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韶关市2012届高三第二次调研考试(数学理)


广东省韶关市 2012 届高三下学期第二次调研考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔

作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 i ? (1 ? ai) 是纯虚数,则实数 a 的值是( )

A. 1

B. ?1

C. 0

D. 0 或 ?1

2.已知集合 A ? {x | x | ? 2, x ? R } , B ? {x |

x ? 2, x ? Z } ,则 A ? B ? ( )

A. (0,2)
3.设 a ? 2
2 5

B. [0,2]

C. {0, 2}

D. {0,1,2}

. , b ? 2.50 , c ? ( 1 ) 2.5 ,则 a, b, c 的大小关系是(C ) 2 A. a ? c ? b B. c ? a ? b C. a ? b ? c D.
4.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

B. 3 C 6 D. 2 ? ? 1 1 5.设向量 a ? (1, 0) , b ? ( , ) ,则下列结论正确的是 ( 2 2

A.

)

? ? A. a ? b

? ? 2 B. a ? b ? 2

? ? C. a ∥ b

D.

与b

?

垂直 6.执行如图 1 所示的程序框图后,输出的值为 5 ,则 P 的取值范围( )

图1

A.

7 15 15 B. P ? ?P? 8 16 16

C.

7 15 3 7 D. ? P ? ?P? 8 16 4 8

7. 下列四个判断: ①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m, n ,某次测试数学平均分分别是 a, b ,则这两 个班的数学平均分为

a?b ; 2

② 10 名工人某天生产同一零件, 生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其平均数 为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有 c ? a ? b ; ③从总体中抽取的样本 ( x1 , y 2 ), ( x 2 , y 2 ),? , ( xn , yn ), 若记 x ? 归直线 y = bx ? a 必过点( x, y ) ④已知 ? 服从正态分布 N (0 , ? ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) ? 0.2
2

1 n 1 n xi , y ? ? yi ,则回 ? n i ?1 n i ?1

其中正确的个数有: ( A. 0 个

) D. 3 个

B. 1 个 C. 2 个

1 1 ?1, x ? 0 sgn( ? x) ? 1 sgn( x ? ) ? 1 ? 2 2 8. 定义符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0 ,设 f ( x) ? ? f1 ( x) ? 2 2 ? ?1, x ? 0 ?
1 1 ? f 2 ( x) , x ? [0,1] ,其中 f1 ( x) = x ? , ? f 2 ( x) = 2(1 ? x) , 若 f [ f (a)] ? [0, ) ,则实数 a 的 2 2
取值范围是( )

1 A. (0, ] 4

1 1 B. ( , ) 4 2

1 1 C. ( , ] 4 2

3 D. [0, ] 8

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.. 已知 A 是单位圆上的点,且点 A 在第二象限,点 B 是此圆与 x 轴正半轴的交点,记

?AOB ? ? ,

若 点

A 的 纵 坐 标 为

3 . 则 s i? n _____________; ? 5

tan(? ? 2? ) ? _______________.
10 . 以 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 为 圆 心 , 且 被 y 轴 截 得 的 弦 长 等 于 2 的 圆 的 方 程 为
2

__________________. 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M ? x, y ? ,则点 M 取自阴 影部分的概率为 __________ __ .

?x ? y ? 5≥ 0 ? 12.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 0 ,则 z ? 2x ? 4 y 的最小值是_________. ?y ≤0 ?

13.设 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,若不等式 f ( x) ?

a ? 1 ? 2a ? 1 a

对任意实数 a ? 0 恒成立,则

x 取值集合是_______________________.
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如 图 , AB 是 圆 O 的 直 径 , AD ? DE , AB ? 8, BD ? 6 , 则

AD ? AC

;

15.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 方程是 ?

?x ? 1? t , (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? y ? t ?1

标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 1 ,则圆 C 上的点到直线 l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列. (1)求数列 {an } 通项公式; (2)设 bn ? an ? n ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 17.(本小题满分 14 分) 有一个 3×4×5 的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成 60 个 1×1×1 的小正 方体,从这些小正方体中随机地任取 1 个,设小正方体涂上颜色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 14 分) 如图 5(1)中矩形 ABCD 中,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , MN 分别为 AD 和 BC 的中点, 对角线 BD 与 MN 交于 O 点, MN 把矩形 ABNM 折起, 沿 使平面 ABNM 与平面 MNCD 所 M ? M 成角为 60 ,如图 5(2). A D (1) 求证: BO ? DO ; O B N C O N B A C

D

(2) 求 AO 与平面 BOD 所成角的正弦值.

