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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 计数原理习题课


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习题课

【学习要求】 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
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2.能根据实际问题特征,正确选择原理解决实际问题. 【学法指导】 在学习计数原理时, 若能结合常见重要题型将所遇到的问题转 化求解,同时注意题目本身的“特色”,加以注意

,就可以应 对背景新颖与综合的题目,养成自己分析问题、解决问题的 能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

习题课

两个计数原理在解决计数问题中的用法
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在利用两个计数原理解决计数问题时, 最重要的是在开始计算之前 要进行仔细分析,是分类还是分步.

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习题课

题型一 例1
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抽取(分配)问题

高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,

其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同 的分配方案有 A.16 种 B.18 种 解析 方法一 (直接法) C.37 种 ( D.48 种 )

以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级 都去甲工厂,此时分配方案只有 1 种情况;第二类,有两个班级去 甲工厂, 剩下的班级去另外三个工厂, 其分配方案共有 3×3=9(种); 第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其 分配方案共有 3×3×3=27(种).综上所述,不同的分配方案有 1+ 9+27=37(种).

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方法二 (间接法)

习题课

先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数, 再扣除甲工厂无人去的情 况,即:4×4×4-3×3×3=37(种)方案.

答案 C
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小结 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或 者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法 计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分 步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法:去掉 限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽 取方法数即可.

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跟踪训练 1

习题课

3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子,每个盒子至多

放一个小球,共有多少种方法? 解 方法一 (以小球为研究对象)分三步来完成:
第一步:放第一个小球有 5 种选择;
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第二步:放第二个小球有 4 种选择;
第三步:放第三个小球有 3 种选择;
根据分步乘法计数原理得:共有方法数 N=5×4×3=60(种).
方法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5;分成以下 10 类:

第一类:空盒子标号为(1,2):选法有 3×2×1=6(种);

第二类:空盒子标号为(1,3):选法有 3×2×1=6(种);
第三类:空盒子标号为(1,4):选法有 3×2×1=6(种); 分类还有以下几种情况:(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),
(4,5);共 10 类,每一类都有 6 种方法.

根据分类加法计数原理得:共有方法数 N=6+6+?+6=60(种).

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题型二 涂色问题

习题课

例 2 一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和 绿色灌木,周围的圆环分为 n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、
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蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.

(1)如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1,a2,a3,有多少种不同的种 植方法? (2)如图 2,圆环分成的 4 等份为 a1,a2,a3,a4,有多少种不同 的种植方法?

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习题课

(1)如图 1,先对 a1 部分涂色,有 3 种不同的涂色方法,再对

a2、a3 涂色.

因为 a2、a3 与 a1 不同颜色,a2、a3 也不同,所以由分步乘法计数原
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理得 3×2×1=6(种). (2)如图 2,当 a1、a3 不同色时,有 3×2×1×1=6(种)涂色方法,
当 a1、a3 同色时,有 3×2×2×1=12(种)涂色方法,由分类加法计 数原理,共有 6+12=18(种)涂色方法.

小结

(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色, 但是不相邻的区

域可以同色.因此一般以不相邻区域同色,不同色为分类依据,相 邻区域可用分步涂色的办法涂色. (2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用,因此,要找 准分类标准,兼顾条件的情况下分步涂色.

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跟踪训练 2

如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P

-ABC 与正三棱柱 ABC-A1B1C1 组合而成的,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1
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不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方 案共有________种. 12
解析 先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧 面,由分步乘法计数原理,共有 3×2×1×2=12(种)不同的涂法.

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题型三 例3 种植问题

习题课

从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别

种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种 不同的种植方法. 解 方法一 (直接法): 若黄瓜种在第一块土地上, 则有 3×2×1

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=6(种)不同种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有 3×2×1=6(种)
不同种植方法. 故不同的种植方法共有 6×3=18(种).
方法二 (间接法):从 4 种蔬菜中选出 3 种,种在三块地上,有 4×3×2=24(种),其中不种黄瓜有 3×2×1=6(种),故共有不 同种植方法 24-6=18(种).

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习题课

小结
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按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本

思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某 一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这 件事情,而分步中的每一种方法不能完成这件事情,只是向事情 的完成迈进了一步.

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跟踪训练 3 将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里, 每块种 植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方 法共有________种(以数字作答).
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解析 分别用 a、b、c 代表 3 种作物,先安排第一块田,有 3 种方法,不妨设放入 a,再安排第二块田,有两种方法 b 或 c, 不妨设放入 b,第三块也有 2 种方法 a 或 c.
(1)若第三块田放 c:a b c 第四、五块田分别有 2 种方法,共有 2×2=4(种)方法.

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(2)若第三块田放 a: a b a ①若第四块放 c: a b a c
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第四块有 b 或 c 两种方法: 第五块有 2 种方法;

②若第四块放 b:

a b a b

第五块只能种作物 c,共 1 种方法.
综上,共有 3×2×(2×2+2+1)=42(种)方法.

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习题课

1.某电话局的电话号码为 168*****,若后面的五位数字是由 6
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或 8 组成的,则这样的电话号码一共有 A.20 个 C.32 个 B.25 个 D.48 个

( C )

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2.从集合{1,2,3,4,5}中任取 2 个不同的数, 作为直线 Ax+By=0 的系数,则形成不同的直线最多有 A.18 条
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( A )

B.20 条 D.10 条

C.25 条

解析 第一步取 A 的值,有 5 种取法,第二步取 B 的值有 4 种取法, 其中当 A=1, B=2 时, A=2, 与 B=4 时是相同的; 当 A=2,B=1 时,与 A=4,B=2 时是相同的,故共有 5×4 -2=18(条).

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3. 如图是 5 个相同的正方形,用红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色 涂这些正方形,使每个正方形涂一种颜色,且相邻正方形涂 不同的颜色.如果颜色可反复使用,那么共有________种涂 1 280
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色方法.
解析 涂第一个正方形时有 5 种方法;涂第二个正方形时颜色 与第一个不同,有 4 种方法; 由于颜色可以反复使用,因此第三个、第四个、第五个正方形 各有 4 种涂法. 由分步乘法计数原理知,所有的涂色方法共有 5×4×4×4×4 =1 280(种).

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4.在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种 作物,每种作物种植一垄.为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的选垄方法共有
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________种. 12 解析 A 种植在左边第一垄时,B 有 3 种不同的种植方法;
A 种植在左边第二垄时,B 有 2 种不同的种植方法; A 种植在左边第三垄时,B 只有 1 种种植方法. B 在左边种植的情形与上述情形相同.故共有 2×(3+2+1)= 12(种)不同的选垄方法.

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1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也 是最重要的原理,是解答排列、组合问题,尤其是较复杂
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的排列、组合问题的基础. 2.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件 独立完成;应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件 必须经过的若干彼此独立的步骤. 3.一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类 方案,防止重复和遗漏. 4.若正面分类,种类比较多,而问题的反面种类比较少时, 则使用间接法会简单一些.


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