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2012高中数学


? 3.3.3 函数的最大(小)值与导数

? 1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 ? 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的 曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得 最小值 和 最大值

,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.
? 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 极值 ?

(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; ? (2)将函数y=f(x)的 各极值 与 端点处的函数值

f(a) ,

f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

1.函数 f(x)=x+2cos x ( ) π A.-2 π C.6+ 3

? π ? 在区间?-2,0?上的最小值是 ? ?

B.2 π D.3+1

解析: f′(x)=1-2sin ∴f(x)=x+2cos x

? π ? x.∵x∈?-2,0?,∴f′(x)>0 ? ?

? π ? 在?-2,0?上是增函数, ? ?

? π? π π π ?- ?=- .故选 A. 当 x=- 时,f(x)min=- +2cos 2 2 2 2 ? ?

? 答案:

A

ln x 2.函数 y= 的最大值为( x 10 A. 3 C.e2 B.e D.e
-1

)

?ln x?′x-ln x· x′ 1-ln x 解析: 令 y′= = x2 =0. x2 解得 x=e. 当 x>e 时,y′<0; 当 0<x<e 时,y′>0.

1 y 极大值=f(e)=e ,在定义域内只有一个极值, 1 所以 ymax= . e
? 答案: D

? 3.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).若f′(-1)=0,函
数f(x)在[-2,2]上的最大值为________,最小值为________ 解析: 由原式可得 f(x)=x3-ax2-4x+4a, .

f′(x)=3x2-2ax-4. 1 由 f′(-1)=0 得 a= , 2 1 2 此时 f(x)=x -2x -4x+2,
3

f′(x)=3x2-x-4. 4 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=3. 9 ?4? 50 又 f(-1)= ,f?3?=- ,f(-2)=f(2)=0, 2 ? ? 27 9 50 所以函数 f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-27.

9 50 答案: 2 -27

? 4.求函数f(x)=x3-x2-x+1在[-1,2]上的最大值和最小
值. 解析: ∵f′(x)=3x2-2x-1
=(3x+1)(x-1), 1 令 f′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f ′(x )

? 1? ?-1,- ? 3? ?



? 1 ? ?- ,1? ? 3 ?

1

(1, 2)



0



0




f( x) ? 大 值 ? 小 值


?

1 ∴- 是极大值点,1 是极小值点. 3
? 1? 32 ∵f?-3?=27,f(1)=0,f(-1)=0,f(2)=3, ? ?

∴函数的最大值是 f(2)=3,最小值是 f(1)=f(-1)=0.

求下列各函数的最值. (1)f(x)=-x3+3x,x∈[- 3,3]; (2)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2].

[解题过程]

(1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x).

令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=-1,

x f ′(x)

(- 3,1)

- (-1, 3)

1 -


1

(1,

3) -


极 ? 大 值

f(x
)

?

小 值

?

所以 x=1 和 x=-1 是函数在[- 3, 3]上的两个极值点, 且 f(1)=2,f(-1)=-2. 又因为 f(x)在区间端点处的取值为 f(- 3)=0,f(3)=- 18, 所以 f(x)max=2,f(x)min=-18.

? ? ? ?

(2)f′(x)=-4x3+4x, 令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0, 得x=-1,x=0,x=1. 当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
( - x 3 -3 ,- 1) 1 - - 1,0)

( 0 0,1)

(

1

( 1,2)

2

f
′(x) f (x) 60 -



0 极



0



0 极



?

大值 4

?

极 小值3

?

大值 4

?
5



? ∴当x=-3时,f(x)取最小值-60; ? 当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4.

? 1.求函数f(x)=4x3+3x2-36x+5在区间[-2,2]上的最大值 和最小值. 解析: f′(x)=12x2+6x-36=6(2x2+x-6),
3 令 f′(x)=0,解得 x1=-2,x2=2. 又
?3? 115 f(-2)=57,f?2?=- ,f(2)=-23, 4 ? ?

115 所以函数 f(x)的最大值为 57,最小值为- 4 .

2 3 2 3 设3<a<1,函数 f(x)=x -2ax +b(-1≤x≤1)的最大值 6 为 1,最小值为- 2 ,求常数 a,b.

解答本题可先对 f(x)求导, 确定 f(x)在[-1,1]上的单调性 及最值,再建立方程组,求得 a、b 的值.

? [规范作答]

令f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a)=0,

? 得x1=0,x2=a. ……… ……… ……… ……… 2分 ? 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
- x f ′(x) 1 ( -1,0) + (0 ,a) - (a ,1) +

0

a

1

0

0

f( x)

-1- 3 2a+b

b

?

- +b

?

?

1- 3 2a+b

………………………………………………………………5分

从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b, 而 f(0)>f(a),f(1)>f(-1), 故需比较 f(0)与 f(1)的大小, 3 因为 f(0)-f(1)=2a-1>0, 所以 f(x)的最大值为 f(0)=b, 所以 b=1.…………………………………9 分

1 又 f(-1)-f(a)=2(a+1)2(a-2)<0, 3 3 所以 f(x)的最小值为 f(-1)=-1-2a+b=-2a, 3 6 6 所以-2a=- 2 ,所以 a= 3 .……………12 分

? 2.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,求 a的值并求f(x)在[-2,2]上的最大值. ? 解析: f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),

? 由f′(x)=0得x=0或x=2. ? 当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:

x

-2

(-2,0)

0

(0,2)

2

f′(x



) -40
f(x) +a

0



0

?

极大
值a

?

-8
+a

∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a=-37,∴a=3. ∴当 x=0 时,f(x)取到最大值 3.

1 2 3.已知 f(x)=x - x -2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 2
3

恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 2 解析: ∵f(x)=x -2x -2x+5,
3

∴f′(x)=3x2-x-2. 令 f′(x)=0,即 3x2-x-2=0, 2 ∴x=1 或 x=-3.

当 当

? 2? x∈?-1,-3?时,f′(x)>0,f(x)为增函数; ? ? ? 2 ? x∈?-3,1?时,f′(x)<0,f(x)为减函数; ? ?

当 x∈(1,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
? 2? 2 22 ∴当 x=-3时,f(x)取得极大值 f?-3?=5+27; ? ?

7 当 x=1 时,f(x)取得极小值 f(1)= . 2 11 又 f(-1)= 2 ,f(2)=7, ∴f(x)在 x∈[-1,2]上的最大值为 f(2)=7, ∴要使 f(x)<m 恒成立,需 f(x)max<m, 即 m>7. ∴所求实数 m 的取值范围是(7,+∞).

◎求函数 f(x)=sin 2x-x 值. 【错解】

? π π? 在?-2,2?上的最大值和最小 ? ?

f′(x)=2cos 2x-1,



? π π? f′(x)=0,x∈?-2,2?, ? ?

π π 解得 x=-6或 x=6. 而
? π? π f?-6?=6- ? ?

3 ?π ? 3 π ? ?= 2 ,f?6? 2 -6,

3 π π 3 所以函数 f(x)的最大值为 2 -6,最小值为6- 2 .

【 正 解】
? π π? ?- , ?, ? 2 2?

f′(x) = 2cos 2x - 1 , 令 f′(x) = 0 , x ∈

π π 解得 x=-6或 x=6. 而
? π? π f?-6?= - ? ? 6

3 ?π ? 3 π ? π? π ,f?6?= - ,f?-2?= , 2 2 6 ? ? ? ? 2

?π? π ? ?=- , f2 2 ? ?

π π 所以函数 f(x)的最大值为 ,最小值为- . 2 2


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