当前位置:首页 >> 数学 >> 2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题

2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题


2009 年湖南省高中数学竞赛 A 卷试题
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1、设 z 是复数, a( z ) 表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位 i , a(i) ? ( C)
n

A. 8
n

>B. 6

C. 4

D. 2

【解析】 a(i) ? i ? 1 ,则最小正整数 n 为 4,选 C. 2、函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( C) (A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x ? 3) 是奇函数 (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是偶函数

f ? x ? 1? 为奇函数 ? ? f ? x ? 1? ? f ? ? x ? 1? ? ? f ? t ? ? f ? 2 ? t ? f ? x ? 1? 为奇函数 ? ? f ? x ? 1? ? f ? ? x ? 1? ? ? f ? t ? ? f ? ?t ? 2 ? ? f ? 2 ? t ? ? f ? ?t ? 2 ? ? f ? x ? ? f ? x ? 4 ? ? T ? 4, ? f ? x ? 3? 为奇函数 ? f ? ? x ? 3? ? f ? ? x ? 1? ? ? f ? x ? 1? ? ? f ? x ? 3?
3、在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x , cos A.

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率为( A 2 2

).

1 ?x 的值介于 0 到 之间, 2 2 ? ?x ? ? ?x ? 2 2 2 ?? 或 ? ? ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 ,由几何概 需使 ? ? 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 ?x 1 1 型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 ? .故选 A. 2 2 2 3
【解析】:在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x ,即 x ?[?1,1] 时,要使 cos
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

4、

设f ? x ? 为R ? R,且对任意实数有f ? x 2 ? x ? ? 2 f ? x 2 ? 3x ? 2 ? ? 9 x 2 ? 15 x,则f ? 50 ?的值为() A 72 B 73 C 144 D 146

分析:x 2 ? x ? 50 x ?

?1 ? 201 ? x 2 ? 3x ? 2 ? 54 ? 2 201 2 3 ? 201 x 2 ? 3x ? 2 ? 50 x ? ? x 2 ? x ? 54 ? 2 201 2

? ?1 ? 201 ? ?1 ? 201 ? f ? 50 ? ? 2 f 54 ? 2 201 ? 9 ? ? ? 15 ? ? ? 2 2 ? ?

?

?

2

?1? ?2?

? 3 ? 201 ? 3 ? 201 f 54 ? 2 201 ? 2 f ? 50 ? ? 9 ? ? ? 15 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?1? ? f ? 50 ? ? 146

?

?

2

5、

已知数列?an ? 满足a1 =0,a n?1 =a n +1+2 1 ? an ? n ? 1, 2,?? ,则a 2009 = ? A 4036080 B 4036078 C 4036082 D 4036099

?
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

分析:两边加1得 an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 1 ? an ? n2 ? 1, ? a2009 =4036080
6、

??? ? ??? ? ? AB ??? ??? ? ? ? AC ? ??? 已知非零向量AB与AC满足 ? ??? + ??? ? ? BC=0且 ? ? ? AB AC ? ? ? A 三边均不相等的三角形,B 直角三角形,  C 等腰非等边三角形, D 等边三角形。
??? ? ??? ? ? AB AC ? ? 分析: ??? + ??? ? ? AB AC ?

??? ??? ? ? AB AC 1 ??? ? ??? = ,则?ABC为? ? ? AB AC 2

?

??? ??? ? ? ? ??? ? AB AC 1 ? ? BC=0 ? ?ABC为等腰三角形, ? ? ??? = ? ?BAC= ? 。 ??? ? ? 3 AB AC 2 ?

二、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 7 分,满分 56 分,请将正确的答案填在横线上。 ) 7、
1 5 9 4 n?1 对于n ? N ? , C4n?1 ? C4n?1 ? C4n?1 ? ?C4n?1 ? _________. 24 n ?1 ? ? ?1? ? 22 n ?1.
n

8、

???? ??? ? 在三角形ABC中,D是BC边的中点,若AD ? AC 0,则tanC-cotA的最小值为__。 =
分析:以DC所在的直线为x轴,DC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。 ? ? ? ?? 不妨设A ? cos ? ,sin ? ? ? ? ? ? 0, ? ? , y ? tanC-cotA ? tanC+tan?BAD ? 2 ?? ? k ? k AB sin ? sin ? sin ? cos ? ? 3 = ? AD ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? k AD k AB 1 ? cos ? 2 ?1 ? cos ? ? 2sin ? ? 2 y sin ? ? cos ? ? 3, ? sin ?? ? ? ? ? 3 4 y2 ?1 ? y ? 2.

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

9、 计算:44? 4+11?1-66? 6=____。 = 44? 488?89=66? 67 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2n位 n ?1位 n位

? ?

? ?

n位

n-1位

n-1位

10、

?? 3 ? m ? x ? m, x ? 1, ? 已知函数f ? x ? = ? 在实数集R上单调递增,则实数m的取值范围是___。 ?log m x, x ? 1 ?

