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圆锥曲线与方程知识总结


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高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固
知识网络

知识要点梳理 知识点一:圆锥曲线的统一定义 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。 平面内,到一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数 e 的点的 轨迹叫做圆锥曲线。定点叫

做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1 时轨迹是抛物线; ③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。 知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义: 平面内到两个定点 F1、 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭 F2 圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在 轴上时, 椭圆的标准方程:

, 其中



当焦点在

轴上时, 椭圆的标准方程:

, 其中



(3)椭圆 范围: 焦点 ,顶点 , 、

的的简单几何性质: , ,长轴长= ,短轴长= ,焦距= ,

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2.双曲线 (1)定义: 平面内与两个定点 F1、 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的 F2 轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在 ;

轴上时,双曲线的标准方程:

,其中

当焦点在 .

轴上时,双曲线的标准方程:

,其中

(3)双曲线 范围: 焦点 ,顶点 ,

的简单几何性质 ; ,虚轴长= ,焦距= ;

,实轴长=

离心率是

,准线方程是



渐近线:

.

3.抛物线 (1)定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: (3)抛物线标准方程 范围: , , , , 的几何性质 , 。

对称性:关于 x 轴对称 顶点:坐标原点 离心率: .

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知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线 Ax+By+C=0 和椭圆

的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线 Ax+By+C=0 和双曲线

的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程 ①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但 不相切不是切点; ②若为一元二次方程,则 (1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点. 注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点 3.直线 Ax+By+C=0 和抛物线 y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程: ①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不 相切不是切点; ②若为一元二次方程,则 (1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。 注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点 4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式: 当直线的斜率 k 存在时,直线 y=kx+b 与圆锥曲线相交于 弦长公式: , 两点,

当 k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成: 知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 上的点与一个二元方程
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(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系:
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(1)曲线 (2)以方程 那么,方程

上所有点的坐标都是方程 的解为坐标的点都在曲线 叫做曲线 的方程;曲线

的解; 上. 叫做方程 的曲线.

知识点五:求曲线的方程 1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨 迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法. 2. 坐标法求曲线方程的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平 面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一. 用坐标法解决几何问题时, 先用坐标和方程表示相应的几何对象, 然后对坐标和方程进 行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面 几何问题的“三步曲” 。 3.求轨迹方程的常用方法:直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导 3.圆锥曲线综合题类型 (1)用待定系数法求圆锥曲线方程 ①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时, 考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n 个未知数,列够 n 个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用. (2)求轨迹方程 基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意: ①注意限制; ②求轨迹方程与求轨迹的区别。 求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的 曲线类型及相应的几何特征; ③n 个未知数,列够 n-1 个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值 ①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n 个未知数,列够 n 个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等 式的方法: ③利用几何性质求参数范围; ④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同. 表示曲线,通过研究方程的性质

圆锥曲线知识点回顾
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1.椭圆的性质
条件 { M |M F 1 |+ |M F 2 |= 2 a , 2 a > |F 1 F 2 |}

| M F1 | {M |
标准方程
2 2

| M F2 | = 点 M到 l2的 距 离 x b
2 2

点 M 到 l1的 距 离 ? y b
2 2

= e, 0 < e< 1}

x a

? 1( a > b > 0 )

?

y a

2 2

? 1( a > b > 0 )

顶点

A1 ( - a , 0 ) , A2 ( a , 0 ) B1 ( 0 , - b ) , B2 ( 0 , b )

A 1 ( 0 , - a) , A 2 ( 0 , a) B1 ( - b , 0 ) , B2 ( b , 0 )

轴 焦点 焦距

对 称 轴 : x 轴 , y 轴 . 长 轴 长 |A 1 A 2 |= 2 a , 短 轴 长 |B 1 B 2 |= 2 b F 1(- c , 0), F 2(c , 0) |F 1 F 2 |= 2 c ( c > 0 ) , c = a - b
2 2 2

F 1(0 , - c ), F 2(0 , c )

离心率

e=

c a

(0 < e< 1 )
a
2

准线方程

l1 : x = ?

c

; l2 : x=

a

2

c

l1 : y = ?

a

2

c

; l2 : y=

a

2

c

焦点半径

|M F 1 |= a + ex 0 , |M F 2 |= a - ex 0

|M F 1 |= a + ey 0 , |M F 2 |= a - ey 0


点和椭圆 的关系



x a

2 0 2

?

