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圆锥曲线定值定点问题


圆锥曲线问题的解题规律可以概括为:

“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布范围,曲线定义不能 忘,引参、用参巧解题,分清关系思路畅、数形结合关系明,选好, 选准突破口,一点破译全局活。

定点、定直线、定值专题
(2012?菏泽一模)已知直线 l:y=x+ ,圆 O:x +y =5,椭圆 E:
2 2

过圆 O 上任

意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.

2. (2012?自贡三模) ;过点

作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆

于 M、

N 两点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠ MAN 的大小是否为定值,并说明理由.

3. (2013?眉山二模)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是椭圆

, (a>b>0)上的两点,

已知向量 =(



) , =(



) ,且

,若椭圆的离心率

,短轴长为 2,

O 为坐标原点: (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ )试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

4.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 M . (1)求椭圆 C 的标准方程;

倍,且椭圆 C 经过点

(2)过圆 O: 为定值.

上的任意一点作圆的一条切线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点.求证:

5.已知平面上的动点 P(x,y)及两定点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,直线 PA,PB 的斜率分 别是 k1,k2 且 .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同的两点 M,N. ① 若 OM⊥ ON(O 为坐标原点) ,证明点 O 到直线 l 的距离为定值,并求出这个定值 ② 若直线 BM,BN 的斜率都存在并满足 点. ,证明直线 l 过定点,并求出这个定

6. (2011?新疆模拟)已知椭圆

(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭

圆的短半轴为半径的圆与直线 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q;

7.已知椭圆 Ω 的离心率为 ,它的一个焦点和抛物线 y =﹣4x 的焦点重合. (1)求椭圆 Ω 的方程; (2)若椭圆 上过点(x0,y0)的切线方程为

2

. ① 过直线 l:x=4 上点 M 引椭圆 Ω 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:直线 AB 恒过定 点 C; ② 是否存在实数 λ 使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|,若存在,求出入的值;若不存在,说明理由.

8. 过椭圆 C: , 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 ,求证:λ1+λ2 为定值.

9.椭圆有两顶点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (Ⅰ )当|CD|= 时,求直线 l 的方程; 为定值.

(Ⅱ )当点 P 异于 A、B 两点时,求证:

10. (2008?闸北区二模)如图,椭圆 C: 右顶点.

,A1、A2 为椭圆 C 的左、

(Ⅰ ) 设 F1 为椭圆 C 的左焦点, 证明: 当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、 右顶点时|PF1| 取得最小值与最大值; (Ⅱ )若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1.求椭圆 C 的标准方程; (Ⅲ )若直线 l:y=kx+m 与(Ⅱ )中所述椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) , 且满足 AA2⊥ BA2,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

难题 11. (2012?南京一模)在平面直角坐标系 xoy 中,已知抛物线 y =2px 横坐标为 4 的点 到该抛物线的焦点的距离为 5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点 C 是抛物线上的动点,若以 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4,求证:圆 C 过定点.

2

12.在四边形 ABCD 中,已知 A(0,0) ,D(0,4) ,点 B 在 x 轴上,BC∥ AD,且对角线 AC⊥ BD. (Ⅰ )求点 C 的轨迹方程; (Ⅱ )若点 P 是直线 y=2x﹣5 上任意一点,过点 P 作点 C 的轨迹的两切线 PE、PF,E、F 为切点,M 为 EF 的中点.求证:PM⊥ x 轴; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,直线 EF 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不 是,请说明理由.

1、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦 点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶 点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点, 并求出该定点的坐标.

2、已知椭圆 C 的离心率 e ?
A2 ? 2 , 0 ? 。 (Ⅰ)求椭圆

3 2

,长轴的左右端点分别为 A1 ? ?2 , 0? ,

C 的方程; (Ⅱ)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于

P、Q 两点,直线 A1 P 与 A2 Q 交于点 S。试问:当 m 变化时,点 S 是否 恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论; 若不是,请说明理由。

3、已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距 离的最小值 为
2 ? 1 ,离心率为 e ?

2 2



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过点 ?1 , 0 ? 作直线 交 E 于 P 、 Q 两点,试问:在 x 轴上是否 存在一个定点 M , MP ? MQ 为定值?若存在,求出这个定点 M 的坐标; 若不存在,请说明理由﹒

4 已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆 右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ? 1) 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明
?2 ? ? 2 为定值.

5、已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) , F1 , F2 为其左、右两焦点,A a 2 b2

为右顶点, l 为左准线.过 F1 的 直线 l ' : x ? my ? c 与椭圆交于 P, Q 两点, 且有 AP AQ ? (a ? c) 2 . (1)求椭圆 C 的离心率 e 的最小值. (2)若 AP ? l ? M , AQ ? l ? N ,求证: M , N 两点的纵坐标之积为定值
1 2

6、在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线 l : x ? ?1 ,点 P 在直 线 l 上移动, R 是线段 PF 与 y 轴的交点, RQ ? FP, PQ ? l . (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹的方程;

(Ⅱ ) 记 Q 的轨迹的方程为 E ,过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的弦 AB 、 CD ,设 AB 、 CD 的中点分别为 M,N .求证:直线 MN 必过定 点 R(3,0) .

x2 y2 7、椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶 a b

点为 A,P 为椭圆 C 上任意一点. 已知 PF1 ? PF2 的最大值为 3,最小值 为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点(M、N 不是 左右顶点) ,且以 MN 为直径的圆过点 A. 求证:直线 l 过定点, 并求出该定点的坐标.