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 三个内角 A ,B , 的对边分别为 a , , , C b c 其中 c ? 2 , 且 (1)求证: 是直角三角形;

cos A b 3 ? ? cos B a 1
P

C

B
(2)如图 6,设圆 求 ?PAC 面积最大值. 图6 过 三点,点 ︿ 位于劣弧AC上,

A

20.(本小题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中, 动点 P 与定点 F (1,0) 的距离和它到定直线 x ? 2 的距离之比是 设动点 P 的轨迹为 C1 , Q 是动圆 C2 : x ? y ? r (1 ? r ? 2) 上一点.
2 2 2

2 , 2

(1)求动点 P 的轨迹 C1 的方程;

(2)设曲线 C1 上的三点 A( x1 , y1 ), B (1,

2 ), C ( x2 , y2 ) 与点 F 的距离成等差数列,若线段 2

AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k ;
(3)若直线 PQ 与 C1 和动圆 C2 均只有一个公共点,求 P 、 Q 两点的距离 PQ 的最大值. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx ,当 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得极大值. (1)求实数 m 的值;

(2)已知结论:若函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx 在区间 (a, b) 内导数都存在,且 a ? ?1 ,则 存在 x0 ? ( a, b) ,使得 f ?( x0 ) ? 数 g ( x) ?

f ( b) ? f ( a ) .试用这个结论证明:若 ?1 ? x1 ? x2 ,函 b?a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,则对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) ; x1 ? x2

(3)已知正数 ?1 , ?2 , L , ?n ,满足 ?1 ? ?2 ? L ? ?n ? 1 ,求证:当 n ? 2 , n ? N 时,对 任 意 大 于

?1 , 且 互 不 相 等 的 实 数

x1 , x2 ,L , xn

, 都 有

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? L ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? L ? ?n f ( xn ) .

2012 届高考模拟测试数学试题(理科) 参考答案和评分标准
一.选择题:CACBD ABB

3 24 2 2 (2 分) (3 分) 10. ( x ? 1) ? y ? 2 5 7 3 3 3 13. (??, ? ] ? [ , ??) 14. 15. 2 ? 1 2 2 4
二填空题:9.

11.

1 3

12. ?15

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分) 解: (1)设数列 ? an ? 的公比为 q ,……………1 分 若 q ? 1 ,则 S1 ? a1 ? 1 , 2S2 ? 4a1 ? 4 , 3S3 ? 9a1 ? 9 ,故 S1 ? 3S3 ? 10 ? 2 ? 2S2 ,与 已知矛盾,故 ,………………………………………………2 分

从而得

,………………………………………………4 分

由 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,得 S1 ? 3S3 ? 2 ? 2S2 , 即1 ? 3 ?

1 ? q3 1 ? q2 ? 4? , 1? q 1? q

解得 q ?

1 ……………………………………………5 分 3
n ?1

所以 an ? a1 ? q

?1? ?? ? ?3?

n ?1

.………………………………………………6 分

1 3 所以 Tn ? (a1 ? 1) ? (a2 ? 2) ? ? ? (an ? n)
? Sn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ?

(2)由(1)得, bn ? an ? n ? ( )n ?1 ? n ,………………………………7 分

b1 (1 ? q n ) (1 ? n)n ………………………………10 分 ? 1? q 2

1 1 ? ( )n 2 n ?1 3 ? (1 ? n)n ? 3 ? n ? n ? 3 . ……………………………12 分 ? 1 2 2 1? 3 17.(本题满分 12 分)
( 1 ) 60 个 1×1×1 的 小 正 方 体 中 , 没 有 涂 上 颜 色 的 有 … (3 分) 6 个 ,

P(? ? 0) ?

6 1 ? 60 10

(2)由(1)可知

P(? ? 0) ?
分布列

1 11 2 2 P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 10 ; 30 ; 5; 15

… (7 分)

?
p

0

1

2

3

1 10

11 30

2 5

2 15
… (10 分) …(12 分)

