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2017年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)


2017 年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B=[2,+∞) ,则图中阴影 部分所表示的集合为( )

A.{0,1,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{1} 2. (5 分)设函数 y=f(x) ,x∈R“y=|f(x)|是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原 点对称”的( )

A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )

A.7

B.9

C.10 D.11

4. (5 分)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. B. C.2 D.3 ) )

5. (5 分) ( x﹣2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是( A.﹣20 B.﹣5 C.5 D.20
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6. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(



A.1

B.

C.

D.2 ﹣ ) ? ( + ﹣2 )

7. (5 分) 若 O 为△ABC 所在平面内任一点, 且满足 ( =0,则△ABC 的形状为( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 )

8. (5 分)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为( A. B.1 C. D.2

9. (5 分) 已知 x, y 满足约束条件

, 若 z=ax+y 的最大值为 4, 则 a= (



A.3

B.2

C.﹣2 D.﹣3 )

10. (5 分) 函数 f (x) = (x﹣ ) cosx (﹣π≤x≤π 且 x≠0) 的图象可能为 (

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)如图是一个几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E、F 分别 为 PA、PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面;
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②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确结论的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 12. (5 分)已知函数 g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e 为自然对数的底数)与 h(x) =2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A.[1, +2] B.[1,e2﹣2] C.[ )

+2,e2﹣2] D.[e2﹣2,+∞)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)若复数 z 满足 z?i=1+i(i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数是 .

14. (5 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此 进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如表) : 零件数 x(个) 加工时间 y(分钟) 10 62 20 68 30 75 40 81 . , 50 89

由最小二乘法求得回归方程

=0.67x+a,则 a 的值为

15. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=2,c=2 且 C= ,则△ABC 的面积为 .

16. (5 分)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+ )=﹣f(x) ,且函 数 y=f(x﹣ )是奇函数,给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称;
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③函数 f(x)是偶函数; ④函数 f(x)在 R 上是单调函数. 在上述四个命题中,正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,且首项 a1=1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,请写出适合条件 Tn≤Sn 的所有 n 的值. 18. (12 分)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学,在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学 院,现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同 学被选到的可能性相同) . (Ⅰ)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ) 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 19. (12 分)如图,四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面,点 P 在圆柱 OQ 的底面 圆周上,G 是 DP 的中点,圆柱 OQ 的底面圆的半径 OA=2,侧面积为 AOP=120°. (1)求证:AG⊥BD; (2)求二面角 P﹣AG﹣B 的平面角的余弦值. ,∠

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣1,

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0) ,F2(1,0) ,点 A(1, (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

)在椭圆 C 上.

(Ⅱ)是否存在斜率为 2 的直线 l,使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M、N 时, 能在直线 y= 上找到一点 P, 在椭圆 C 上找到一点 Q, 满足 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=(a﹣bx3)ex﹣ e)处的切线与直线 x﹣(2e+1)y﹣3=0 垂直. (Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2. ,且函数 f(x)的图象在点(1, = ?若存在,

请在第 22 题和第 23 题中任选一题作答.[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的 原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直 l 的参数方程是 (t 是参数) (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= 值. ,求直线的倾斜角 α 的

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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2017 年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2017?惠州模拟)已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B=[2, +∞) ,则图中阴影部分所表示的集合为( )

A.{0,1,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{1} 【分析】集合韦恩图,判断出阴影部分中的元素在 A 中但不在 B 中即在 A 与 B 的补集的交集中. 【解答】解:阴影部分的元素 x∈A 且 x?B,即 A∩CUB, 又 A={1,2,3,4,5},B=[2,+∞) , 则右图中阴影部分表示的集合是:{1}. 选项 D 符合要求. 故选 D. 【点评】本题考查利用集合运算表示 Venn 图中的集合、考查 Venn 图.Venn 图 是研究集合关系的常用工具.

