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2015-2016北京市西城区高一下数学期末试题及答案


北京市西城区 2015— 2016 学年度第二学期期末试卷

高一数学 2016.7
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

三 题号 分数 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,那么 a5 ? () (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分

2.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式正确的是() (A) ab ? a
2

(B) a 2 ? b 2

(C)

1 1 ? a b

(D) ?

1 1 ?? a b

3.在掷一个骰子的试验中,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现” ,事件 B 表示“小于 5 的点 数出现” ,则一次试验中,事件 A ? B 发生的概率为() (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

4.右图是 100 名学生某次数学测试成绩(单位:分)的 频率分布直方图,则测试成绩在区间 [50,70) 中的 学生人数是() (A) 30 (B) 25 (C) 22 (D) 20

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5. 执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2 , 则输出的 i 值为() (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

开始 输入 A
i ? 1, S ? 0

S?A

S ?S? 1 i

是 输出 i 结束

i ? i ?1

6. 在不等式组 ? 为() (A)

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域内任取一个点 P( x, y) ,使得 x ? y ? 1 的概率 ?0 ? y ? 2
1 4 1 8

1 2

(B)

(C)

(D)

1 12

7.若关于 x 的不等式 x ? (A) (??,5]

4 ? a 对于一切 x ? (0, ??) 恒成立,则实数 a 的取值范围是() x
(C) (??, 2] (D) (??,1]

(B) (??, 4]

8.在 ?ABC 中,若 (A)钝角三角形

a ? cos C ,则 ?ABC 为() b
(B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)等边三角形

9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示: 体积(升/件) 甲 乙 20 10 重量(公斤/件) 10 20 利润(元/件) 8 10

在一次运输中,货物总体积不超过 110 升,总重量不超过 100 公斤,那么在合理的 安排下,一次运输获得的最大利润为( ) (A) 65 元 (B) 62 元 (C) 60 元 (D) 56 元

10.设 a, b ? R ,给出下列判断: ①若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a

3 3 ② 若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
2 2 ③ 若 a , b 均为正数,且 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;

④ 若 a , b 均为正数,且 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 . 则所有正确判断的序号是() (A)①② (B)③ (C)③④ (D)②④

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 11.不等式

1 ? 1 的解集为_______. x

12.右侧茎叶图记录了在某项体育比赛中,七位裁判为一名 选手打出的分数情况. 则去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均值为_______,方差为_______.

选手 8 9 9 0 0 3 3 4 5

13.某学校举办了一次写作水平测试,成绩共有 100 分,85 分,70 分,60 分及 50 分以下 5 种情况,并将成绩分成 5 个等级.从全校参赛学生中随机抽取 30 名学生,情况如下: 成绩等级 成绩(分) 人数(名)

A
100 1

B
85

C
70

D
60 8

E
50 以下

a

b

c

已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人, 估计出该同学成绩达到 60 分及 60 分以 上的概率为

4 1 ,其成绩等级为“ A 或 B ”的概率为 ,则 a ? ______; b ? ______. 5 5

14.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 = 2 ,则 a1 + 2a3 的最小值是_______. 15.某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人,若这五人被录用的机会 均等,则甲或乙被录用的概率为_______.

?an ? 1, an ? 1, ? 16.已知数列 {an } 中, a1 ? a (0 ? a ? 1) , an ?1 ? ? (n ? N* ). 3 ? a ? ,( a ? 1), n n ? 2 ?
①若 a3

1 ? , 则 a ? _______; 6

②设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S2016 ? _______.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 13 分) 等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,其前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? a5 ? a4 ? 7 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求满足不等式 Sn ? 3an ? 2 的 n 的值.

18. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 C ? (Ⅰ)若 c ? 14 ,求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 3 3 ,求 c 值.

