,所以 n=1 或 2; 当 m=3 时,由(*)得,2<2n<20,所以 n=2 或 3 或 4, 综上, 存在符合条件的所有有序实数对(m, n)为: (1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3), (3,4). (16 分) 评分细则 ?1?列式正确,计算错误的,扣 2 分.

?2?没有验证“a2=\f(1,2)a1”的,扣 2 分;

?3?讨论不全的,少一个扣 1 分,直到扣完为止. 【突破训练】 (2012· 启东中学一模)已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别是 xn=an 和 yn= (a+1)n+b(n∈N*). (1)当 a=3,b=5 时, ①试问 x2,x4 分别是数列{yn}中的第几项? ②记 cn=x2,若 ck 是数列{yn}中的第 m 项(k,m∈N*),试问 ck+1 是数列{yn}中的第几项? n 请说明理由; (2)对给定自然数 a≥2,试问是否存在 b∈{1,2},使得数列{xn}和{yn}有公共项?若存在, 求出 b 的值及相应的公共项组成的数列{zn};若不存在,说明理由. 解 (1)由条件可得 xn=3n,yn=4n+5.

①令 x2=9=ym=4m+5,得 m=1,故 x2 是数列{yn}中的第 1 项. 令 x4=81=yk=4k+5,得 k=19,故 x4 是数列{yn}中的第 19 项.(2 分) ②由题意知,cn=32n, 由 ck 为数列{yn}中的第 m 项,则有 32k=4m+5, 那么 ck+1=32(k
+1)

=9×32k=9×(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5,

因 9m+10∈N*,所以 ck+1 是数列{yn}中的第 9m+10 项.(8 分) (2)设在{1,2}上存在实数 b 使得数列{xn}和{yn}有公共项, as-b 即存在正整数 s,t 使 as=(a+1)t+b,∴t= , a+1 因自然数 a≥2,s,t 为正整数,∴as-b 能被 a+1 整除. as-b a ①当 s=1 时,t= < ?N*. a+1 a+1 ②当 s=2n(n∈N*)时,当 b=1 时, as-b a2n-1 1-a2n - = =- =-[1+(-a)+(-a)2+?+(-a)2n 1] a+1 a+1 1-?-a? =(a-1)[1+a2+a4+?+a2n 2]∈N*,即 as-b 能被 a+1 整除. 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn},通项公式为 zn=22n(n∈N*). 显然,当 b=2 时, as-b a2n-2 a2n-1 1 = = - ?N*,即 as-b 不能被 a+1 整除. a+1 a+1 a+1 a+1
2n b a?a -a? ? as-b ? ③当 s=2n+1(n∈N*)时,t= = , a+1 a+1 2n b a?a -a? ? ? * b * 若 a>2,则 a2n- ?N ,又 a 与 a+1 互质,故此时 t= ?N . a a+1


b b 若 a=2,要 a2n- ∈N*,则要 b=2,此时 a2n- =a2n-1, a a 由②知,a2n-1 能被 a+1 整除, b 2n a?a -a? ? ? 故 t= ∈N*,即 as-b 能被 a+1 整除. a+1 当且仅当 b=a=2 时,as-b 能被 a+1 整除. 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn},通项公式为 zn=22n 1(n∈N*). 综上所述,存在 b∈{1,2},使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}, 且当 b=1 时,数列 zn=a2n(n∈N*); 当 b=a=2 时,数列 zn=22n 1(n∈N*).(16 分) 【抢分秘诀】 1.求解数列的通项公式时,应该先根据已知条件确定数列的性质,然后通过条件的灵活 变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解,所以要熟练掌握等差、 等比数列的定义及其性质,才能简化运算过程. 2. 数列求和问题的关键是数列通项公式的求解, 数列求和的方法取决于其通项公式的形 式,基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解. 认真审题,精妙转化,解决压轴的函数问题
+ +

【示例】? (2012· 南京、盐城三模)已知函数 f(x)=x3+ax2-a2x+2,a∈R. (1)若 a<0 时,试求函数 y=f(x)的单调递减区间; (2)若 a=0,且曲线 y=f(x)在点 A、B(A、B 不重合)处切线的交点位于直线 x=2 上,证 明:A、B 两点的横坐标之和小于 4; (3)如果对于一切 x1、x2、x3∈[0,1],总存在以 f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形试求正 实数 a 的取值范围. 解题突破 利用导数求单调区间;根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证;利用 导数研究函数单调性、极值情况,根据三角形三边长的关系建立不等式组求解. 解 a (1)函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x+a)?x-3?. ? ?

a 因为 a<0,由 f′(x)<0,解得 <x<-a. 3 a 所以函数 y=f(x)的单调递减区间为?3,-a?.(3 分) ? ? (2)当 a=0 时,f(x)=x3+2. 设在点 A(x1,x3+2),B(x2,x3+2)处的切线交于直线 x=2 上一点 P(2,t). 1 2 因为 y′=3x2,所以曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为 k=3x2, 1
3 所以,在点 A 处的切线方程为 y-(x1+2)=3x2(x-x1). 1

