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江苏省2012届高三特长班数学二轮复习专练:三角函数(1)


高三特长班数学复习 三角函数一
一、任意角的三角函数的定义:在角 ? 的终边上任取点 P( x, y) ,设 OP ? r (r ? 0) 则 sin ? ?

y x y ; cos? ? ; tan ? ? r r x
π ? ? ? 0 ,则点 Q(cos ? , sin ? ) 位于( ) 2
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

三角函数在各象限的符号: 跟踪练习:若 ? A.第一象限

二、同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: sin x ? cos x ? 关于诱导公式 (1)诱导公式( k ? z )
2 2

sin x ? (2)倒数关系: cos x



函数

正弦

余弦

记忆口诀 函数名不变 符号看象限

2k? ? ?

sin ?
- sin ?

? ?? ?? ? ??
2? ? ?

cos? - cos?
- cos?

- sin ?

?
2

??

sin ?

?
2

??

cos?
- sin ? - cos?

函数名改变 符号看象限

3? ?? 2 3? ?? 2

(2)求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题, 具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值. (3)诱导公式解决常见题型 (A)求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角其他三角函数; (B)化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母. 跟踪练习:1. tan600°= 3.若 cos(2? ? ? ) ? 2.已知 ? ? ?

3 ?? ? , ? ? ,sin ? ? ,则 tan ? = 5 ?2 ?



5 ? 且 ? ? (? ,0), 则sin(? ? ? ) ? _________ 3 2 三、两角和与差及二倍角的三角函数 1 两角和与差的三角函数公式
1

sin(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?
2.二倍角公式

cos(? ? ? ) ?

sin 2? ? cos 2? ? tan 2? ?
3.降幂公式: 4.辅助角公式:

=

=

跟踪练习:1.已知 ? ? ( ? , ? ),sin ? ? 3 , 则 tan(? ? ? ) = 2 5 4 2. sin 155°cos35°- cos25°cos235°=____________.

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? = 3 ? 4 4. x ? ( ? , 0) , cos x ? ,则 tan 2 x ? ( 2 5 5. f ( x) ? sin x ? cos x =
3.已知 cos 2? ? 6. 3sin 2x ? cos 2x ? 0 7.设 tan(? ? ? ) ?



2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4 4 4 1 3 tan 8.若 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? ? ? _____. 5 5
9.已知向量 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ ), ? (Ⅰ)若 a⊥b,求 θ ; (Ⅱ)求|a+b|的最大值. 10.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与 y 单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为

?

2

?? ?

?

2



2 2 5 , 10 5
O

A B x

? (1) 求 tan( ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值。

四、三角函数的图像与性质 1.结合五点作图画出正弦函数 y ? sin x ( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x ( x ? R) 的图像,并填 空: (1)定义域:都是 R (2)值域:都是 对于 y ? sin x ,当 x= 时, y 取最 大值 1;当 x= 时, y 取最小值-1; 对于 y ? cos x ,当 x= 时, y 取最大值 1,当 x= 时, y 取最小值 -1。 (3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是
2

② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 4)单调性: 上单调递增,在 y ? sin x 在区间 减; y ? cos x 在 上单调递增,在区间 减, 。 (5)奇偶性与对称性:

单调递 上单调递

正弦函数 y ? sin x (x? R )是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称轴是直线

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

; 余 弦 函 数 y ? cos x( x ? R) 是 偶 函 数 , 对 称 中 心 是

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? 2 ? ? 2、正切函数 y ? tan x 的图象和性质:请画图像: ? (1)定义域: {x | x ? ? k? , k ? Z } 。 2
(2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:周期是 . (4)奇偶性与对称性:奇函数,对称中心是 ? (5)单调性:正切函数在开区间 ? ?

? k? ? , 0 ? ?k ? Z ? , ? 2 ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。 2 ? 2 ? 3、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0, ? 3? , ? , , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 2 2
①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个

这是作函数简图常用方法。 4.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: 单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标变为原来 的

1

坐标变为原来的 A 倍,得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;④函数 y ? A sin(? x ? ?) 图象 的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。 要特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移

?

,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵

|

? | 个单位, ?

5.研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将

间时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。 跟踪练习:1. f ? x ? ? cos ? ? x ?

y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 6?

?=


3

2.若函数 f ( x) ? sin x ?
2

1 π ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( )A.最小正周期为 的奇函数 2 2

B.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函 数 3.将函数 y ? sin 4 x 的图像向左平移 ( A、 ? )

? 个单位,得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图像,则 ? 等于 12
D、

? 12

B、 ?

?
3

C、

? 3

? 12

4.函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图像的两个相邻零点为 (? 且该函数的最大值为 2,最小值为-2,则该函数的解析式为( A、y ? 2 sin( )

?

,0) 和 ( , 0) , 2 6

?

x ? 3x ? x ? 3x ? ? ) B、y ? 2 sin( ? ) C、y ? 2 sin( ? ) D、y ? 2 sin( ? ) 2 4 2 6 2 6 2 4 5.若函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图像(部分)如下图所示,则 ? 和 ? 的取值是( ) ? ? 1 ? ? A、 ? ? 1, ? ? B、 ? ? 1, ? ? ? C、 ? ? , ? ? D、 ? ? 1, ? ? ? 3 3 2 6 6

6. f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R ) .(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 的最大值,并指出此时 x 的值. 7..设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3 sin 2x .求 f ( x ) 的最大值及最小正周期. 8..已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调区间 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

(3)作出 f ( x ) 在一个周期内的图像

( 9.、设向量 a ? (sin x, cos x) ,b ? (sin x, 3sin x) ,x ? R ,函数 f ( x) ? a ? a ? 2b) .
(1) 求函数 f ( x ) 的最大值与单调递增区间; (2) 求使不等式 f(x)>=2 成立的 x 的取值集合.

4


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