3 ?3 ? 分析: ? f ? x ? ? 3 ? 2m ? lim f ? x ? ? 0 ? m ? ,? 3 ? m ? 0,? m ? ? ,3 ? . lim x ?1 x ?1? 2 ?2 ?
11、

以双曲线

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ?的离心率为半径,右焦点为圆心的圆与双曲线 4 b2 的渐近线相切,则双曲线的离心率为_____。

分析:由双曲线的示意图可知b ? e ?

c 4 ? b2 2 3 ? ?b ?e? . a 2 3
w.w.w.k. s.5.u. c.o.m

2 2 12、 方程 x ? 3 x ? 2 + x ? 2 x ? 3 =11的所有实数根之和为___。

? x ? ?3 ?1 ? 97 分析:分段讨论知 ?1? ? 2 ?x? 2 2 4 ? x ? 3x ? 2 ? x ? 2 x ? 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 11 ??3 ? x ? 1 6 ?x?? ? 2? ? 2 2 5 ? x ? 3x ? 2 ? x ? 2 x ? 3 ? ?5 x ? 5 ? 11 ?1 ? x ? 2 16 ? x ? ? 舍去? ? 3? ? 2 2 5 ?? x ? 3x ? 2 ? x ? 2 x ? 3 ? 5 x ? 5 ? 11 ?x ? 2 ?1+ 97 7 ?x? ? 各根之和为- ? 4? ? 2 2 2 4 10 ? x ? 3x ? 2 ? x ? 2 x ? 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 11
13、

已知多项式 ?1 ? x ? + ?1 ? x ? + ? ? ?1 ? x ? =b0 +b1x+b2x2 + ? +bn xn ,
2 n

且b1 +b2 + ? +bn =1013,则正整数n的一个可能值是___。

分析:2n ? 2 ? n ? 1013,?n ? 9.
14、

正方体ABCD-A1B1C1D1的面ABCD、ADD1A1的中心分别为M、N,则 异面直线MN和BD1所成的角的正弦值为____。
3 3

三、解答题(本大题共 5 个小题,满分 64 分) 15、 (本小题满分 12 分)

? ? ? ? 已知向量a= ? x 2 , x ? 1?,= ?1 ? x, t ? ,若函数f ? x ? =a ? b在区间? ?1,1? 上是 b 单调增函数,求t的取值范围。

分析:f ? x ? ? x 2 ?1 ? x ? ? ? x ? 1? t ? ? x3 ? x 2 ? tx ? t ? f / ? x ? ? ?3x 2 ? 2 x ? t ? 0在x ? ? ?1,1? 上恒成立, ? t ? 3x 2 ? 2 x在x ? ? ?1,1? 上恒成立, t ? 5. ?
16、 (本小题满分 12 分)

如图,圆内接四边形ABCD的一条对角线将一对对角分成四个角?1、? 2、?3、? 4。 求证: ??1 ? ? 2 ? sin ?? 2 ? ?3 ? sin ??3 ? ? 4 ? sin ?? 4 ? ?1 ? ? 4sin ?1 sin ? 2 sin ? 3 sin ? 4 . sin
分析:由正弦定理知只要证:BD 2 ? AC 2 ? 4 AB ? BC ? AD ? CD. 由托列密定理知AC ? BD=AB ? CD+AD ? BC,? 只要证:

? AB ? CD+AD ? BC ?

2

? 4 AB ? BC ? AD ? CD. ? ? AB ? CD-AD ? BC ? ? 0
2

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

此式成立。故原式成立。
A

?2

?1
D

B

?3 ? 4

C

17、 (本小题满分 12 分)

如果一个数列?an ?的任意相邻三项ai ?1 ,ai ,ai ?1满足ai ?1 ? ai ?1 ? ai 2,则称该数列为 “对数性凸数列”,设正项数列a 0 ,a1 ,a 2 , , a n是“对数性凸数列”,求证: ? ? ? 1 n ? ? 1 n ?1 ? ? 1 n ?1 ? ? 1 n ? n ? 1 ? ai ? ? n ? 1 ? a j ? ? ? n ? ai ? ? n ? 1 ? a j ? i ?0 j ?1 j ?1 ? ?? ? ? i ?0 ? ? ?
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

分析: ?

? ? n 2 ? 1? ? a0 ? a1 ? ? ? an ?1 ?? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? ? n 2 ? 1? an ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? ? a0 ? a1 ? ? ? an ?1 ?? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? ? n 2 ? 1? a0 an ? 0 ? ? a0 ? an ?? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? n 2 ? 1? a0 an ? 0
2

1 1 ? a0 ? a1 ? ? ? an ?? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? 2 ? a0 ? a1 ? ? ? an ?1 ?? a1 ? a2 ? ? ? an ? n ?1 n 2 2 ? n ? a0 ? a1 ? ? ? an ?1 ?? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? n an ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ?
2

左边 ? 2 a0 an 2 a1an ?1 ? 2 a2 an ? 2 ? ? ? 2 a1an ?1 ? 2 a2 an ? 2 ? ? ? ? n 2 ? 1? a0 an
2

?

? ?

?

? ??