3 因为切线过点 P,所以 t-(x1+2)=3x2(2-x1),即 2x3-6x2+(t-2)=0. 1 1 1

同理可得 x3-6x2+(t-2)=0.(5 分) 2 2 两式相减得 2(x3-x3)-6(x2-x2)=0. 1 2 1 2 即(x1-x2)(x2+x1x2+x2)-3(x1-x2)(x1+x2)=0. 1 2 因为 x1-x2≠0,所以 x2+x1x2+x2-3(x1+x2)=0. 1 2 即(x1+x2)2-x1x2-3(x1+x2)=0.(7 分) 因为 x1x2≤? x1+x2?2 ?x1+x2?2 ? 2 ? ,且 x1≠x2,所以 x1x2<? 2 ? x1+x2?2 ? 2 ? -3(x1+x2)<0,即(x1+x2)(x1+x2-4)<0.

从而上式可以化为(x1+x2)2-?

解得 0<x1+x2<4,即 A,B 两点的横坐标之和小于 4.(9 分) (3)由题设知,f(0)<f(1)+f(1),即 2<2(-a2+a+3),解得-1<a<2. 又因为 a>0,所以 0<a<2.(11 分) a 因为 f′(x)=3(x+a)?x-3?, ? ? a a 所以当 x∈?0,3?时,f′(x)<0,f(x)单调递减、当 x∈?3,1?,f′(x)>0,f(x)单调递增. ? ? ? ? a a 5 所以当 x= 时,f(x)有最小值 f?3?=- a3+2. ? ? 3 27

? ? 5 从而条件转化为?f?0?<2?-27a +2?,② ? ? 5 ?f?1?<2??-27a +2??.③ ?
3 3

a 5 f?3?=- a3+2>0,① ? ? 27

3 3 2 3 3 由①得 a< ;由②得 a< .再根据 0<a<2 得 0<a< .(13 分) 3 3 3 5 5 5 10 不等式③化为 a3-a2+a-1<0. 27 10 10 令 g(a)= a3-a2+a-1,则 g′(a)= a2-2a+1>0,所以 g(a)为增函数. 27 9

?0, 3 ? 1 又 g(2)=- <0,所以当 a∈? 3 ?时,g(a)<0 恒成立,即③成立. 27 5? ?
所以所求 a 的取值范围为?

?0, 3 ? 3 ?.(16 分) 5? ?

评分细则 ?1?单调区间没有写出区间的,扣1分. ?2??3?严格按照评分标准评分.

【突破训练】 (2012· 苏州调研)已知函数 f(x)=|x-m|和函数 g(x)=x|x-m|+m2-7m. (1)若方程 f(x)=|m|在[4,+∞)上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意 x1∈(-∞,4],均存在 x2∈[3,+∞),使得 f(x1)>g(x)2 成立,求实数 m 的 取值范围. 解 (1)方程 f(x)=|m|,即|x-m|=|m|.

此方程在 x∈R 时的解为 x=0 和 x=2m.(2 分) 要使方程|x-m|=|m|在 x∈[-4,+∞)上有两个不同的解. ∴2m≥-4 且 2m≠0. 则 m 的取值范围是 m≥-2 且 m≠0.(5 分) (2)原命题等价于:对于任意 x1∈(-∞,4],任意 x2∈[3,+∞), f(x1)min>g(x2)min.(7 分)
? ?0 对于任意 x1∈(-∞,4],f(x1)min=? ? ?m-4

?m≤4?, ?m>4?.

? 2 ?m -10m+9 ?m<3?, 对于任意 x2∈[3,+∞),g(x2)min=? 2 (9 分) ?m -7m ?m≥3?. ?

①当 m<3 时,0>m2-10m+9.(11 分) ∴1<m<3. ②当 3≤m≤4 时,0>m2-7m.(13 分) ∴3≤m≤4. ③当 m≥4 时,m-4>m2-7m.(15 分) ∴4≤m<4+2 3 综上所述 1<m<4+2 3.(16 分) 【抢分秘诀】 1. 已知函数解析式求函数的单调区间, 首先要考虑函数定义域, 再求导数, 解不等式 f′(x) >0,与定义域取交集,写出区间的形式,即为函数增区间,且单调区间不能取并集;对已知 函数单调性求参数取值范围或者求解含参函数单调区间的问题,则要利用导数将其转化为导 函数的符号问题,还要注意分类讨论的应用. 2. 基本初等函数的最值问题可以根据其性质灵活选用相应的方法求解, 函数最值的应用 问题多结合其它知识进行综合考查,其中不等式恒成立问题主要通过分离参数或者构造含参 函数转化为相应函数的最值;函数应用问题中的最值多利用导数研究其单调性然后求最值; 对于某些函数最值问题,还可以通过解析式的变形,利用基本不等式或者转化为基本函数型 的最值. 3.函数零点、方程的解、函数图象与 x 轴的交点横坐标是三个含义相同的数学概念.确 定函数零点所在区间主要依据零点存在性定理;函数零点的个数问题多要利用数形结合的方

法,将其转化为两个函数图象的交点个数来解决;由零点的性质求解参数的取值范围问题要 借助导数研究函数的单调性和极值,再利用函数图象来解决.


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