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100测评网浙江省温州中学高三2008学年第一学期期末考试数学试卷


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浙江省温州中学高三 2008 学年第一学期期末考试数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题

,每小题 5 分共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项 是正确的) 1.若非空集合 A、B、U 满足 A ? B ? U, A ? B ? ? ,则称 (A, B) 为 U 的一个分割,则集合

U ? {1,2,3} 的不同分割有
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个





D. 8 个
( )

2.已知正态分布函数 f ( x ) ?

1 2?

e

?

( x ?1) 2 2

,则

A. f ( x ) 在 R 上单调递减. C. f (1 ? x) ? f (x) ? 0

B. y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称. D. f (2 ? x) ? f (x) ? 0
( )

3.下列命题中,条件 M 是条件 N 的充要条件的为

A. M:a ? b, N:ac2 ? bc 2 C. M:a ? b ? 0, c ? d ? 0, N:ac ? bd

B. M:a ? b, c ? d, N:a ? d ? b ? c D. M: |a ? b?| | a ?|

| b : |, N? ab

0

4 .若 m、n 是两条不同的直线, ?、?、? 是三个不同的平面,则下列命题中是真命题的是 ( )

A. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ?
C. 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ?
5.已知 f ( x ) ? ?

B. 若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, m//n ,则 ? // ?
D. 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?


? (3a ? 1) x ? 4 a , x ? 1 是 (??,??) 上的减函数,则 a 的取值范围为( , x ?1 ?loga x
1 B. ( 0, ) 3

A. (0,1)
数为

C. [ , )

1 1 7 3

1 D. [ ,1) 7
( )

6.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 的值一输出的 y 的值相等,则 x 的可能值的个

A. 1 个
7.设椭圆

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

x 2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ,右焦点 F(c,0) ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个 2 a b
( )

实数根分别为 x1 , x 2 ,则点 P(x1 , x 2 )

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A. 必在圆 x 2 ? y 2 ? 1 内 B. 必在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上
开始 输入x

C. 必在圆 x 2 ? y 2 ? 1 外
D. 与 x ? y ? 1 的关系与 e 有关
2 2 2 2 n n 8 .已知复数 Z ? iC1 n ? i Cn ? ? ? i Cn


x?2



y ? x2


y ? 2x ? 3

x?5


1 x

(其中 i 为虚数单位) ,以下判断中正确的 为( )

y?

A. 不 存 在 n ? N * , 使 Z 为 纯 虚 数 B. 对任意的 n ? N * , Z 为实数
输出y 结束

C. 存在无限个 n ? N * ,使 Z 为实数
D. 不存在 n ? N * ,使 Z 为实数

第 6 题图

9.已知 OA ? (3,1) , OB ? (2,4) , | BC |? 1 ,点 C 在直线 OA 上的投影为 D ,则 | OD | 的最大 值为 ( )

A. 10 ? 10

B. 10 ? 10

C. 10 ? 1

D. 10 ? 1

? a 11 ? 10. 由 9 个正数组成的矩阵 ? a 21 ?a ? 31

a 12 a 22 a 32

a 13 ? ? a 23 ? 中, 每行中的三个数成等差数列, 且 a 11 ? a 12 ? a 13 , ? a 33 ?

a 21 ? a 22 ? a 23 , a 31 ? a 32 ? a 33 成等比数列,给出下列判断:①第 2 列 a 12 , a 22 , a 32 必成等比
数列;②第 1 列 a 11 , a 21 , a 31 不一定成等比数列;③ a 12 ? a 32 ? a 21 ? a 23 ;④若 9 个数之和等 于 9,则 a 22 ? 1.其中正确的个数有 ( )

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

3n ? 7 (n ? N * ) ,请判断命题 P:?n ? N* , a n ? N 的真假_____. n ?1 1 12. ?ABC 中, a、b、c 分别为 ?A、?B、?C 的对边, CcosB ? bcosC ,且 cosA ? ,则 3 sinB ? _________.
11.已知数列 {a n }, a n ?