E ? =0×

1 2 2 11 +1× +2× +3× = 10 5 15 30

18(本题满分 14 分) A M D

M

D A C

O B N C

O N

B

解: (1)由题设,M,N 是矩形的边 AD 和 BC 的中点,所以 AM

MN, BC ? MN,

折叠垂直关系不变,所以∠AMD 是平面 ABNM 与平面 MNCD 的平面角,依题意,所以∠ AMD=60o, ………………………………………………………………………………………………………2分 由 AM=DM,可知△MAD 是正三角形,所以 AD= 2,在矩形 ABCD 中,AB=2,AD= 2 2 ,所以, BD= 6 ,由题可知 BO=OD= 3 ,由勾股定理可知三角形 BOD 是直角三角形,所以 BO⊥ DO ……………………………………………………………………………………… 5 分 解(2)设 E,F 是 BD,CD 的中点,则 EF ? CD, OF ? CD, 所以,CD ? 面 OEF, OE ? CD 又 BO=OD,所以 OE ? BD, OE ? 面 ABCD, OE ? 面 BOD , 平面 BOD⊥平面 ABCD 过 A 作 AH⊥BD,由面面垂直的性质定理,可得 AH⊥平面 BOD,连结 OH ,…………………… 8 分 所以 OH 是 AO 在平面 BOD 的投影,所以∠AOH 为所求的角,即 AO 与平面 BOD 所成 角。……………………11 分 AH 是 RT△ABD 斜边上的高,所以 AH=

2 3 ,BO=OD= 3 , 3

M

D A H C

所以 sin∠AOH=

2 (14 分) 3


O N

方法二:空间向量:取 MD,NC 中点 P,Q,如图建系,

Q(0,0,0) ,B(

6 2 2 ,0,0) ,D(0, ,2) ,O(0, ? ,1) 2 2 2

B

所以 BO ? ( ? 所以 BO ?

??? ?

???? 6 2 ,? ,1) DO ? (0, ? 2 , ?1) , 2 2
0,即 BO⊥DO(5 分)

??? ?

(2)设平面 BOD 的法向量是 n ? ( x, y, z ) ,可得 ?

?

6 2 x? y + z =0 2 2

M

P D A Q C

? ? 2 y ?z =0,令 y ? 2 可得 x ? ? 6, z ? ?2 所以 n ? (? 6, 2, ?2)
又 AO ? ( ?

O N

????

6 2 ,? , ?1) , 2 2

设 AO 与平面 BOD 所成角为 ?

???? ??? 2 ? sin ? ? cos ? AO, n ? = (14 分) 3

B

19.(本题满分 14 分) (1)证明:由正弦定理得

cos A sin B ,…………………………………2 分 ? cos B sin A

整理为 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2B ………………………3 分 又因为 0 ? 2 A, 2B ? 2? ∴ 2 A ? 2B 或 2 A ? 2B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ?

?
2

……………6 分



b 3 , ? a 1

∴ A ? B 舍去,故 A ? B ? 可知 C ?

?
2

由 A? B ?

?
2

?
2

,∴

是直角三角形……………6 分 ……………7 分

(2)由(1)及 c ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 3 , 设 ?PAB ? ? (

?
6

?? ?

?
2

) ,则 ?PAC ? ? ?

?
6



……………8 分

在 Rt ?PAB 中, PA ? AB ? cos? ? 2cos?

所以

S?PAC ?

1 ? 1 ? PA ? AC ? sin(? ? ) ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? sin(? ? ) 2 6 2 6

? 3 ? cos ? ? sin(? ? ) 6
? 3 cos ? (sin ? ?

?

……………10 分

3 1 3 3 ? cos ? ? ) ? cos ? sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2

3 3 1 ? cos 2? ? sin 2? ? ? 4 2 2 ? 3 3 1 3 ( sin 2? ? cos 2? ) ? 2 2 2 4

?

3 ? 3 sin(2? ? ) ? 2 6 4

………………………12 分

因为

?
6

?? ?

?
2

所以

?
6

? 2? ?

?
6

?

5? , 6
3 .…………………………………14 分 4

当 2? ?

?
6

?

?
2

,即 ? ?

?
3

时, S ?PAC 最大值等于

20.(本题满分 14 分)

( x ? 1) 2 ? y 2 2 ? 解: (1)由已知,得 ,…………………………1 分. 2? x 2

x2 将两边平方,并化简得 ? y 2 ? 1, 2
故轨迹 C1 的方程是

…………………………3 分.

x2 ? y 2 ? 1。 2

………………4 分.

(2)由已知可得 AF ?

2 2 2 (2 ? 1) , CF ? (2 ? x2 ) , (2 ? x1 ) , BF ? 2 2 2 2 2 2 (2 ? x1 ) ? (2 ? x2 ) ? 2 ? (2 ? 1) , 2 2 2
…………………………5 分.

因为 2 BF ? AF ? CF ,所以 即得 x1 ? x2 ? 2 , ①

故线段 AC 的中点为 (1,

y ?y x ?x y1 ? y2 ) ,其垂直平分线方程为 y ? 1 2 ? ? 1 2 ( x ? 1) , ② 2 y1 ? y2 2
…………………………6 分.

x12 x2 2 2 ? y1 ? 1 , ? y2 2 ? 1 ,两式相减, 因为 A, C 在椭圆上,故有 2 2
得:

x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? 0 2



将①代入③,化简得 ?

x1 ? x2 2( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 , y1 ? y2 x1 ? x2

④ ………………………7 分.

