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第四讲 数列的概念及等差数列


第四讲
一、知识要点:

数列的概念及等差数列

1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序 不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同, 因此同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第

n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的, 3.等差数列: (1) 等差数列的定义: an?1 ? an ? d ,或 an?1 ? an?1 ? 2an (2) 等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 4、性质:若数列 {an } 是等差数列,则 (1) m ? n ? p ? q且m, n, p, q ? N *,则am ? an ? a p ? aq (2) d ?

am ? an m?n

二、例题精析
1.(1) 若两个等差数列5,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少相同的项? (2) 若

1 1 1 , , 是等差数列,则 a 2 , b2 , c 2 是等差数列. b?c c?a a?b

2. 设数列 {an } 是等差数列,

(1)已知a1=1,求公差d,使 a1a3 ? a2 a3 最小; (2)已知a7=9,求d,使 a1a2 最小.

3. 设 f ( x) ? log2 x ? logx 4(0 ? x ? 1) ,数列 {an } 的通项满足 f (2an ) ? 2n ,求数列 {an } 的最小 项,并说明理由.

4.已知数列 {an } 为等差数列,公差 d ? 0, an ? 0 , ak x2 ? 2ak ?1x ? ak ? 2 ? 0 (1) 求证:当 k 取不同正整数时,方程有公共根; (2) 若方程不同的根依次为 x1 , x2 ,…, xn ,求证:数列 {
1 } 是等差数列 xn ? 1

三、精选习题
1.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 5 ,则此数列是 (A)公差为 2 的等差数列 (B)公差为 5 的等差数列 (C)首项为 5 的等差数列 (D)是公差为 n 的等差数列 2.已知数列 {an } 中, an ? an?1 ? 2(n ? 2) ,且 a1 ? 1 ,则这个数列的第 10 项为 (A)18 (B)19 (C)20 (D)21 3.首项为 ?24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 8 8 8 (A) d ? (B) d ? 3 (C) ? d ? 3 (D) ? d ? 3 3 3 3 4. 已知等差数列{ an }的首项为 ( )

( (

) )

1 ,从第 10 项开始比 1 大,则公差 d 的取值范围是( 25 18 3 8 3 18 3 A. d ? B. d ? C. D. ?d ? ?d ? 75 75 75 75 25 25 a ?b 5.已知 a、b、c 的倒数成等差数列,如果 a、b、c 互不相等,则 ( 为 b?c c b a a A. B. C. D. c a b c

)

)

6. 数列 an } 的通项公式是 an ? 2n ? 5 , ( ) 则此数列 A.是公差为 2 的等差数列 B.是公差为 5 的等差数列 C.是首项为 5 的等差数列 D.是公差为 n 的等差数列 7.等差数列 1,-1,-3,-5,…,-89,它的项数是 ( ) A.92 B.47 C.46 D.45 8.若一个数列的通项公式是 an ? kn ? b (其中 b,k 为常数)则下列说法中正确的是 ( ) A.数列 {an } 一定不是等差数列 B.数列 {an } 是以 k 为公差的等差数列

C.数列 {an } 是以 b 为公差的等差数列 D.数列 {an } 不一定是等差数列 9.已知 x≠y,且两个数列 x1 , a1 , a 2 , ??, a m , y 与 x1 , b1 , b2 , ??, bn , y 都是等差数列,则 a 2 ? a1 ( ) 等于 b2 ? b1 A.

m n

B.

m ?1 n ?1

C.

n m

D.

n ?1 m ?1
( )

10.下列各命题中,真命题是 A.若 {an } 成等差数列,则 {| an |} 也成等差数列 B.若 {| an |} 成等差数列,则 {an } 也成等差数列

C.若存在自然数 n 使 2an ?1 ? an ? an ? 2 ,则 {an } 是等差数列 D.若 {an } 是等差数列,则对任意正整数 n 都有 2an ?1 ? an ? an ? 2 a9 ? a3 11.两个等差数列 {an } , {bn } 中,若 a1 ? b2 ,且 a4 ? b4 ,则 的值是______________. b8 ? b1 12. 定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么 这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列 {an } 是等和数列,且

a1 ? 2 ,公和为 5. (1)求 a18 的值;

(2)求这个数列的前 n 项的和 Sn 的计算公式.

13. 已知数列 {an } 满足关系: an?1 ? 2an ? 2n ? 1(n ? N * ) a ?1 (1)求证:数列 { n n } 为等差数列; 2 (2)求数列 {an } 的通项公式


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