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13.已知正三棱锥 P ? ABC 的四个顶点在体积等于 36? 的球 O 的表面上.若 PA、PB、PC 两 两互相垂直,则球心 O 到平面 ABC 的距离等于__________. 14.已知函数 f (x) ? x 3 ? x ,对任意的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f (x) ? 0 恒成立,则 x 的取值范 围为___________. 15. 在集合 {x ? N* | x ? 10} 中取三个不同的数 a、b、c , 则满足 12 ? a ? b ? c ? 30 的等差数列

a、b、c ,有____________个.
16. B 地在 A 地的正东方向 4 ( km) 处, C 地在 B 地的北偏东 45 的 2 2 ( km) 处.有一直线型 的马路 l 过 C 地且与线段 BC 垂直,现欲在马路 l 上造一个车站 P .造一公里马路的费用为 5(万 元) ,则修筑两条马路 PA、PB 的最低费用为__________(万元) . 17.已知集合 M ? {( x, y) | y ? 2x且y ?
?

1 x ? 0} , 2

N ? {( x, y) | (x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? (4 ? a) 2 },若 N ? M ,则 a 的取值范围为________.
三、简答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 18. (本题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 2cos x ? 2asinxcosx-1 的图像关于直线 x ?

?
8

对称.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)把函数 y ? f ( x ) 的图像按向量 a 平移后与函数 g(x) ? 坐标.

2sin2x-1 的图像重合,求: a 的

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19. (本题满分 14 分)已知盒子 A 中有 m 个红球与 10 ? m 个白球,盒子 B 中有 10 ? m 个红球与 . m 个白球(两个盒子中的球形状、大小都相同) (Ⅰ)分别从 A、B 中各取一个球, ? 表示红球的个数. (ⅰ)请写出随机变量 ? 的分布规律,并证明 E? 等于定值; (ⅱ)当 D? 取到最小值时,求 m 的值. (Ⅱ) 在盒子 A 中不放回地摸取 3 个球. 事件 A : 在第一次取到红球后, 以后两次都取到白球. 事 件 B :在第一次取到白球后,以后两次都取到红球,若 P(A) ? P(B) ,求 m 的值.

20. (本题满分 15 分)如下组合体由直三棱柱 ABC ? A1B1C1 与正三棱锥 B ? ACD 组成,其中,

AB ? BC .它的正视图、俯视图、从左向右

A D B C B1

A1

的侧视图的面积分别为 2 2 +1,2 2 +1,1 . (Ⅰ)求直线 CA1 与平面 ACD 所成角的正 弦;

C1

(Ⅱ) 在线段 AC1 上是否存在点 P , 使 B1P ?

平面 ACD .若存在,确定点 P 的位置;若不存在,说明理由.

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21. (本题满分 15 分)已知点 F(1,0) ,直线 l:x ? ?1 ,动点 P 到点 F 的距离等于点 P 到直线 l 的 距离,动直线 PO 与直线 l 交于动点 N ,过 N 且平行于 x 轴的直线与动直线 PF 交于动点 Q . (Ⅰ)求证:动点 P、Q 在同一条曲线 C 上运动; (Ⅱ)曲线 C 在点 P 处的切线与直线 l 交于点 R , M 为线段 P Q 的中点. (ⅰ)求证:直线 RM // x 轴; (ⅱ)若直线 RM 平分 ?PRF ,求直线 P Q 的方程.

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ax ?
2

x ? lnx (其中 a 为常数, e 为自然对数的底数) . e

(Ⅰ)任取两个不等的正数 x 1、x 2 ,

f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 恒成立,求: a 的取值范围; x1 ? x 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时,求证: f ( x ) ? 0 没有实数解.

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温州中学高三 2008 学年第一学期期末考试 数 学 试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 题号 答案 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 14、 12、 15、 13、 16、 17、 8 9 10

三、简答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本题满分 14 分)

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19. (本题满分 14 分)

20、 (本题满分 15 分)

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21、 (本题满分 15 分)

22、 (本题满分 14 分)

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温州中学高三 2008 学年第一学期期末考试 数 学 试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 B 1 B 2 D 3 D 4 C 5 C 6 A 7 8 D C 9 C 10

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 假 12、

6 3
34 16、

13、

1

14、 (-2,

2 ) 3

15、

20 5

17、

[ 5?