2? ,a ? 6. 3

19. (本小题满分 13 分) 某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生,将他们的身高数据进行整理,得到右侧的频 率分布表. (Ⅰ)求出频率分布表中①和②位置上相应的 数据; (Ⅱ) 为了能对学生的体能做进一步了解,该校 决定在第 3 , 4 , 5 组中用分层抽样的方法抽取 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 频率

[160,165) [165,170) [170,175)

5


0.050 0.350


30
20

6 名学生进行体能测试 ,求第 3 , 4 , 5 组每组
各应抽取多少名学生进行测试; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的前提下,学校决定在 6 名学生中

[175,180)
[180,185]

0.200

10

0.100 1.00

100

随机抽取 2 名学生进行引体向上测试,求第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率.

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20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? mx2 ? (1 ? 3m) x ? 4 , m ? R . (Ⅰ)当 m ? 1 时,求 f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值和最小值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? ?1 ; (Ⅲ)当 m ? 0 时,若存在 x0 ? (1, ??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知 {an } 是递增的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,且 S5 ? 5 , a3 , a4 , a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a2 ? L ? a100 的值; (Ⅲ)若集合 {n (?1)
n

an ? ? , n ? N*} 中有且仅有 2 个元素,求 ? 的取值范围. 2n

22. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? a1 , n ? N .
*

(Ⅰ)若 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对于正整数 m, p, q (m ? 数列,试用 m 表示 p 和 q ; (Ⅲ) 已知数列 {tn },{rn } 满足 tn ? rn ? an , 数列 {tn },{rn } 的前 100 项和分别为 T100 , R100 , 且 T100 ? R100 ,试问:是否对于任意的正整数 k (1 ? k

p ? q) , 5am , a p , aq 这三项经过适当的排序后能构成等差

? 100) 均有 tk ? rk 成立,请说明理由.

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北京市西城区 2015 — 2016 学年度第二学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准 2016.7
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.C; 2.D; 3. C; 4.B; 5. C; 6. C; 7.B; 8.A; 9.B; 10. C.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. {x 0 ? x ? 1} ;12. 92, 2.8 ;13. 5, 10 ; 14. 4 2 ;15.

7 1 ;16. , 1512 . 10 3

注:一题两空的题目,第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 17.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d . 因为 a3 ? a5 ? a4 ? 7 ,所以 2a1 ? 6d ? a1 ? 3d ? 7 .?????3 分 因为 a1 ? 1 ,所以 3d ? 6 ,即 d ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (Ⅱ)因为 a1 ? 1 , an ? 2n ? 1,所以 S n ? 由不等式 Sn ? 3an ? 2 , 得 n2 ? 3(2n ?1) ? 2 ,?????10 分 所以 n2 ? 6n ? 5 ? 0 , 解得 1 ? n ? 5 ,?????12 分 因为 n ? N* , 所以 n 的值为 2,3, 4 .?????13 分 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, ?????5 分 ?????6 分

a1 ? an n ? n 2 , ?????8 分 2

a c ? ,?????3 分 sin A sin C

所以 sin A ?

a sin C , c 6 2? 3 sin ? 3 .?????5 分 14 3 14

所以 sin A ?

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(Ⅱ)因为 S?ABC ?

1 ab sin C , ?????7 分 2

所以 3 3 ?

1 3 ? 6? b, 2 2

解得 b ? 2 . ?????9 分 又因为 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,?????11 分 所以 c ? 4 ? 36 ? 2 ? 2 ? 6 ? (? ) ? 52 ,
2

1 2

所以 c ? 2 13 .?????13 分

19.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人, 第 3 组的频率为 ?????2 分

30 ? 0.300 . ?????4 分 100

所以①处的数据为 35 ,②处的数据为 0.300 .?????5 分 (Ⅱ)因为第 3 , 4 , 5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每 组学生人数分别为:

30 20 10 ? 6 ? 3 人;第 4 组: ? 6 ? 2 人;第 5 组: ? 6 ? 1 人. 60 60 60 所以第 3 , 4 , 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人. ?????8 分
第 3 组: (注:第(Ⅰ) (Ⅱ)问仅写出正确答案,没有过程,各扣掉 1 分) (Ⅲ)设第 3 组 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组 1 位同学为 C1 , 则从 6 位同学中抽两位同学的情况分别为:

( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , C1 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) ,

( A2 , C1 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) .
共有 15 种可能 . 其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为: ?????10 分

( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) ,
( B1 , B2 ) .
共有 9 种可能. ?????12 分 所以,第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 答:第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为

9 3 ? . 15 5

3 .?????13 分 5

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20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 在 (?2,1) 上是减函数,在 (1, 2) 上是增函数.?????2 分 又 f (?2) ? 4 , f (1) ? ?5 , f (2) ? ?4 , 所以, f ( x ) 在区间 [?2, 2] 上的最大值和最小值分别为 4 和 ?5 .?????4 分 (Ⅱ)不等式 f ( x) ? ?1 ,即 mx2 ? (1 ? 3m) x ? 3 ? 0 , 当 m ? 0 时,解得 x ? 3 .?????5 分 当 m ? 0 时, ( x ? 3)(mx ? 1) ? 0 的两根为 3 和 ? 当 m ? 0 时, ?

1 ,?????6 分 m
?????7 分

1 1 ? 3 ,不等式的解集为 {x x ? ? 或x ? 3} . m m 1 3m ? 1 当 m ? 0 时, 3 ? (? ) ? , m m
所以,当 m ? ? 分 当m ? ? 当?

1 1 1 时, ? ? 3 ,不等式的解集为 {x ? ? x ? 3} . ????? 8 3 m m 1 时,不等式的解集为 ? .?????9 分 3

1 1 1 ? m ? 0 时, 3 ? ? ,不等式的解集为 {x 3 ? x ? ? } .??10 分 3 m m 1 或 x ? 3} ;当 m ? 0 时,解集为 {x x ? 3};当 m

综上,当 m ? 0 时,解集为 {x x ? ?

1 1 1 1 ? ? m ? 0 时,解集为 {x 3 ? x ? ? } ;当 m ? ? 时,解集为 ? ;当 m ? ? 时,解集 3 3 3 m
为 {x ?

1 ? x ? 3} . m
1 ? 3m 3 1 ? ? ? 1 ,?????11 分 2m 2 2m

(Ⅲ)因为 m ? 0 ,所以 f ( x) ? mx 2 ? (1 ? 3m) x ? 4 是开口向下的抛物线. 抛物线的对称轴为 x ? ?

若存在 x0 ? (1, ??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 (1 ? 3m)2 ? 16m ? 0 ,?????12 分

1 ?m?0. 9 1 综上, m 的取值范围是 (??, ?1 ) ? ( ? ,0) .?????13 分 9
2 即 9m ? 10m ? 1 ? 0 ,解得 m ? ?1 或 ?

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21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d .

5 ( a1 ? a5 ) ? 5 ,?????1 分 2 由 a3 , a4 , a7 成等比数列,可得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) ,?????2 分
由 S5 ? 5 ,可得 所以 ?

?a1 ? 2d ? 1,

2 ?2a1d ? 3d ? 0, ?a1 ? 1, ? a1 ? ?3, 解得 ? (舍)或 ? ?????3 分 ?d ? 0, ? d ? 2.

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 5 .?????4 分 (Ⅱ)解 2n ? 5 ? 0 可得 n ?

5 , 2 所以数列 {an } 中 a1 ? 0 , a2 ? 0 ,其余各项均大于零.?????6 分
所以 a1 ? a2 ? L ? a100 ? ?a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 ?????7 分

? ?a1 ? a2 ?
? 3 ?1?
(Ⅲ)设 cn ?