圆锥曲线解答题中的定值问题

2.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 2 2) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直 8 b2

径的圆经过点 M(0,b) (1)求椭圆的方程 (2)设直线 l 与椭圆交于 A,B 两点, MA.MB ? 0 求证:直线 l 在 y 轴

上的截距为定值

3.已知椭圆的两个焦点为 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) , 过 F1 且与坐标轴怒平行的 直线与椭圆相交于 M,N 两点,如果 ?MNF2 的周长等于 8 (1)求椭圆的方程 (2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P,Q,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0)使 PE.QE 恒为定值?若存在,求出点 E 的坐标及定值,若不存在,请说明理由

x2 y 2 4.已知椭圆方程为 ? ? 1 ,右焦点 F(1,0) ,x=4 上一点 C(4,3 3) , 4 3

过点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,X=4 与 x 轴交于 E 点 (1)若直线 l 的倾斜角为
2? ,A 点的纵坐标为正数,求 S?CAF 3

(2)证明:直线 AC 和直线 BC 的斜率之和为定值,并求此定值

5.(2009 辽宁 20) 已知, 椭圆 C 过点 A (1, ) , 两个焦点为 (-1, 0) , (1,0) 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

3 2

6.(2010 山东理数 21)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 a2 b2

2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形 的周 2

长为 4( 2 ?1) .一等轴双曲线的顶 点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线 上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、 B 和
C、D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立 ?若存在, 求 ? 的值;若不存在,请说明理由.

7.(2008 浙江 20) (本题 15 分)已知曲线 C 是到点 P( ? , )和到 直线 y ? ? 距离相等的点的轨迹。? 是过点 Q(-1,0)的直线, M 是 C 上(不在 ? 上)的动点;A、B 在 ? 上,MA ? ?, MB l? x 轴
Q
O

1 3 2 8

5 8

y

M

B

A
x

(如图) 。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求出直线 ? 的方程,使得
QB
2

QA

为常数。

8.(2011 四川文 21)过点 C (0,1) 的椭圆 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

3 ,椭圆与 x 轴交于两点 A( A, 0) 、 B(?a, 0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆 2

右焦点交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直线 AC 与直线 BD 交于点
Q。

(I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的 长; (Ⅱ) 当点 P 异于点 B 时, 求证:OP ? OQ 为定值。

9.已知椭圆 C 的离心率为 e ?

3 ,长轴的左右端点分别为 A1 (?2, 0) , 2

A2(2,0) (1)求椭圆 C 的方程

(2)设直线 x=my+1 与椭圆

交于 P,Q 两点,直线 与 交于点 S,试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一条定直线上?

10. (2008 安徽 22)设椭圆 C : 焦点为 F1 (? 2,0) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着 a 2 b2

(Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线 段 AB 上取点 Q ,满足 AP . QB ? AQ . PB ,证明:点 Q 总在某定直线上

11.已知

x2 y 2 ? 1 的左右焦点,曲线 C 是以坐标 F1 , F2 分别为椭圆 ? 4 3

原点为顶点,以

为焦点的抛物线,过点 F1 的直线 l 交曲线 C 于 x

轴上方两个不同点 P,Q,点 P 关于 x 轴的对称点为 M,设 FP 1 ? ? FQ 1 (1)若 ? ?? 2, 4? ,求直线 l 的斜率的取值范围 (2)求证:直线 MQ 过定点

12 已知直线 l:x=my+1 过椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 且交 a 2 b2
x ? a 2 的射影依次为点

椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 G: D,K,E

(1) 若抛物线 x2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程 (2) 对于(1)中的椭圆 C,若直线 l 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF ,
MB ? ?2 BF ,当 m 的值变化时,求 ?1 ? ?2 的值

(3)连结 AE,BD 试探索当 m 变化时,直线 AE,BD 是否相交于一点 N?

13.已知抛物线 x2 ? 4 y 及定点 p(0,8),A,B 是抛物线上的两动点,且
AP ? ? PB(? ? 0) ,过点 A,B 分别作抛物线的切线,设其交点为 M

(1)证明:点 M 的纵坐标为定值(2)是否存在定点 Q,使得无论 AB 怎么样运动都有 ?AQP ? ?BQP ?并证明你的结论

14(2005 山东 22)已知动圆过定点 ( , 0) 且与直线 其中 p>0 (1) 求动圆圆心的轨迹方程 C 的方程

p 2

x??

p 相切, 2

(2) 设 A,B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点, 直线 OA 和 OB 的 倾斜角为 ? 和? , 当 ? , ? 变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时, 证明: 直线 AB 恒过定点,并求此顶点坐标

1、已知抛物线 y 2 ? 2Px 的焦点为 F, 过点 F 的直线交抛物线于 P、Q 两点, 则
1 1 ? ? FP FQ

2、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上 a 2 b2

两动点,且 OP ? OQ .求证:

1 1 1 1 ? ? 2? 2 2 2 | OP | | OQ | a b

3、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q、 R 为椭圆 a 2 b2

上三动点,且 OP, OR, OQ 两两的夹角相等,.求 (2007 重庆高考题)

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

1 OR
2

的值。


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