5 ,? 5

5]

三、简答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? 2cos2 x ? 2asinxcosx-1 的图像关于直线 x ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)把函数 y ? f ( x ) 的图像按向量 b 平移后与函数 g(x) ? 2sin2x+1 的图像重合,求:向 量 b 的坐标.

?
8

对称.

解(1):f ( x) ? cos 2 x ? a sin 2 x.......2分 ? 1 ? a 2 sin(2 x ? ? ).............................4分

? 2 f ( ) ? ? 1 ? a2 ? (a ? 1)...............6分 8 2 a ? 1.......................................................8分
另解:f (0) ? f ( ) ? 2 ? 1 ? a ? a ? 1 4
(2) f ( x) ?

?

f ( x) 向右移动

? b ? ( ,1) …………………………………….14 分 8 19. (本题满分 14 分)已知 A 、 B 两盒中都有红球、白球,且球的形状、大小都相同。盒子 A 中 有 m 个红球与 10 ? m 个白球,盒子 B 中有 10 ? m 个红球与 m 个白球.
(Ⅰ)分别从 A、B 中各取一个球, ? 表示红球的个数. (ⅰ)请写出随机变量 ? 的分布列,并证明 E? 等于定值;

?

? 个单位向上移动 1 个单位即可得 g ( x) 图象 4

2 sin(2 x ? ) ? 2 sin 2( x ? ) ------- g(x) ? 2sin2x+1 4 8

?

?

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(ⅱ)当 D? 取到最大值时,求 m 的值. (Ⅱ) 在盒子 A 中不放回地摸取 3 个球. 事件 E : 在第一次取到红球后, 以后两次都取到白球. 事 件 F :在第一次取到白球后,以后两次都取到红球,若 P(E) ? P(F) ,求 m 的值. 解: (Ⅰ)

?
P

0

1

2

(10 ? m) m 100

(10 ? m)2 ? m2 100

(10 ? m) m 100

…………………………………………………………………………………….4 分

? E? ? 1?

(10 ? m)2 ? m2 (10 ? m)m ? 2? ? 1 ………………………………7 分 100 100

∴ D? ?

(10 ? m)m (10 ? m)m ?(m ? 5) 2 ? 25 ? ? 100 100 50

?m ? 5时D? 取最大值 ……………………………………………………….10 分
(Ⅱ) P ? E ? ?
1 2 Cm C10 (10 ? m)(9 ? m) ?m ? ............................................11分 1 2 CmC9 72 2 1 Cm C10?m m(m ? 1) ? ......................................................12分 1 C10?mC92 72

P?F ? ?

P( E ) ? P( F ) ? m ? 5........................................................................................14分
20、 (本题满分 15 分)如右放置在水平面上的组 合 体 由 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 与 正 三 棱 锥

A D B C B1

A1

B ? ACD 组成, 其中,AB ? BC . 它的正视图、
俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为

2 2 ? 1 , 2 2 ? 1 ,1 .
(Ⅰ)求直线 CA1 与平面 ACD 所成角的正弦;

C1

(Ⅱ)在线段 AC1 上是否存在点 P ,使 B1P ? 平面 ACD .若存在,确定点 P 的位置;若不存在, 说明理由.