98 (a3 ? a100 ) 2

an 2n ? 5 ? , 2n 2n 2n ? 5 2(n ? 1) ? 5 9 ? 2n cn ? cn ?1 ? ? ? ,?????10 分 2n 2n ?1 2n 9 令 cn ? cn?1 ? 0 ,得 n ? . 2 c ? c ? c ? c , c 所以 1 2 3 4 4 ? c5 ? c6 ? L ?????11 分 2n ? 5 又由 cn ? ,知 c1 ? 0 , c2 ? 0 ,其余各项均大于零.?????12 分 2n n * 在 tn ? (?1) cn 中, t1 ? 0 , t2 m ? 0 ( m ? 2, m ? N ) ,且 t4 ? t6 ? t8 ? L ??13 分 3 3 7 , t6 ? , 计算得 t1 ? , t4 ? 2 16 64 7 3 ? ? ? , ? ? R} .?????14 分 所以, ? 的取值范围是 {? 64 16

98 (1 ? 195) ? 9608 .?????9 分 2

22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 Sn ? 2an ? a1 , n ? N ,
*

所以, Sn?1 ? 2an?1 ? a1 , 所以,当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ? (2an ? a1 ) ? (2an?1 ? a1 ) ,?????2 分 整理得 an ? 2an?1 , 又 an ? 0 ,所以

an ? 2 ,数列 {an } 是公比为 2 的等比数列,?????3 分 an ?1

所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n?1 .?????4 分
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知, {an } 是公比为 2 的等比数列,设其首项为 a1 . ①若 5am 为 a p , aq 的等差中项,则 2 ? 5am ? ap ? aq ,?????5 分 所以 2 ? 5a1 2
m?1

? a1 2 p?1 ? a1 2q?1 ,所以 2 p ?m?1 ? 2q ?m?1 ? 5 ,

* p ?m?1 ? 1, 2q?m?1 ? 4 , 又 m ? p ? q , m, p, q ? N ,所以 2

所以

p ? m ? 1, q ? m ? 3 .?????7 分
p?1

②若 a p 为 5am , aq 的等差中项,则 2a p ? 5am ? aq , 所以 2a1 2 所以 2

? 5a1 2m?1 ? a1 2q?1 ,所以 2 p ? 5 ? 2m?1 ? 2q?1 ,
?????8 分

p ?m?1

? 2q?m ? 5 ,

等式左边为偶数,右边为奇数,等式不成立. ③若 aq 为 5am , a p 的等差中项,则 2aq ? 5am ? a p ,同理也不成立. 综上,

p ? m ? 1, q ? m ? 3 .?????9 分
n?1

(Ⅲ)由 an ? a1 ? 2

,得 tn ? rn ? a1 ? 2

n?1

.

所以 t100 ? r100 或 t100 ? ?r ,?????10 分 100 若 t100 ? ?r ,不妨设 t100 ? 0, r 100 ? 0 , 100 则 T100 ? t1 ? t2 ? L ? t99 ? t100 ? ?a1 ? a1 ? 2 ? a1 ? 2 ? L ? a1 ? 2 ? a1 ? 2
2 98 99

? ?a1 (1 ? 2 ? 22 ? L ? 298 ) ? a1 ? 299 ? ?a1 ?
2

1 ? 299 ? a1 ? 299 ? a1 . ??11 分 1? 2
98 99

则 R100 ? r 1 ?r 2 ?L ? r 99 ? r 100 ? a1 ? a1 ? 2 ? a1 ? 2 ? L ? a1 ? 2 ? a1 ? 2

? a1 (1 ? 2 ? 22 ? L ? 298 ) ? a1 ? 299 ? a1 ?

1 ? 299 ? a1 ? 299 ? ?a1 . ??12 分 1? 2
?????13 分

由已知 a1 ? 0 ,所以 R100 ? T100 ,与已知不符,所以 t100 ? r100 . 所以 R99 ? T99 ,同上可得 t99 ? r99 . 如此下去, t98 ? r98 ,?, t1 ? r1 . 即对于任意的正整数 k (1 ? k ? 100) ,均有 tk ? rk .?????14 分

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