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高中数学 第二章 第7讲 函数的图象及其应用


第 7 讲 函数的图象及其应用

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.把函数 f(x)=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位 长度,所得图象对应的函数解析式是________. 解析 把函数 f(x)=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位长度,得 y=[(x+1) -2]2+2=(x-1)2+2,再向上平移 1 个单位长度,得 y=(x-1)2+2+1=(x -1)2+3. 答案 y=(x-1)2+3. 2.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象上有两点 P(2,y1)与 Q(1,y2),若 y1- y2=2,则 a=________. 解析 y1=a2,y2=a,于是 a2-a=2,得 a=2(a=-1 舍). 答案 2 3.观察相关的函数图象,对下列命题的真假情况进行判断: ①10x=x 有实数解;②10x=x2 有实数解;③10x>x2 在 x∈(0,+∞)上恒成立; ④10x=-x 有两个相异实数解. 其中真命题的序号为________. 解析 将上述①,④两个问题转化为指数函数 y=10x 的图象与直线 y=x(或 y =-x)的交点问题来处理;将②,③两个问题转化为指数函数 y=10x 的图象 与二次函数 y=x2 的图象的交点问题来处理. 答案 ②③ 4.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x) 的图象如图,则不等式 f(x)<0 的解集是________. 解析 利用函数 f(x)的图象关于原点对称.∴f(x)<0

的解集为(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5) 5.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则 函数 y=f(x)与 y=log5x 的图象交点的个数为________. 解析 根据 f(x+1)=f(x-1),得 f(x)=f(x+2),则函数 f(x)是以 2 为周期的函 数, 分别作出函数 y=f(x)与 y=log5x 的图象(如图), 可知函数 y=f(x)与 y=log5x 图象的交点个数为 4.

答案 4 6.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有正确命题的序号为________.
2 ?x +c ?x≥0?, 解析 ①f(x)=x|x|+c=? 2 ?-x +c?x<0?,

如图甲,曲线与 x 轴只有一个交点,所以方程 f(x)=0 只有一个实数根,正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数. ③当 c=0,b<0 时,
2 ?x +bx ?x≥0?, f(x)=x|x|+bx=? 2 ?-x +bx?x<0?.

如图乙,方程 f(x)=0 可以有三个实数根.

综上所述,正确命题的序号为①②.

答案 ①② 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.已知函数 f(x)=|x|(x-a),a>0. (1)作出函数 f(x)的图象; (2)写出函数 f(x)的单调区间; (3)当 x∈[0,1]时,由图象写出 f(x)的最小值. ?x?x-a?,x≥0, 解 (1)f(x)=? 其图象如图. ?-x?x-a?,x<0, (2) 由 图 知 , f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ( - ∞ , 0) 和 a? ?a ? ? ?2,+∞?;单调递减区间是?0,2?. ? ? ? ? a (3)结合图象知,当2>1,即 a>2 时, 所求最小值 f(x)min=f(1)=1-a; a 当 0<2≤1,即 0<a≤2 时, a2 ?a? 所求最小值 f(x)min=f?2?=- 4 . ? ? 8.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. 思维启迪 利用函数的图象可直观得到函数的单调性,方程解的问题可转化

为函数图象交点的问题.
2 ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞? 解 f(x)=? 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?

作出函数图象如图. (1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象,使两函数图象有四个不同的 交点(如图). 由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}.

探究提高 值等性质.

(1)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最

(2)利用函数图象可以解决一些形如 f(x)=g(x)的方程解的个数问题.

分层训练 B 级
的最大值是________.

创新能力提升

1.设 f(x)表示-x+6 和-2x2+4x+6 中较小者, 则函数 f(x)

解析 在同一坐标系中,作出 y=-x+6 和 y=-2x2 +4x+6 的图象如图所示, 可观察出当 x=0 时函数 f(x) 取得最大值 6. 答案 6 2.若直线 x=1 是函数 y=f(2x)的图象的一条对称轴,则 f(3-2x)的图象关于直 线________对称. 1 答案 x=2 3.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象如图所示.对 满足 0<x1<x2<1 的任意 x1,x2,给出下列结论: ①f(x1)-f(x2)>x1-x2; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③ f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ?. <f? 2 ? 2 ?

其中正确结论的序号是________. 解析 由 f(x2)-f(x1)>x2-x1, 可得 f?x2?-f?x1? >1, 即两点(x1, 1))与(x2, 2)) f(x f(x x2-x1

f?x1? f?x2? 的连线斜率大于 1,显然①不正确;由 x2f(x1)>x1f(x2)得 x > x ,即表示两 1 2 点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))与原点连线的斜率的大小,可以看出结论②正确;结 合函数图象,容易判断③的结论是正确的. 答案 ②③ 1 1 4.(2012· 淮安市模拟)若 m-2<x≤m+2(m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整

数, 记作{x}, 即{x}=m.给出下列关于函数 f(x)=x-{x}的三个命题: ①y=f(x) ? 1 1? 定义域为 R,值域为?-2,2?;②y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1;③y ? ? =f(x)在定义域上是增函数.其中正确命题的序号是________. 3 1 1 1 解析 取 m=-1,0,1,2,…,得 f(x)=x+1,-2<x≤-2;f(x)=x,-2<x≤2; 1 3 3 5 f(x)=x-1,2<x≤2;f(x)=x-2,2<x≤2,… 作出 f(x)=x-{x}的图象可知命题①②正确.

答案 ①② 1? ? 5.已知不等式 x2-logax<0,当 x∈?0,2?时恒成立,求实数 a 的取值范围. ? ?

解 由 x2-logax<0, 得 x2<logax. 设 f(x)=x2,g(x)=logax. 1? ? 由题意知,当 x∈?0,2?时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方,如图, ? ? 可知 ?0<a<1, ? ? ?1? ?1? ?f?2?≤g?2?, ?? ? ? ? ?0<a<1, ? 即??1?2 1 ??2? ≤loga2, ? ? ?

1 ?1 ? 解得16≤a<1.∴实数 a 的取值范围是?16,1?. ? ? 6.已知函数 f(x)=- a (a>0,a≠1). a+ a
x

1? ?1 (1)证明函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称; ? ? (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. (1)证明 1? ?1 函数 f(x)的定义域为 R,任意一点(x,y)关于点?2,-2?对称的点的 ? ?

坐标为(1-x,-1-y). 由已知,f(x)=- a , a+ a
x

则-1-y=-1+

a ax a a =- x .f(1-x)=- 1-x =- a =- x a+ a a+ a a + a ax+ a

a·x a ax =- x , a+ a·x a a+ a ∴-1-y=f(1-x). 1? ?1 即函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称. ? ? (2)解 由(1)知有-1-f(x)=f(1-x).

即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=f(-1)+f(2)=f(0)+f(1)=-1, ∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资 源见《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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