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解:(1)设BA ? BC ? BD ? a, BB1 ? b 1 ? ab ? a 2 ? 2 2 ? 1 ? ? ? ?a ? 2 2 由条件 ? ?? ( . 3分) ? ?b ? 2 ? 1 a2 ? 1 ? ?2 以点B为原点,分别以BC、BB1、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 2), C ( 2, 0, 0), D(0, ? 2, 0), B1 (0, 2, 0), C1 ( 2, 2, 0), A1 (0, 2, 2)(5分) ? 2 ? 2 2 2? 2 2? ?ACD的重心G ? ? 3 ,? 3 , 3 ? ? ? a ? BG = ? ? 3 ,? 3 , 3 ? ? 为平面ACD的法向量.(7分) ? ? ? ? 2 2 6 3 又CA1 ? (? 2, 2, 2), 则 cos a, CA1 ? ? (9分) 6 6 2 2? 3 6 ? 所求角的正弦值为 .(10分) 6 ? (2)令 AP ? m AC1 ? B1 P ? B1 A ? AP ?

?

?

2m, 2m, ? 2m( 11分) 2m, 2m ? 2, 2 ? 2m ? ? a

?

?

? 2 ? ? 2m ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2m ? 2 ? ? ? ? 无解(14分) 3 ? ? 2 ? ? 2 ? 2m ? 3 ? ? ? 不存在满足条件的点P.
21、 (本题满分 15 分)已知点 F(1,0) ,直线 l:x ? ?1 ,动点 P 到点 F 的距离等于点 P 到直线 l 的 距离, 动直线 PO 与直线 l 交于动点 N , 过 N 且平行于 x 轴的直线与动直线 PF 交于动点 Q . (Ⅰ) 求证:动点 P、Q 在同一条曲线 C 上运动; (Ⅱ)曲线 C 在 X 轴上方的点 P 处的切线与直线 l 交于点 R , M 为线段 P Q 的中点. (ⅰ)求证:直线 RM // x 轴; (ⅱ)若直线 RM 平分 ?PRF ,求直线 P Q 的方程. y

F

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-1 0 1 x

21、(I)点P在曲线C:y 2 ? 4 x上(2分) 令P( Q( y12 4 4 , y1 ), OP : y ? x, N (?1, ? ) 4 y1 y1

4 4 , - )(5分) 2 y1 y1 4y 4 , PF : y ? 2 1 ( x ? 1) y1 y1 ? 4
1 2 , k PR ? (7分) y1 x

NQ : y ? ?

显然点Q在曲线C上。(6分)
2、 (1) y ? 2 x , y ' ?
(2) PR与x轴交于A(? 若RM 平分?PRF 则 | AB |?| BF | y12 ? 1 ? 2, y12 ? 12 4 y1 ? 0 ? y1 ? 2 3 ? PF : y ? 3( x ? 1)(15分)
2

y12 2 PR : y ? y1 ? ( x ? )(8分) y1 4 y 2 y 2 y 2 R : (-1, 1 - ), M ( ? 2, 1- ) 2 y1 8 y1 2 y1 显然RM || x轴( 10分)
22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ax ? (Ⅰ)任取两个不等的正数 x 1、x 2 ,
2 1

y12 , 0) 4

x ? lnx ( a 为常数, e 为自然对数的底数) . e

f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 恒成立,求: a 的取值范围; x1 ? x 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时,求证: f ( x ) ? 0 没有实数解.

1 1 (1)f ?( x) ? 2ax ? ? ( x ? 0)...............2分 e x 2aex 2 ? x ? e 由条件f ?( x) ? ? 0恒成立...4分 ex e?x ? 2ae ? 2 .............................................6分 x e? x 1 1 1 1 1 ? e( ? ) ? ? ? ? 2ae ? ? 2 x x 2e 4e 4e 4e 1 ? a ? ? 2 ................................................8分 8e

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1 ln x (2)令g ( x) ? ax ? ( x ? 0), h( x) ? ( x ? 0) e x 1 当a ? 0时g ( x) ? ........................................10分 e 1 ? ln x h?( x) ? ..............................................11分 x2 令h?( x) ? 0则x ? (0, e) ? h( x)在(0, e)上为增函数, (e, ??)上为减函数, 1 ? h( x) max ? h(e) ? .....................................13分 e 1 ln x ? x ? 0时g ( x) ? h( x)恒成立即ax ? ? e x x 即ax 2 ? ? ln x ? 0恒成立 e ? f ( x) ? 0无解......................14分
2 2 1、已知圆 O : x ? y ? 4 与 x 轴正半轴交于点 A ,在圆上另取两点 B , C ,使 ?BAC ?

