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肇庆市高三教学质量评估


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题

高三数学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县(市、区) 、 姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动,用橡皮擦

干净后, 再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:1、锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高。 3
)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x ? 3x ? 0} ,集合 N ? {x | x ? 2n ? 1, n ? Z} ,则 M ? N ? (
2

A. {3}

B. {0}

C. {0,3}

D. {?3}

2.设复数 z ? A. 1 ? 2i

3?i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 z ? 1? i
B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i ) D. f ( x) ? e ? e
x ?x

3.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ? 2 x ? sin x C. f ( x) ? x ?

1 x

? x ? y ? 2, ? 4.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是( ?0 ? x ? 1, ?
A. ?6 B. ?1 C. 4 D. 6 Ks5u 5.执行如图 1 所示的程序框图,输出的 z 值为( A. 3 B. 4 C. 5 )

).

D. 6

6.某几何体的三视图如图 2 所示(单位:cm), 则其体积和表面积分别是(



A. 6? cm 和 12(1 ? ? ) cm
3 3

2

B. 6? cm 和 12? cm
3 2 3

2

C. 12? cm 和 12(1 ? ? ) cm

D. 12? cm 和 12? cm

2

Ks5u

7.平面内有 4 个红点,6 个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线 中,至少过一红点的直线的条数是( A.28 B.29
n ?

) C.30 D.27

8.已知集合 An ? {1,3, 7,?, (2 ? 1)}(n ? N ) ,若从集合 An 中任取 k (k ? 1, 2,3,?, n) 个数,其所有可能的 k 个数的乘积的 和为 Tk (若只取一个数,规定乘积为此数本身) ,记 Sn ? T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn .例如当 n ? 1 时, A1 ? {1} , T1 ? 1, S1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, A2 ? {1,3}, T1 ? 1 ? 3, T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .则 S n ? ( ) . A. 2 ? 1
n

B. 2

2 n ?1

?1

C. 2

n ( n ?1) ?1

?1

D. 2

n ( n ?1) 2

?1

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 3 的定义域为

10.若等比数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40 ,则 a3 ? 11.在 ? x 4 ? ? 的展开式中常数项是____________.(用数字作答) x
? ? ? 1?
10

12.曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 1 的切线中,斜率最小的切线方程为___________. Ks5u
3 2

13. 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知点 A 是半圆 x ? y ? 4 x ? 0 (2 ? x ? 4) 上的一个动点, 点 C 在线段 OA 的延长线上. 当
2 2

??? ? ???? OA ? OC ? 20 时,则点 C 的纵坐标的取值范围是









14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ?

?
4

( ? ? 0) 与 ? ? 4cos ? 的交点的极坐标为
o

.

15.(几何证明选讲选做题)如图 3,在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , CE ? AB 于点 E ,以 AE 为直径的圆与 AC 交于点 D , 若 BE ? 2 AE ? 4 , CD ? 3 ,则 AC ? ______

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin ? x ? (1) 求 f ?? ? 的值;

? ?

??

? , ( A ? 0, x ? R) 的最大值为 2 . 6?

(2) 若 sin ? ? ?

3 ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 6? ?

17.(本小题满分 12 分) 一次考试中,5 名同学的语文、英语成绩如下表所示: 学生 语文( x 分) 英语( y 分)

S1
87 86

S2
90 89

S3
91 89

S4
92 92

S5
95 94

(1) 根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (2) 要从 4 名语文成绩在 90 分(含 90 分)以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 ? 表示选中的同学的英语成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

? ?a ? 中, b ? y ? bx (附:线性回归方程 ?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

? ? y ? bx ? , 其中 x , y 为样本平均值, b ?, a ? 的值的结果保留二位小 ,a

2

数.) 18. (本题满分 14 分)Ks5u 如 图 4 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD, PA ? 平 面 ABCD, PA ? AB ? BC ?

1 AD , 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 中 , 2

?ABC ? ?BAD ? 90? .
(1)求证: CD ? 平面 PAC ; (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.

19.(本小题满分 14 分)

已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,

an ? an ?1 ? n , n? N? an ?1
2n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? (3)证明: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 .
2 2 2 2

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 3 ,过椭圆 2 a b 2

C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. (1)求椭圆 C 的方程;
(2)若线段 AB 中点的横坐标为

1 ,求直线 l 的方程; 2

??? ? DP (3) 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D .设弦 AB 的中点为 P ,试求 ??? ? 的取值范围. AB
21. (本小题满分 14 分)

(2a ? 1) x (其中常数 a ? 0 ). 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ?
(1) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,且在 ? 0,e ? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题

高三数学(理科)参考答案
一、选择题: 1 2 题号 A C 答案 二、填空题: 3 B 4 D 5 D 10. 8 6 A 7 B 8 D 13. [?5,5]

9. (??, ?3] ? [1, ??)