y b

2 0 2

? 1 ? (x 0 , y 0 )在 椭 圆 上 < 内
(k 为 切 线 斜 率 ),
2

(k 为 切 线 斜 率 ),

y= k x±
切线方程

a k

2

2

? b

y= k x±
x0x b
2

b k
y0y a
2

2

2

? a

2

x0x a
2



y0y b
2

=1



=1

(x0 , y0)为 切 点 切点弦 方 程 (x0 , y0)在 椭 圆 外

(x0 , y0)为 切 点 (x0 , y0)在 椭 圆 外

x0x a
2



y0y b
2

=1

x0x b
2



y0y a
2

=1

|x 2 - x1| 1 + k 或 |y1- y 2 | 1 +
弦长公式

2

1 k
2

其 中 ( x 1 , y 1 ) ,( x 2 , y 2 ) 为 割 弦 端 点 坐 标 , k 为 割 弦 所 在 直 线的斜率

2.双曲线的性质

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P = { M |M F 1 |- |M F 2 |= 2 a , a > 0 , 2 a < |F 1 F 2 |} . 条件

P = {M |
x a
2 2

| M F1 | 点 M 到 l1的 距 离
2 2



| M F2 | 点 M到 l2的 距 离
y a
2 2 2 2

= e, e> 1}.

标准方程 顶点 轴 焦点 焦距 离心率



y b

= 1(a> 0 , b> 0)



x b

= 1 (a > 0 , b > 0 )

A1 ( - a , 0 ) , A2 ( a , 0 )

A 1 ( 0 , - a) , A 2 ( 0 , a)

对 称 轴 : x 轴 , y 轴 , 实 轴 长 |A 1 A 2 |= 2 a , 虚 轴 长 |B 1 B 2 |= 2 b F 1(- c , 0), F 2(c , 0)
2 2

F 1(0 , - c ), F 2(0 , c )

|F 1 F 2 |= 2 c ( c > 0 ) , c = a + b 2

e=

c a

(e> 1 ) a
2

准线方程 渐近线 方 程

l1 : x = - y= ± b a x a
2 2

c

; l2 : x= x a
2 2

a

2

c = 0)

l1 : y = - y= ± a b y a
2 2

a

2

c

; l2 : y= y a
2 2

a

2

c = 0)

x( 或



y b

2 2

x( 或



x b

2 2

共渐近线 的双曲线 系方程 焦点半径



y b

2 2

= k (k ≠ 0 )



x b

2 2

= k (k ≠ 0 )

|M F 1 |= ex 0 + a , |M F 2 |= ex 0 - a

|M F 1 |= ey 0 + a , |M F 2 |= ey 0 - a
2

y= k x±

a k

2

2

? b

y= k x±

b k

2

2

? a

2

(k 为 切 线 斜 率 ) b b k> 或 k< - a a 切线方程

(k 为 切 线 斜 率 ) a a k> 或 k< - b b

x0x a
2



y0y b
2

=1

y0y a
2



x0x b
2

=1

((x0 , y0)为 切 点
2

((x0 , y0)为 切 点 x0y ? y0x 2 xy = a 的 切 线 方 程 : = a ((x 0 , y 0 ) 为 切 点 2

切点弦 方 程

(x0 , y0)在 双 曲 线 外

(x0 , y0)在 双 曲 线 外

x0x a
2



y0y b
2

=1

y0y a
2



x0x b
2

=1

|x 2 - x1|
弦长公式

1+ k

2

或 |y1- y 2 |

1+

1 k
2

其 中 (x1 , y1), (x2 , y2)为 割 弦 端 点 坐 标 , k 为 割弦所在直线的斜率

3.抛物线中的常用结论 ①过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p ②设 A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线 y2=2px 上的两点, 则 AB 过 F 的充要条件 是 y1y2=-p2
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③设 A, B 是抛物线 y2=2px 上的两点,O 为原点, 则 OA⊥OB 的充要条件是 直线 AB 恒过定点(2p,0) (4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线, 定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用 e 表示,当 0<e<1 时, 是椭圆,当 e>1 时,是双曲线,当 e=1 时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系: (在这里我们把圆包括进来) (1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆: 一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法), 也可以利用方程实 根的个数来判断(解析法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程 b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点 A 坐标,一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q,且中点为 A,求 P、Q 所 在的直线方程 (4).已知一直线方程, 某圆锥曲线上存在两点关于直线对称, 求某个值的取值范围 (或 者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次 曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想 方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式 新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析, 这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

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6.知识网络

圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程

性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等 直线与圆锥曲线的位置关系

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