2. (5 分) (2017?惠州模拟)设函数 y=f(x) ,x∈R“y=|f(x)|是偶函数”是“y=f (x)的图象关于原点对称”的( A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】 根据函数奇偶性与函数图象之间的关系,结合充分条件和必要条件的定 义进行判断. 【解答】解:若 y=|f(x)|是偶函数,则不能推出 y=f(x)的图象关于原点对称, 即充分性不成立,
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反之若 y=f(x)的图象关于原点对称,则函数 f(x)是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f (x) , 则|f(﹣x)|=|﹣f(x)|=|f(x)|, 则 y=|f(x)|是偶函数是偶函数,即必要性成立, 则“y=|f(x)|是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原点对称”的必要不充分条件, 故选:C 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数奇偶性的性质是解 决本题的关键.

3. (5 分) (2017?惠州模拟) 执行如图所示的程序框图, 则输出的结果为 (



A.7

B.9

C.10 D.11

【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 S=﹣lg11 时, 满足条件,退出循环,输出 i 的值为 9,从而得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得: ,否; ,否; ,否; ,否; , 是,输出 i=9,
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故选:B. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模 拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.

4. (5 分) (2017?惠州模拟)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对 称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 ( A. ) B. C.2 D.3

【分析】由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线 l 的方程为:x=c 或 x=﹣c,代入 的离心率. 【解答】解:设双曲线的标准方程为 (a>0,b>0) ,由于直线 l 过双 得 y2=b2( ﹣1)= ,依题意 =4a,即可求出 C

曲线的焦点且与对称轴垂直, 因此直线 l 的方程为: x=c 或 x=﹣c, 代入

得 y2=b2(

﹣1)=

,∴y=±



故|AB|= 故选:A.

,依题意

=4a,∴

=2,∴e2﹣1=2,∴e=



【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

5. (5 分) (2014?湖南) ( x﹣2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是( A.﹣20 B.﹣5 C.5 D.20



【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,求解所求项的系数即可. 【解答】解:由二项式定理可知:Tr+1= 要求解( x﹣2y)5 的展开式中 x2y3 的系数, ,

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所以 r=3, 所求系数为: 故选:A. 【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用,基本知识的考查. =﹣20.

6. (5 分) (2015?北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为 ( )

A.1

B.

C.

D.2

【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关 几何量的数据,可得答案 【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,

底面为正方形如图: 其中 PB⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形 ∴PB=1,AB=1,AD=1, ∴BD= PC== 该几何体最长棱的棱长为:
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,PD=

=



故选:C. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体 的结构特征是解答本题的关键

7. (5 分) (2017?惠州模拟) 若 O 为△ABC 所在平面内任一点, 且满足 ( ?( + ﹣2 )=0,则△ABC 的形状为( )





A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形

【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算,结合题意可得出△ABC 是等腰 三角形. 【解答】解:因为( 即 ?( + ﹣ ﹣ )=0; = , + )=0, ﹣ )?( + ﹣2 )=0,

又因为 所以( 即| |=|

)?( |,

所以△ABC 是等腰三角形. 故选:A. 【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题,是综合性题目.

8. (5 分) (2017?惠州模拟)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为( A. B.1 C. D.2



【分析】利用二倍角公式化简函数 y,根据正弦函数的有界性与二次函数的图象 与性质即可求出函数 y 的最大值. 【解答】解:y=cos 2x+2sin x =﹣2sin2x+2sin x+1, 设 t=sin x,则﹣1≤t≤1, 所以原函数可以化为
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y=﹣2t2+2t+1 =﹣2 + ,

所以当 t= 时,函数 y 取得最大值为 . 故选:C. 【点评】 本题考查了二倍角公式与正弦函数和二次函数的应用问题, 是基础题目.

9. (5 分) (2015?山东)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值

为 4,则 a=( A.3 B.2

) C.﹣2 D.﹣3

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结 合确定 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 则 A(2,0) ,B(1,1) , 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满 足条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不 满足条件, 故 a=2, 故选:B

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法, 确定目标函数的斜率关系是解决本题 的关键.

