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广东省深圳高级中学10-11学年高二下学期期中考试(数学理)


高级中学 2010-2011 学年第二学期期中测试 高二数学(理科) 命题人: 张红兵 审题人: 彭仕主 杨贵武 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷为 1-8 题,共 40 分;第 II 卷为 9-20 题,共 110 分。全卷共计 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科

目用铅笔涂写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,把答案填写在答题卡上的选择题答题处,答案不能答在试卷 上。 3.考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷(本卷共 40 分) 一、选择题: (每小题只有一个选项是符合题目要求的,每小题 5 分,共计 40 分) 1.已知:集合 A ? {a,9, lg(a ? 9)} ( a ? R ) , ,则下列说法一定错误的是( A. 1 ? A 2.已知 B. 9 ? A C. 2 ? A D. 1 ? A



x, y 的对应取值如下表所示:

x
y

0 2.7

1 4.8
?

3 5.3

4 7.2 )

y 从散点图分析知, 与 x 成线性相关,其线性回归方程为 y ? 0.95x ? a ,则 a ? (
A. 3.85 B. 3.4 C. 3.1 D. 2.7

3.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系, 现随机抽取 50 名学生, 得到如下 2 ×2 列联表: 理科 文科 13 10 男 7 20 女
2 2 ) 已 知 P( K ? 3.841 ? 0.05 , P( K ? 5.024) ? 0.025 . 根 据 表 中 数 据 , 得 到

K

2

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7) 2 = 23? 27 ? 20 ? 30 ≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为(

).

A. 2.5%

B. 5%

C. 10%

D. 95%

? x ? 1 ? 2t ? y ? 2 ? 3t ( t 为参数),则直线的斜率为( 4.若直线的参数方程为 ?
2 A. 3 2 B.- 3 3 C. 2 3 D.- 2



? 5.已知函数 y ? x ? f ?(x) 的图象如右图所示(其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数) ,下面四个
图象中 y ? f (x) 的图象大致是( )

4 y ? ? x3 ? bx 3 6.若函数 有三个单调区间,则 b 的取值范围是(



( A) b ? 0

(B) b ? 0

(C ) b ? 0

( D) b ? 0

7.已知定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 在 (??, 0] 上是增函数, f (a) ? f (2) ,则实数 a 的取 若 值范围是 ( A. a ? 2 ) C. ?2 ? a ? 2 D. a ? ?2 或 a ? 2

B. a ? ?2

8.在 R 上定义运算:x ? y ? x(1 ? y ) , 若不等式 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 1 对一切实数 x 恒成立, 则实数
?

y 的取值范围是(
? 3 1 ? y? 2 2



A. B. C. ?1 ? y ? 1 D. 0 ? y ? 2 第 II 卷(本卷共 110 分) 二、填空题: (只需填写最终最简结果,每小题 5 分,共计 30 分)
? ?? P ? 2, ? 9.经过点 ? 4 ? ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是

1 3 ? y? 2 2



10.如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知 AD ? 2 3 ,
AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离为



11. 已 知 : 如 图 , 一 个 圆 的 两 条 弦 AB 和 CE 相 交 于 点 D ,

BE ? 2, BC ? 2BD ? 2 3, ?1 ? ?2, 则 EC ?
?CBE ?

2x



12. 若关于 x 的方程 2

? 2 x ? a ? 1 ? 0 有实根,则实数 a 的取值范围是
x



13. 若指数函数 f ( x) ? a ( x ? R) 的部分对应值如下表:

x
f ( x)
若 记 y? f
?1

-2
?

0 1

2 1.44

0.69 4

( x) 为 y ? f (x) 的 反 函 数 , 则 不 等 式 f ?1 (| x ? 1 |) ? 0 的 解 集

为 。 14. 给出下列命题:

y ? x?
(1)函数

1 x 的最小值是 2;

(2) 函数 y ? x ? 2 x ?1 ? 3 的最小值是 ?2 ;

y?
(3)函数

x2 ? 5
2

5 3 y? x ? 4 的最小值是 2 ;(4) 函数 x 在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 内递减;
3

? ??,0? 内单调递增; (5)幂函数 y ? x 为奇函数且在
其中真命题的序号有: (把你认为正确的命题的序号都填上)

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. )

?1 ? x , x ? 0 f ( x) f ( x) ? ? ?1 ? 1, x ? 0 .解不等式: x ? 2 15.(本小题满分 12 分) 已知:函数 .