?
4

,平

面上点 G 满足 GA ? GB ? GC ? 0 ,求点 G 的轨迹方程。 解法 1:由 GA ? GB ? GC ? 0 知点 G 即 ?ABC 的重心, 圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 与 x 轴正半轴交于点

A ,易知 A(2, 0) 因为 B、C 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,故设点 B ?2 cos? ,2 sin ? ? ,由 ?BAC ?

?
4

,则

?B0C ?

?
2

, 则点 C 的坐标为 ? 2cos(? ?

? ?

?

? ? 由重心坐标公式得轨迹的参数方程: ), 2sin(? ? ) ? , 2 2 ?

? 1? ? ?? ? ? x ? ? 2 ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 3? 2 ?? ? ? (?为参数) ? 1 ? ? ? ? ? ? y ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3? 2 ?? ? ? ? ?
1 ? x ? ? 2 ? 2 cos ? ? 2s in? ? ? ? 3 即? ? y ? 1 ? 2sin ? ? 2 cos ? ? ? 3 ?

2 2 2? 8 ?2 ? ? 化为普通方程是: ? x ? ? ? y 2 ? ,轨迹为以点 ? ,0 ? 为圆心, 为半径的圆。 3 3? 9 ?3 ? ?
解法 2:由 ?BAC ?

2

?
4

,则 ?B 0C ?

?
2

,设 BC 的中点为 P ,易求得 OP ? 2 ,故点 P 的轨

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迹方程为 x2 ? y 2 ? 2 ,连接 AP ,因为点 G 为 ?ABC 的重心,所以点 G 为 AP 的一个三等分 点,由坐标转移法同理求得点 G 的轨迹方程为: ? x ? 2.是否存在常数 c ,使得不等式

? ?

2? 8 2 ? ?y ? 3? 9

2

x y z x y z ? ? ?c? ? ? 2x ? y ? z x ? 2 y ? z x ? y ? 2z x ? 2 y ? z x ? y ? 2z 2x ? y ? z
对于任意正数 x, y, z 恒成立?试证明你的结论。 解:猜测常数 c ?

3 (可以猜测等号当且仅当 x ? y ? z 时成立) 4

?2 x ? y ? z ? a ? 左边不等式的证明方法很多,可以通分后用分析法证明;也可以换元,令 ? x ? 2 y ? z ? b ,则 ?x ? y ? 2z ? c ?

3a ? b ? c ? ?x ? 4 ? 3 b ? a?c ? ,转化之后的不等式非常容易证明; ?y ? 4 ? 3c ? a ? b ? ?z ? 4 ?
右边不等式的证明用换元很容易假证,用柯西不等式证明,证法如下: 右边=

x y z x2 y2 z2 ? ? ? 2 ? ? x ? 2 y ? z x ? y ? 2 z 2 x ? y ? z x ? 2 xy ? xz yx ? y 2 ? 2 yz 2xz ? yz ? z 2

? ? 2 x2 y2 z2 ? ? ( x ? 2 xy ? xz ) ? ( yx ? y 2 ? 2 yz ) ? (2 xz ? yz ? z 2 ) ? ? 2 2 2 ?? x ? 2 xy ? xz yx ? y ? 2 yz 2 xz ? yz ? z ? ?? ? ( x2 ? 2 xy ? xz) ? ( yx ? y 2 ? 2 yz) ? (2 xz ? yz ? z 2 ) ?
?

? x ? y ? z?

2

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3( xy ? yz ? xz )

, 于是要证明右边不等式成立, 只需证明

? x ? y ? z?

2

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3( xy ? yz ? xz )

?

3, 4

后继用分析法很容易证明。

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版, 外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科:

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语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小 五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 ,教学研究 ,在线教学 ,在线学 习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育, 中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育, 初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线 辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题, 专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考学 习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中 试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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