10. (5 分) (2017?惠州模拟)函数 f(x)=(x﹣ )cosx(﹣π≤x≤π 且 x≠0) 的图象可能为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】先根据函数的奇偶性排除 AB,再取 x=π,得到 f(π)<0,排除 C. 【解答】解:f(﹣x)=(﹣x+ )cos(﹣x)=﹣(x﹣ )cosx=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数, ∴函数 f(x)的图象关于原点对称,故排除 A,B, 当 x=π 时,f(π)=(π﹣ 故选:D. 【点评】 本题考查了函数图象的识别, 常用函数的奇偶性, 函数值, 属于基础题. )cosπ= ﹣π<0,故排除 C,

11. (5 分) (2017?惠州模拟)如图是一个几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正 方形,E、F 分别为 PA、PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面;
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②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确结论的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】几何体的展开图,复原出几何体,利用异面直线的定义判断①,②的正 误; 利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误; 利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误; 【解答】解:画出几何体的图形,如图, 由题意可知,①直线 BE 与直线 CF 异面,不正确, 因为 E,F 是 PA 与 PD 的中点,可知 EF∥AD, 所以 EF∥BC,直线 BE 与直线 CF 是共面直线; ②直线 BE 与直线 AF 异面;满足异面直线的定义,正确. ③直线 EF∥平面 PBC;由 E,F 是 PA 与 PD 的中点,可知 EF∥AD,所以 EF∥BC, ∵EF?平面 PBC,BC? 平面 PBC,所以判断是正确的. ④因为△PAB 是等腰三角形, BE 与 PA 的关系不能确定, 所以平面 BCE⊥平面 PAD, 不正确. 故选 B.

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【点评】本题是基础题,考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系,考查异 面直线的判断,基本知识与定理的灵活运用.

12. (5 分) (2017?惠州模拟)已知函数 g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e 为自然对数 的底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围 是( A.[1, ) +2] B.[1,e2﹣2] C.[ +2,e2﹣2] D.[e2﹣2,+∞) 上有解,构造

【分析】由已知,得到方程 a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2 在 函数 f(x)=2lnx﹣x2,求出它的值域,得到﹣a 的范围即可. 【解答】解:由已知,得到方程 a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2 在 设 f(x)=2lnx﹣x2,求导得:f′(x)= ﹣2x= ∵ ≤x≤e,∴f′(x)=0 在 x=1 有唯一的极值点, ∵f( )=﹣2﹣ ,

上有解.

,f(e)=2﹣e2,f(x)极大值=f(1)=﹣1,且知 f(e)<f( ) , 上有解等价于 2﹣e2≤﹣a≤﹣1.

故方程﹣a=2lnx﹣x2 在

从而 a 的取值范围为[1,e2﹣2]. 故选 B. 【点评】 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已知转化为方 程 a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2 在 上有解.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分) (2017?惠州模拟)若复数 z 满足 z?i=1+i(i 是虚数单位) ,则 z 的共 轭复数是 1+i .

【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由 z?i=1+i,得 ∴ . ,

故答案为:1+i.
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【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

14. (5 分) (2017?惠州模拟)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所 花费的时间,为此进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如表) : 零件数 x(个) 加工时间 y(分钟) 10 62 20 68 30 75 40 81 54.9 . 50 89

由最小二乘法求得回归方程

=0.67x+a,则 a 的值为

【分析】根据回归直线方程 =0.67x+a 的图象过样本中心点( , ) ,求出平均 数代入方程即可求出 a 的值. 【解答】解:由题意,计算 = ×(10+20+30+40+50)=30, = ×(62+68+75+81+89)=75, 且回归直线方程 =0.67x+a 的图象过样本中心点( , ) ,

所以 a=75﹣0.67×30=54.9. 故答案为:54.9. 【点评】 本题考查了回归直线方程的图象过样本中心点的应用问题, 是基础题目.

15. (5 分) (2017?惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 已知 b=2,c=2 ,且 C= ,则△ABC 的面积为 .

【分析】由已知利用正弦定理可求 sinB,结合 B 的范围,利用特殊角的三角函数 值可求 B,利用三角形内角和定理可求 A,进而利用三角形面积公式即可计算得 解. 【解答】解:由正弦定理 又 c>b,且 B∈(0,π) , 所以 所以 所以
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, , .

故答案为:



【点评】本题主要考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理, 三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.