2 16. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 满足: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且方程

f ( x) ? 2 x 有等根。
(1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存在, 求出 m,n 的值;如果不存在,说明理由。

17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1(a ? 0). 其 导 函 数 满 足 :
3 2

f ' ( x) ? f ' (b) ? ?12 。求: (Ⅰ)a、b 的值;(Ⅱ)函数 f(x)的单调递减区间。

18. (本小题满分 14 分)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能 停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 (米)与汽车的

y

车速 x (千米/小时)满足下列关系:

y?

nx x2 ? 100 400 ( n 为常数, n ? N ) .我们做过两次

刹车实验, 两次的结果分别是: x1 ? 40 时, 当 刹车距离为 y1 ;当 x2 ? 70 时, 刹车距离为 y 2 . 且 5 ? y1 ? 7 , 13 ? y 2 ? 15 . (1)求出 n 的值; (2)若汽车以 80 (千米/小时)的速度行驶,发现正前方 15 米处有一障碍物,紧急刹车, 汽车与障碍物是否会相撞? (3) 若要求司机在正前方 15 米处发现有人就刹车 (假设发现有人到刹车司机的反应有 0.5 秒 的间隔) ,车必须在离人 1 米以外停住,试问这时汽车的最大限制速度应是多少?(保留整 数;参考数据: 608 ? 4 ? 9 ?14? 3600 ?
2

2184064? 1478)

f ( x) ? 4 x ? ax 2 ?
19.(本小题满分 14 分)已知 (1)求实数 a 的值构成的集合 A ;

2 3 x ( x ? R) 3 在区间 [?1,1] 上是增函数。

1 f ( x) ? 2 x ? x 3 3 的两个非零实根为 x1、x2 ,问:是否存在实数 m , (2)设关于 x 的方程
使得不等式 m ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 a ? A 及 t ? [?1,1] 恒成立?若存在,求实数 m 的
2

取值范围;若不存在,说明理由。

20.

(











14



)











M ? { f ( x) | ?x0 ? D, 使f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1).其中集合D是f ( x)的定义域} 。

问: (1)函数

f1 ( x) ?
x

1 x 是否属于集合 M ?说明理由。
2

(2)函数 f 2 ( x) ? 2 ? x 是否属于集合 M ?说明理由。

(3)若函数

f 3 ( x) ? lg

a ?M x ?1 ,试给出一个满足要求的实数 a 的值。
2

高级中学 2010-2011 学年第二学期期中测试 高二数学(理科)答题卷 一、选择题 题 号 选 项 二、填空题 9. 12. 三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 10. 13. 11. 14. ,

1

2

3

4

5

6

7

8

16. (本小题满分 14 分)

17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 14 分)

高级中学 2010-2011 学年第二学期期中测试高二理科数学参考答案 1-8 ACBD CADA 9.

? cos? ? 2

10.

5

11.4, 90 (选修 4-1P12 例 2) 14. (2) (5) (3)

0

12. (??,?2]

13. (0,1)∪(1,2)

1? x 1 ?1 ?1 15. 解:1)当 x ? 0 时,即解 x ? 2 ,得 x ? 0 ;2)当 x ? 0 时,即解 x ? 2 ,得
0 ? x ? 2或x ? 3 .
由 1) 、2)得,原不等式解集为 {x | x ? 2或x ? 3} . 16. (1)由△=(b-2)2=0 得 b=2。由 f(x-1)=f(3-x)知此函数图像的对称轴为 x=1,得 a=-1, 故 f(x)=-x2+2x.。

1 (2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴4n≤1,即 n≤ 4 .而抛物线 y=-x2+2x 的对称轴为 x=1,∴当 n 1 ? f ( m) ? 4 m ? ≤ 4 时 , f(x) 在 [m,n] 上 为 增 函 数 。 若 满 足 题 设 条 件 的 m,n 存 在 , 则 ? f (n) ? 4n 即
?? m 2 ? 2 m ? 4 m ? ? 2 ?? n ? 2 n ? 4 n ?

?m ? 0或m ? ?2 1 ? ? ?n ? 0或n ? ?2 又 m<n≤ 4 .∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域

为[-8,0]。由以上知满足条件的 m,n 存在,m=-2,n=0.
a a2 ? 3 ( ? 2)? ? x 9 ? 3 3 17. ( Ⅰ ) 因 为 f ( x) ? x ? ax ? 9x ? 1 , 所 以 f ?( x)? 3x ? 2a x 9
2 2
2

即当 得

.

a a2 x ? ? 时,f ?( x ) 取得最小值 ? 9 ? 3 3
a ? 3? , 由题设 a 所以 ?0 , a ,?
b??