11. 45 12. 3x ? y ? 2 ? 0

14. (0, 0), ?

?? ? ,2 2 ? ?4 ?

15.

8 3

1【解析】 M ? {0,3} , N ? {?, ?1,1,3,? } , M ? N ? {3} 2【解析】 z ?

3 ? i (3 ? i )(1 ? i ) 3 ? 2i ? i 2 4 ? 2i ? ? ? ? 2?i, 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 1 ? i2 2

z ? 2?i .

3【解析】 f ?( x) ? ? 2 x ? sin x ?? ? 2 ? cos x ? 0 , f (? x) ? ?2 x ? sin(? x) ? ? f ( x) 4【解析】画图可知,四个角点分别是 A(0, ?2), B(1, ?1), C (1,1), D(0, 2) ,可知 zmax ? z A ? 6 5【解析】 S1: s ? 1, a ? 1; S 2 : s ? 2; a ? 2; S 3: s ? 8, a ? 3 , S 4 : s ? 64, a ? 4

z ? log 2 26 ? 6 ,结束。
6【解析】几何体是个“半”圆锥,其体积为 V

1 1 ? ? ? ? ? 32 ? 4 ? 6? 2 3

表面积为 S ? S1 ? S2 ? S3 ?

1 1 1 ? ? ? 32 ? ? 32 ? 42 ? 3? ? ? 6 ? 4 ? 12(1 ? ? ) 2 2 2
1 1

7【解析】(1)红点连蓝点有 C 4 C 6 ? 1 =23 条;(2)红点连红点有 C 4 =6 条,所以共有 29 条.
2

7 }T1 ? 1 ? 3 ? 7 ? 11, T2 ? 1? 3 ? 1? 7 ? 3 ? 7 ? 31 , T3 ? 1? 3 ? 7 ? 21 , 所 以 8 【 解 析 】 当 n ? 3 时 , A3 ? { 1 , 3 , ,
S3 ? 1 1 ? 3 1 ? 21 ? 。由于 6 3 S1 ? 21 ? 1, S2 ? 23 ? 1, S3 ? 64 ? 26 ? 1 ,所以猜想 Sn ? 21?2?3???n ?1 ? 2
9【解析】由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 x ? ?3 或 x ? 1,故填 (??, ?3] ? [1, ??)
2
3 ? ? a1 ? 2 ?a1q ? a1q ? 20 ? ? a3 ? 8 10【解析】由 ? 2 ? 4 ? ?a1q ? a1q ? 40 ? q ? 2

n ( n ?1) 2

?1 .

11【解析】 ? x 4 ? ? 的通项为 Tr+1= C10 x x
?
2 2

? ?

1?

10

r

4 (10? r )

1 8 2 r 40?5 r ,令 40-5r=0,解得 r=8,代入得常数项为 C10 ? C10 =45. Ks5u ( ) r ? C10 x x

? ? 3 ,当 x ? ?1 时, y ? ?5 . 12【解析】 y? ? 3x ? 6 x ? 6 ? 3( x ? 1) ? 3 ? 3 .当 x ? ?1 时, ymin
∴切线方程为 y ? 5 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . 13【解析】如图,半圆 x ? y ? 4 x ? 0 (2 ? x ? 4) 即 ( x ? 2) ? y ? 4 (2 ? x ? 4) ,
2 2 2 2

设点 C (a, b) ,由于 OA 与 OC 的方向相同,故 OC =λ OA ,且 λ>0, 当点 A 在点 M(2,2)时, OA ? OC =2a+2b=20,且 a=b,解得 b=5. 当点 A 在点 N(2,﹣2)时, OA ? OC =2a+(﹣2b)=20,且 a=﹣b,解得 b=﹣5. 综上可得,则点 C 的纵坐标的取值范围是 [?5,5] .

??? ?

????

????

??? ?

??? ? ????

??? ? ????

14【解析】将 ? ?

?
4

代入 ? ? 4cos ? 得 ? ? 2 2 ,又 (0, 0) 在两曲线上,所以交点的极坐标

为 (0, 0), ?

?? ? ,2 2 ? ?4 ?
2 2

15【解析】在 ?ABC 中,有 CE ? BE ? AE ,由切割线定理有 CE ? CD ? AC ,所以 BE ? AE ? CD ? AC ,可得 AC ?

8 3

三、解答题: 16【解析】∵函数 f ( x) ? A sin ? x ?

? ?

??