16. (5 分) (2017?惠州模拟)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f(x+ ) =﹣f(x) ,且函数 y=f(x﹣ )是奇函数,给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称; ③函数 f(x)是偶函数; ④函数 f(x)在 R 上是单调函数. 在上述四个命题中,正确命题的序号是 ①②③ (写出所有正确命题的序号)

【分析】题目中条件:f(x+ )=﹣f(x)可得 f(x+3)=f(x)知其周期,利用 奇函数图象的对称性,及函数图象的平移变换,可得函数的对称中心,结合这些 条件可探讨函数的奇偶性,及单调性. 【解答】解:对于①:∵f(x+3)=﹣f(x+ )=f(x)∴函数 f(x)是周期函数 且其周期为 3.①对 对于②:∵y=f(x﹣ )是奇函数∴其图象关于原点对称 又∵函数 f(x)的图象是由 y=f(x﹣ )向左平移 个单位长度得到. ∴函数 f(x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,故②对. 对于③:由②知,对于任意的 x∈R,都有 f(﹣ ﹣x)=﹣f( x,可得:f(﹣ ﹣x)+f(x)=0 ∴f(﹣ ﹣x)=﹣f(x)=f(x+ )对于任意的 x∈R 都成立. 令 t= +x,则 f(﹣t)=f(t) ,∴函数 f(x)是偶函数,③对. 对于④: ∵偶函数的图象关于 y 轴对称, ∴f (x) 在 R 上不是单调函数, ④不对. 故答案为:①②③.
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x) ,用



【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性等,抽象函数是相对于给出具体解析式 的函数来说的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的 性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.是中档题.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2017?惠州模拟)已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线 y=x+2 上, 且首项 a1=1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,请写出适合条件 Tn≤Sn 的所有 n 的值. 【分析】 ( I)由点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,且首项 a1=1.可得 an+1﹣an=2, 利用等差数列的通项公式即可得出. ( II)数列{an}是的前 n 项和 Sn=n2.等比数列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,利用 等比数列的求和公式可得{bn}的前 n 项和 Tn,代入 Tn≤Sn,即可得出. 【解答】解: ( I)∵点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,且首项 a1=1. ∴an+1=an+2,∴an+1﹣an=2, ∴数列{an}是等差数列,公差为 2, an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. ( II)数列{an}是的前 n 项和 Sn= 等比数列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,q=3. ∴an=3n﹣1. 数列{bn}的前 n 项和 Tn= Tn≤Sn 化为: = . =n2.

≤n2,又 n∈N*,所以 n=1 或 2.

【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式,考查了推 理能力与就计算能力,属于中档题.

18. (12 分) (2014?天津)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学,在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不
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相同的七个学院,现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教 活动(每位同学被选到的可能性相同) . (Ⅰ)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ) 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 【分析】 (Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的 3 名同学是来自互 不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值; (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3, 3)列出随机变量 X 的分布列求出期望值. 【解答】 (Ⅰ)解:设“选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为事件 A, 则 , . (k=0,1, (k=0,1,2,

所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 (Ⅱ)解:随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3, 2,3) 所以随机变量 X 的分布列是 X P 随机变量 X 的数学期望 0 1 2 3



【点评】本题考查古典概型及其概率公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列 与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力.

19. (12 分) (2017?惠州模拟)如图,四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面,点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上,G 是 DP 的中点,圆柱 OQ 的底面圆的半径 OA=2,侧 面积为 ,∠AOP=120°.

(1)求证:AG⊥BD;
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(2)求二面角 P﹣AG﹣B 的平面角的余弦值.

【分析】解法一: (1)由题设条件知可通过证明 AG⊥面 DBP 证 AG⊥BD; (2)作辅助线,如图,找出∠PGB 是二面角 P﹣AG﹣B 的平面角,由于其所在 的三角形各边已知,且是一个直角三角形,故易求. 解法二:建立如图的空间坐标系,给出图中各点的坐标 (1)求出 AG,BD 两线段对应的向量的坐标,验证其内积为 0 即可得出两直线 是垂直的; (2)求出两个平面的法向量,然后求出两法向量夹角的余弦值的约对值即是二 面角 P﹣AG﹣B 的平面角的余弦值. 【解答】解: (1) (解法一) :由题意可知 8 解得 AD=2 , , =2×2π×AD,

在△AOP 中,AP= ∴AD=AP, 又∵G 是 DP 的中点, ∴AG⊥DP.① ∵AB 为圆 O 的直径, ∴AP⊥BP. 由已知知 DA⊥面 ABP, ∴DA⊥BP, ∴BP⊥面 DAP.分 ∴BP⊥AG.② ∴由①②可知:AG⊥面 DBP, ∴AG⊥BD.