.
a


?1







?9 ?

a2 ? ?12,即a 2 ? 9. 3



?3 3

. 。

(



)



(



)



a ? ?3,因此f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ?1,
' 由于 x ? (?1,3) 时 f ( x) ? 0 ,所以 (?1,3) 是 f (x) 的单调递减区间。

18. (1)

y1 ?

49 7 40n 402 2 y2 ? ? n ? ? 4? n 4 10 ,由 5 ? y1 ? 7 和 13 ? y 2 ? 15 ,得 100 400 5 ,
3x x2 ? 100 400 ( x ? 0 ) .

n ? 3 .所以

y?

(2) x ? 80 ,

y?

3 ? 80 802 ? ? 18.4 100 400 .刹车距离大于 15 米,所以会发生相撞.

3x x2 0.5 ? ? 15 ? ? 1000x ? 1 2 3600 (3)由题意知 100 400 ,整理得 9 x ? 608x ? 14 ? 3600? 0 ,

解得

0? x?

? 608? 6082 ? 4 ? 9 ?14? 3600 18 , 0 ? x ? 48 .3 , 即 故汽车最大限制时速为 48(千

米/小时) . 19.(1)由题意得 f ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x ? 0 在 [?1,1] 上恒成立,解之得 ? 1 ? a ? 1 ,所以
' 2

A ? [?1,1] 。
(2) m ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 |?
2

a 2 ? 8 ,而 a 2 ? 8 ? 3 ,故 m 2 ? tm ? 1 ? 3 对 t ? [?1,1]

恒成立, 分别把 t 用 ? 1,1 代入, 解之得 m ? 2或m ? ?2 。 所以存在 m ? (??,?2]?]2,??) 满 足题意。

1 1 ? ?1 2 x ? x0 ? 1 ? 0 。 f1 ( x) ? M 。假若 f1 ( x) ? M ,则 ?x 0 ,使 x0 ? 1 x0 20. (1) ,得 0
此方程无解,故 f1 ( x) ? M 。 ( 2 )

f 2 ( x) ? M





g ( x) ? f 2 ( x ? 1) ? f 2 ( x) ? f 2 (1) ? 2 x?1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 ? 1 ? 2(2 x?1 ? x ? 1) ,

x 由于 g (0) ? ?1, g (1) ? 2 ,故函数 f 2 ( x) 在 (0,1) 上至少有一个零点,设为 0 ,它满足
f 2 ( x0 ? 1) ? f 2 ( x0 ) ? f 2 (1 ,所以 f 2 ( x) ? M 。 )
f 3 ( x) ? lg

(3)由于

a a a a ?x0 , lg ? lg 2 ? lg ?M 2 2 ( x0 ? 1) ? 1 x0 ? 1 x2 ?1 ,得 ,即

a a a ? 2 2 ( x0 ? 1) ? 1 x0 ? 1 2



a?
所以

2( x0 ? 1)
2

x0 ? 2 x0 ? 2 ,
2

g ( x) ?

?

2( x ? 1)
2

x ? 2x ? 2
2

g ( x) ?
'

?

4( x (x
2

2

? x ? 1)



? 2 x ? 2) 2

?0
,得

x?

?1? 5 2 , (??, ?1? 5 ?1? 5 ?1? 5 ) ( , ) 2 2 2 上单调增,在 上单调减,在

知 , 函 数 g (x) 在

(

?1? 5 ,??) 2 上单调增,且 x ? ?1 时 g ( x) ? 2 , x ? 2 时 g ( x) ? 2 ,所以 g (x) 的值域为

[3 ? 5,3 ? 5 ] ,于是 a ? [3 ? 5,3 ? 5 ] 。 (注:阅卷时,有理由地给出该范围内的任一
值即可给至满分,无理由酌情扣分;其它合理的做法酌情扣分;该函数的参考图像如右图)

1-14 题 15 题 16 题 17 题 18 题 19 题 20 题

每题 5 分 共 70 分 12 分 (5+5+2) 14 分 (5+4+5) 12 分 (6+6) 14 分 (5+5+4) 14 分 (7+7) 14 分 (3+5+6)


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