将④代入②,并令 y ? 0 得, x ?

1 1 ,即 T 的坐标为 ( , 0) 。………………………8 分. 2 2
………………………9 分.

所以 k BT

2 ?0 2 ? ? 2. 1 1? 2

设 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? ,直线 PQ 的方程为 y ? kx ? m

因为 P 既在椭圆

上又在直线

上,从而有

将(1)代入(2)得 由于直线 PQ 与椭圆
2 2
2

………10 分. 相切,故 ? ? ? 4km ? ? 4 ? 2 m ? 1 2k ? 1 ? 0
2 2

?

??

?

从而可得 m ? 1 ? 2k , x1 ? ?

2k m

(3)

同理,由 Q 既在圆 C2 上又在直线 PQ 上,可得

m 2 ? r 2 ?1 ? k 2 ? , x2 ? ?

kr 2 m

(4)……………………12 分

k ?2 ? r2 ? r 2 ?1 由(3)(4)得 k ? 、 , x2 ? x1 ? m 2 ? r2
2

所以 PQ ? ? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? 1 ? k
2 2 2

?

2

?? x

2

? x1 ?

2

2 2 ? 2 ? r 2 ? ? r 2 ?1 m2 k ? 2 ? r ? ? 2 ? ? r m2 r2 2 ? r2 2 2

? 2 ? r ?? r ?
2

2

? 1?

r

2

? 3 ? r2 ?

2 ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 …………………………13 分. r2

即 PQ ?

2 ? 1 ,当且仅当 r 2 ? 2 时取等号,

故 P 、 Q 两点的距离 PQ 的最大值 2 ? 1 . …………………………14 分. 21.(本题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ?

1 x . ? m . 由 f ?(0) ? 0 ,得 m ? ?1 ,此时 f ?( x) ? ? x ?1 x ?1

当 x ? (?1,0) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (?1,0) 上单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减.

?函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,故 m ? ?1 .…………………………3 分
(2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 分 则 h?( x) ? f ?( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,…………………4 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2

Q 函数 f ( x) 在 x ? ( x1 , x2 ) 上可导,?存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,
使得 f ?( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2

Q f ?( x) ?

x0 ? x 1 1 1 ? ? ? 1 ,? h?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? x ? 1 x0 ? 1 ( x ? 1)( x0 ? 1) x ?1

Q 当 x ? ( x1 , x0 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增,? h( x) ? h( x1 ) ? 0 ; Q 当 x ? ( x0 , x2 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减,? h( x) ? h( x2 ) ? 0 ;
故对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) .…………………………8 分 (3)用数学归纳法证明. ①当 n ? 2 时, Q ?1 ? ?2 ? 1 ,且 ?1 ? 0 , ?2 ? 0 ,

? ?1 x1 ? ?2 x2 ? ( x1 , x2 ) ,?由(Ⅱ)得 f ( x) ? g ( x) ,即

f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) (?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) , x1 ? x2
…………………………9 分

?当 n ? 2 时,结论成立.

② 假 设 当 n ? k ? 2 ) 结 论 成 立 , 即 当 ?1 ? ?2 ? L ? ?k ? 1 时 , 时 ( k

f (?1 x1 ? 2 x ?2 ? L

? ? k ) ? ? ( f )x1 ? ? x k 1


2

( L )x? f 2

k

? . k当 n ?)k ? 1 时, ? (f x 设正数

?1 , ?2 ,L , ?k ?1



?1 ?

?2L ?

k?

? ?1 1 ,? 令

m ? ?1 ? ?2 ? L ? ?k



?1 ?

?1
m

, ?2 ?

?2
m

, L , ?k ?

?k
m

, 则 m ? ?k ?1n ? 1 ,且 ?1 ? ?2 ? L ? ?k ? 1 .

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? L ? ?k xk ? ?k ?1 xk ?1 ) ? f [m( ?1 x1 ? L ? ?k xk ) ? ?k ?1 xk ?1 ] ? mf ( ?1 x1 ? L ? ?k xk ) ? ?k ?1 f ( xk ?1 ) ? m?1 f ( x1 ) ? L ? m?k f ( xk ) ? ?k ?1 f ( xk ?1 ) ? ?1 f ( x1 ) ? L ? ?k f ( xk ) ? ?k ?1 f ( xk ?1 )
…………………………13 分

?当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 综上由①②,对任意 n ? 2 , n ? N ,结论恒成立. …………………………14 分


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