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(2)由(1)知:AG⊥面 DBP, ∴AG⊥BG,AG⊥PG, ∴∠PGB 是二面角 P﹣AG﹣B 的平面角. PG= PD= × AP= ,

BP=OP=2,∠BPG=90°, . ∴BG= cos∠PGB= = = = . . =2×2π×AD,

(解法二) :建立如图所示的直角坐标系,由题意可知 8 解得 AD=2 , ) ,P(

则 A(0,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,0,2 ∵G 是 DP 的中点, ∴可求得 G( (1) ∴ ∵ =( =( , , ) . =(0,﹣4,2

,3,0) ,

,﹣1,0) , ) .

) ,

, , =(

, ,

)?(0,﹣4,2

)=0,

∴AG⊥BD (2)由(1)知, ) ) =( ,﹣ , ) =( ,﹣1,0) , =( , , ). =(﹣ ,﹣ ,

∵ ∴





是平面 APG 的法向量.

设 =(x,y,1)是平面 ABG 的法向量, 由 ,

解得 =(﹣2,0,1)分
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cosθ=

=



所以二面角二面角 P﹣AG﹣B 的平面角的余弦值

【点评】本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、余弦定理等 知识,考查数形结合、化归转化的数学思想和方法,以及空间想象能力、推理论 证能力和运算求解能力

20. (12 分) (2017?惠州模拟)已知椭圆 C: 点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,点 A(1, (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

+

=1(a>b>0)的左、右焦

)在椭圆 C 上.

(Ⅱ)是否存在斜率为 2 的直线 l,使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M、N 时, 能在直线 y= 上找到一点 P, 在椭圆 C 上找到一点 Q, 满足 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 【分析】 (Ⅰ)方法一、运用椭圆的定义,可得 a,由 a,b,c 的关系,可得 b=1, 进而得到椭圆方程; 方法二、运用 A 在椭圆上,代入椭圆方程,结合 a,b,c 的关系,解方程可得 a, b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=2x+t,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x3, ) ,Q(x4, y4) ,MN 的中点为 D(x0,y0) ,联立椭圆方程,运用判别式大于 0 及韦达定理和 中点坐标公式,由向量相等可得四边形为平行四边形,D 为线段 MN 的中点,则
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=

?若存在,

D 为线段 PQ 的中点,求得 y4 的范围,即可判断. 【解答】解: (Ⅰ)方法一:设椭圆 C 的焦距为 2c,则 c=1, 因为 A(1, )在椭圆 C 上, + =2 ,

所以 2a=|AF1|+|AF2|= 因此 a= ,b2=a2﹣c2=1, +y2=1;

故椭圆 C 的方程为

方法二:设椭圆 C 的焦距为 2c,则 c=1, 因为 A(1, )在椭圆 C 上, + =1,

所以 c=1,a2﹣b2=c2, 解得 a= ,b=c=1,

故椭圆 C 的方程为

+y2=1;

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=2x+t, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x3, ) ,Q(x4,y4) ,MN 的中点为 D(x0,y0) , 由 所以 y1+y2= 故 y0= 由 = 消去 x,得 9y2﹣2ty+t2﹣8=0, ,且△=4t2﹣36(t2﹣8)>0 = 且﹣3<t<3,

,知四边形 PMQN 为平行四边形,

而 D 为线段 MN 的中点,因此 D 为线段 PQ 的中点, 所以 y0= 可得 y4= = , ,

又﹣3<t<3,可得﹣ <y4<﹣1, 因此点 Q 不在椭圆上, 故不存在满足题意的直线 l.
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【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程,考 查存在性问题的解法, 注意联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标 公式,考查向量共线的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