? 的最大值为 2 ,∴ A ? 2 6?
(2 分) (4 分)
2

?? ? f ( x)? 2 s ? i nx ? ? 6? ? ?? ? 1 ? (1) f (? ) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ?2 ? ? ?1 6? 6 2 ?

4 3 ? 3? ? ? ? 2 (2)∵ sin ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ? 5? ? 2 ? 24 ? 3? 4 (7 分) s i n? 2 ? 2 s?i n ? c? o s? ? ? 2 ? ? ? ? 25 ? 5? 5

(6 分)

cos 2? ? 2 cos
∴ f ? 2? ?

2

? ?

??
? 6?

7 ?4? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? (8 分) 25 ?5? ?? ? ? ? ? 2sin ? 2? ? ? ? 2sin 2? cos ? 2 cos 2? sin (10 分) 3? 3 3 ? 7 3 7?3 2 4 ? 2 4? 1 ? 2?? ? ?? ? 2? ? ? (12 分) 25 2 25 ? 25 ? 2

2

17【解析】(1) x ?

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91, 5

(1 分)

y?
5

8 6? 8 9 ? 8? 9 5
2

9? 2

94 ? 9 0 , (2 分)

? ( xi ? x ) ? (?4)2 ? (?1)2 ? 02 ? 1 ? 42 ? 34,
i ?1

? ( x ? x )( y ? y ) ? (?4) ? (?4) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 1? 2 ? 4 ? 4 ? 35,
i ?1 i i

5

? ? 35 ? 1.03, b 34

? ? y ?? b x ? a 9 0 ?1 . 0 3? 9 1 ? 3.73
(6 分)

y ? 1.03x ? 3.73 故回归直线方程为 ?
(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

2 C2 1 ? ; 2 C4 6

(7 分)

P (? ? 1) ?

1 1 C2 C2 2 ? ; (8 分) 2 C4 3

2 C2 1 ? . (9 分) Ks5u 2 C4 6

故 X 的分布列为

?
P

0

1

2

1 6

2 3

1 6
(12 分)

1 2 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1. 6 3 6

18(1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ CD ? PA . (1 分) 又∵ AB ? BC , ?ABC ? 90 ,∴ AC ?
o

2 AB

(2 分)
o

过 C 作 CE // AB ,交 AD 于 E,则 CE ? AB ? BC ? DE , ?CED ? 90 (3 分) ∴ CD ?

2 AB , (4 分)
2 2 2 2

在 ?ACD 中, AC ? CD ? 4 AB ? AD ,∴ CD ? AC . (5 分) 又∵ PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . (6 分)

(2) (方法一)∵ CE ? AD, CE ? PA ,∴ CE ? 平面 PAD . (7 分) 过 E 作 EF ? PD 于 F ,连结 CF ,可知 CF ? PD . ∴ ?GHC 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 设 AD ? 2 ,则 PA ? AB ? CE ? DE ? 1 , DP ? 5 . (8 分) (9 分)

? ?PAD ∽ ?DEF ,?

1 EF DE ,? EF ? . ? PA DP 5
1 30 ? , 5 6

(11 分)

∴ CF ? CE ? EF ? 1 ?
2 2

(12 分)

∴ cos ?CFE ?

EF 6 6 ? .即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 . (14 分) CF 6 6

(方法二)如图建立空间直角坐标系,设 AD ? 2 ,则 AB ? PA ? 1 ∴ A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,0,1), D(0, 2,0), C(1,1,0) , (7 分) (8 分)

??? ? ??? ? CP ? (?1, ?1,1), CD ? (?1,1, 0) ,

设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ? n ? CP ?0 ?? x ? y ? z ? 0 ?x ? y ? 则 ? ??? ,即 ? 化简得 ? ? ?? x ? y ? 0 ?z ? x ? y ? ?n ? CD ? 0
令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? 2, ,所以 n ? (1,1, 2) 是平面 PCD 的一个法向量. 又平面 ACD 的一个法向量为 m ? (1,0,0) 设向量 n 和 m 所成角为 ? ,则 cos ? ? (10 分) (11 分) (13 分)

n?m 1 6 ? ? n m 6 6

∴即二面角 A ? PD ? C 的余弦值为

6 . 6

(14 分)

19【解析】 (1)由

a an ? an ?1 n ,(2 分) ? n 得 (n ? 1)an?1 ? nan ,即 n ?1 ? an n ?1 an ?1

a a a2 a3 a4 1 2 3 n ? 2 n ?1 ? ? ?? ? n ?1 ? n ? ? ? ? ?? ? (4 分) a1 a2 a3 an ?2 an ?1 2 3 4 n ?1 n 1 1 即 an ? a1 ,∵ a1 ? 1 , 所以 a n ? (5 分) n n
∴ (2)∵ bn ?