?a 0 ? a 2 ? a12 ? 2 ?a1 ? a 3 ? a 2 2 ? a i ?1 ? a i ?1 ? a i ? ? ? a0 an ? a1an ?1 ? a2 an ? 2 ? ? ?? ?a ? a ? a 2 n ?1 ? n?2 n ? ? ?? ? 2 a0 an ? ? n ? 1? a0 an ? ? n ? 1? a0 an ? 0, 故原式成立。
2

18、 (本小题满分 14 分)某建筑物内一个水平直角型过道如图所示,两过道的宽度均为 3 米, 有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道,若该设备水平截面矩形的宽为 1 米, 长为 7 米,试问:该设备能否水平移进直角型过道?(AB=7 米,BC=1 米)

3m
3m

D A M

Q A

D M F C

C O B

3m
O

3m
P

B

分析:如图,建立直角坐标系。

x y 设AB的方程为 ? ? 1, ? a 2 ? b 2 ? 49, 设直线OM交CD于F, a b BC 7 7 只要判断 OF max ? OM=3 2。 BP= ? ? , AQ ? , sin ?P b a x y ab ? 7 ? CD的方程为: ? ? 1 ? xF ? y F ? , 7 7 a?b a? b? b a 2 t ? 49 设t=a ? b ? ab ? , t=a ? b ? 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 7 2 2 t 2 ? 49 ?7 ab ? 7 t 35 35 63 ? OF ? 2 ? ? 2? 2 ? ? ? 7? ? ? 3 2. a?b t 14 14 2 2t ? 不能通过。

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

19、 (本小题满分 14 分) 设有 2009 个人站成一排,从第一名开始 1 至 3 报数,凡报到 3 的就退出队伍,其余的向前靠 拢站成新的一排,再按此规则继续进行,直到第 p 次报数后只剩下 3 人为止,试问最后剩下 3 人最初在什么位置? 分析:易知最后剩下的 3 人中前 2 人分别为最初的第 1 名和第 2 名。 设第 3 人是最初的第 k 名。 用下面的方法可得 k=1600。

每次减去该数的三分之一的整数部分: 2009-669 ? 1340-446 ? 894-298 ? 596-198 ? 398-132 ? 266 -88 ? 178-59 ? 119-39 ? 80-28 ? 54-18 ? 36-12 ? 24 -8 ? 16-5 ? 11-3 ? 8-2 ? 6-2 ? 4-1 ? 3, p ? 17, ? 从后开始每次加上前次被删去的个数。 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 2 ? 5 ? 5 ? 3 ? 8 ? 8 ? 4 ? 12 ? 12 ? 6 ? 18 ? 18 ? 9 ? 27 ? 27 ? 14 ? 41 ? 41 ? 21 ? 62 ? 62 ? 31 ? 93 ? 93 ? 47 ? 140 ? 140 ? 70 ? 210 ? 210 ? 105 ? 315 ? 315 ? 158 ? 473 ? 473 ? 237 ? 710 ? 710 ? 355 ? 1065 ? 1065 ? 533 ? 1598 ? k ? 1598 ? 2 ? 1600.
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m


更多相关文档:

2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题

2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题隐藏>> 2009 年湖南省高中数学竞赛 A 卷试题 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分...

2006年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案

2009年湖南省高中数学竞赛... 6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...2006 年湖南省高中数学竞赛试卷 A 及答案考生注意:1,本试卷共三大题(16 个小...

2009年湖南省高中生物奥赛初赛试卷及答案

2009年湖南省高中生物奥赛初赛试卷及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2009 年湖南...题 1 分,共 40 分) 1.下列生物体内物质中,基本组成单位相同的一组是 A....

2009年湖南高中数学竞赛A卷

2009 年湖南省高中数学竞赛 A 卷试题一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 )...

2015年湖南省高中数学竞赛试卷A

2015年湖南省高中数学竞赛试卷A_高中教育_教育专区。2015 年湖南省高中数学竞赛(A 卷)(2015-06-27) 一、选择题(每个 5 分,共 6 题) 1.将选手的 9 个...

2009年全国高中数学联赛加试--试题参考答案及评分标准(A卷)

2009 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,...

2008年湖南省高中数学竞赛试题A卷

竞赛试题竞赛试题隐藏>> 2008 年湖南省高中数学竞赛试题 (A 卷)与答案 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项...

2011年湖南省高中数学竞赛试卷A卷

2011 年湖南省高中数学竞赛试卷 A 卷注意事项:1、首先填写所在县(市)学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3、本试卷共 14 题,满分 150 分 题...

湖南省2013年高中数学竞赛试题(A卷)及其解答.doc

湖南省2013年高中数学竞赛试题(A卷)及其解答.doc_学科竞赛_高中教育_教育专区。...命题得证. 题源:(2009 年中国科技大学自主招生)2008 个白球和 2009 个黑球...
更多相关标签:
湖南省力学竞赛试题 | 2016湖南省高中生竞赛 | 湖南省高中物理竞赛 | 高中语文知识竞赛试题 | 高中物理竞赛试题 | 高中化学竞赛试题 | 高中英语竞赛试题 | 高中生物竞赛试题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com