21. (12 分) (2017?惠州模拟)已知函数 f(x)=(a﹣bx3)ex﹣

,且函数 f

(x)的图象在点(1,e)处的切线与直线 x﹣(2e+1)y﹣3=0 垂直. (Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2. 【分析】 (Ⅰ)根据函数 f(x)的图象在点(1,e)处的切线与直线 x﹣(2e+1) y﹣3=0 垂直,求得 a,b; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 , 证f (x) >2, 即证 2ex﹣exx3>2 ,

构造函数,确定函数的单调性,即可证明结论. 【解答】 (Ⅰ)解:因为 f(1)=e,故(a﹣b)e=e,故 a﹣b=1①; 依题意,f′(1)=﹣2e﹣1;又 故 f′(1)=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1,故 a﹣4b=﹣2②, 联立①②解得 a=2,b=1,…(5 分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 要证 f(x)>2,即证 2ex﹣exx3>2 ; …(7 分) ,

令 g(x)=2ex﹣exx3,∴g′(x)=ex(﹣x3﹣3x2+2)=﹣ex(x3+3x2﹣2)=﹣ex(x+1) (x2+2x﹣2) , 故当 x∈(0,1)时,﹣ex<0,x+1>0; 令 p(x)=x2+2x﹣2,因为 p(x)的对称轴为 x=﹣1,且 p(0)?p(1)<0, 故存在 x0∈(0,1) ,使得 p(x0)=0; 故当 x∈(0,x0)时,p(x)=x2+2x﹣2<0,g′(x)=﹣ex(x+1) (x2+2x﹣2)> 0, 即 g(x)在(0,x0)上单调递增; 当 x∈(x0,1)时,p(x)=x2+2x﹣2>0,故 g′(x)=﹣ex(x+1) (x2+2x﹣2)< 0,
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即 g(x)在(x0,1)上单调递减;因为 g(0)=2,g(1)=e, 故当 x∈(0,1)时,g(x)>g(0)=2,…(10 分) 又当 x∈(0,1)时, 所以 2ex﹣exx3>2 ,∴ …(11 分)

,即 f(x)>2…(12 分)

【点评】本题考查导数的应用,考查导数的几何意义,考查不等式的证明,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.

请在第 22 题和第 23 题中任选一题作答.[选修 4-4:坐标系与参数方程](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分) (2017?惠州模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为 平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直 l 的参 数方程是 (t 是参数)

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= 值. 【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式,求出曲线 C 的直角 坐标方程; (2)先将直 l 的参数方程是 (t 是参数)化成普通方程,再求出弦 ,求直线的倾斜角 α 的

心距, 利用勾股定理求出弦长, 也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程 联解, 求出对应的参数 t1, t2 的关系式, 利用|AB|=|t1﹣t2|, 得到 α 的三角方程, 解方程得到 α 的值,要注意角 α 范围. 【解答】解: (1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2, ∴曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ 可化为: ρ2=4ρcosθ, ∴x2+y2=4x, ∴(x﹣2)2+y2=4. (2)将 代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4 得:

(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,
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化简得 t2﹣2tcosα﹣3=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2, 则 ∴|AB|=|t1﹣t2|= ∵|AB|= ∴ ∴cos , = . . , = ,

∵α∈[0,π) , ∴ 或 . 或 .

∴直线的倾斜角

【点评】 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的 互化,本题难度适中,属于中档题.

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23. (2017?惠州模拟)已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【分析】 (1)不等式 f(x)≤3 就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,与{x|﹣1≤x≤ 5}相同,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,根据 f(x) +f(x+5)的最小值≥m,可求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3, 解得 a﹣3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 所以 解得 a=2. (6 分)

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(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5) , 于是

所以当 x<﹣3 时,g(x)>5; 当﹣3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(﹣∞,5]. (12 分) 【点评】本题考查函数恒成立问题,绝对值不等式的解法,考查转化思想,是中 档题,

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参与本试卷答题和审题的老师有: lily2011; maths; w3239003; lcb001; qiss; sdpyqzh; 742048;whgcn;changq;sxs123;snowwhite;沂蒙松;wdnah;xintrl;双曲线; 王老师(排名不分先后) 菁优网 2017 年 3 月 6 日

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