2n ? n ? 2n an
2 3 n

(6分) ①
n? 1

∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 2Tn ? 1 ? 2 ? ? 2 2 3

2 ? ?3 4 ? 2 ? ? n ? ( ? n1? ) n2 ?
n n ?1

2 ②

(7分) (8分) (10分) (11分)

①-②得 ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
3

∴ Tn ? (n ? 1) ? 2 (3)证明:∵

n ?1

?2

1 1 1 1 ? ? ? ,k=2,3,4?,n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k
2 2

∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?
2 2

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 2 1 2 3 n
(12分)

1 1 1 1 ? ? ? ??? . 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 1 2 2 3 n ?1 n

(13 分)

? 2?

1 ?2 n

(14分)

20【解析】(1)依题意,有 e ?

c 1 1 ? , ? b ? 2c ? 3 a 2 2

(1 分)

即 a ? 2c , b ?
2 2

3 2 2 2 ,又 a ? b ? c c
(3 分) (4 分)

解得 a ? 4, b ? 3, c ? 1 则椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)由(1)知 c ? 1 ,所以设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 将其代入

x2 y2 ? ? 1 中得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 4 3

(5 分)

? ? 144(k 2 ? 1) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
则 x1,2 ?

8k 2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 12 ,∴ , x ? x ? x ? x ? 1 2 1 2 2(3 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(6 分)

因为 AB 中点的横坐标为

4k 2 1 3 1 ? ,解得 k ? ? ,所以 2 2 3 ? 4k 2 2
3 ( x ? 1) 2
Ks5u

(7 分)

所以,直线 l 的方程 y ? ?

(8 分)

(3)由(2)知 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 AB 的中点为 P(

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

所以 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]

??? ?

? (k 2 ? 1)[

64k 4 4(4k 2 ? 12) 12(k 2 ? 1) ? ] ? (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 4k 2 ? 3

(10 分)

直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 k2 ? ? ( x ? ) x ? , 由 , 得 , y ? 0 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
(12 分)

??? ? 3 k 2 (k 2 ? 1) k2 DP ? ,0) , 所以 则 D( 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

??? ? 3 k 2 ( k 2 ? 1) DP 2 1 1 1 k2 4 k ? 3 ? 1? 2 ? 所以 ??? ? ? 2 2 12( k ? 1) k ?1 4 k ?1 4 AB 2 4k ? 3
又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2

1 1 1 1 1? 2 ? . ? 1 . 所以 0 ? 4 k ?1 4 k ?1
2

??? ? DP ? 1? 所以 ??? ? 的取值范围是 ? 0, ? ? 4? AB

(14 分)

21【解析】解: (1)当 a ? 1 时,因为 f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3x, 所以 x ? 0

(1 分)

f ?( x) ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 2x ? 3 ? x x
1 , x2 ? 1 2
(2 分)

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 当0 ? x ?

1 ? 1? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增; 2 ? 2?



1 ?1 ? ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ? ,1? 上单调递减; 2 ?2 ?

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增; 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, ? , ,单调递减区间为 ? ,1? ( 1, +?) (2)因为 f ?( x) ?

? ?

1? 2?

?1 ? ?2 ?

(5 分)

2ax 2 ? ( 2a ? 1) x ? 1 (2 ax ?1)( x ?1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 , x1 ? 1, x2 ?

1 2a 1 ? x1 ? 1 2a

(6 分)

因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以 x2 ?



1 ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,e] 上单调递减, 2a
(8 分)

所以 f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 上的最大值为 f (1) ,令 f (1) ? 1 ,解得 a ? ?2 当 a ? 0 , x2 ?

1 ?0 2a



1 1 1 ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增, ( ,1) 上单调递减, (1,e) 上单调递增 2a 2a 2a
1 或 x ? e 处取得 2a

所以最大值 1 可能在 x ?

而 f(

1 1 1 1 1 1 ) ? ln ? a( )2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 2a 2a 2a 2a 2a 4a
2

所以 f (e) ? ln e+ae ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ?

1 e?2

(10 分)

当1 ?

1 1 1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, (1, ) 上单调递减, ( ,e) 上单调递增 2a 2a 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 或 x ? e 处取得 而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 所以 f (e) ? ln e+ae ? (2a ? 1)e ? 1 ,
2

解得 a ?

1 1 ? e 矛盾 ,与 1 ? x2 ? e?2 2a

当 x2 ?

1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1,e) 单调递减, 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 处取得,而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 ,矛盾. (13 分) 综上所述, a ?

1 或 a ? ?2 . e?2


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