当前位置:首页 >> 数学 >> 指数函数与对数函数知识总结及练习

指数函数与对数函数知识总结及练习


指数函数与对数函数
知识点: 1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数 名称 指数函数 对数函数 一般形 Y=ax (a>0 且 a≠1) y=logax (a>0 , a≠1) 式 定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点 (0,1) (1,0) x 指数函数 y=a 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)图象关于 y=x 对 称 图象

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 数 单调性 0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函 0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为 数 减函数 奇偶性 非奇非偶函数 2. 比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果 底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较 大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象:

3. 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函 数的单调性是解决问题的重要途径。 复合函数的单调性法则是:同增异减 步骤: (1)球定义域并分解复合函数 (2)在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 (3)很据复合函数的单调性法则得出结论
【典型例题】 例 1. (1)下图是指数函数(1)y=ax, (2)y=bx, (3)y=cx, (4)y=dx 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系 是( )
(1) y (2) (3) (4)

1 O x

A. a<b<1<c<d C. 1<a<b<c<d

B. b<a<1<d<c D. a<b<1<d<c

剖析:可先分两类,即(3) (4)的底数一定大于 1, (2)的底数小于 1,然后再从(3) (1) (4)中比较 c、d 的 大小,从(1) (2)中比较 a、b 的大小。 解法一:当指数函数底数大于 1 时,图象上升,且底数越大,图象向上越靠近于 y 轴;当底数大于 0 小于 1 时, 图象下降,底数越小,图象向右越靠近于 x 轴.得 b<a<1<d<c。故选 B。 解法二:令 x=1,由图知 c1>d1>a1>b1,∴b<a<1<d<c。 例 2. 已知 2
x2 ? x
2

1 - - ≤( 4 )x 2,求函数 y=2x-2 x 的值域。
- ( - )

解:∵2 x ? x ≤2 2 x 2 ,∴x2+x≤4-2x, 即 x2+3x-4≤0,得-4≤x≤1。 - 又∵y=2x-2 x 是[-4,1]上的增函数, -4 - ∴2 -24≤y≤2-2 1。

255 3 故所求函数 y 的值域是[- 16 , 2 ] 。
例 3. 要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1)上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围。 解:由题意,得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1)上恒成立,

1? 2x x 即 a>- 4 在 x∈(-∞,1)上恒成立。

1? 2x 1 1 x 2x 又∵- 4 =-( 2 ) -( 2 )x 1 1 1 x 2 =-[ 2 ) + 2 ] + 4 , (

3 当 x∈(-∞,1)时值域为(-∞,- 4 ) , 3 ∴a>- 4 。
评述:将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。
1

例 4. 已知 f(x)=log 3 [3-(x-1)2] ,求 f(x)的值域及单调区间。 2 解:∵真数 3-(x-1) ≤3,
1 1

∴log 3 [3-(x-1)2]≥log 3 3=-1, 即 f(x)的值域是[-1,+∞] 。 又 3-(x-1)2>0,得 1- 3 <x<1+ 3 , ∴x∈(1- 3 ,1)时,3-(x-1)2 单调递增,从而 f(x)单调递减; x∈[1,1+ 3 ]时,f(x)单调递增。

练习:
1

1、 (1) y ? lg x ? lg(5 ? 3x) 的定义域为_______; (2) y ? 2 x ?3 的值域为_________; (3) y ? lg(? x 2 ? x) 的递增区间为 __________ _ ,值域为 __________ _ 1 2、 (1) log2 1 x ? ? 0 ,则 x ? ________ 4 2

3、要使函数 y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。

指数函数与对数函数同步训练
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

1.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则

x 的值为( y

)A.1

B.4

C.1 或 4 C.(-∞,- 3?

D. 或 4 D.[-3,+∞)

2.函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域是(
2

)A.R

B.[8,+ ? ?

1 4

3.若 a>1,b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a-1)+lg(b-1)的值等于( ) A.0 B.lg2 C.1 D.-1 4.设 x∈R,若 a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,则( ) A.a≥1 B.a>1 C.0<a≤1 D.a<1 2 5.设有两个命题①关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对于一切 x∈R 恒成立, ②函数 f(x)=-(5-2a)x 是减 函数,若此二命题有且只有一个为真命题,则实数 a 的范围是( ) A.(-2,2) B.(-∞,2) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] 6.设函数 f(x)=f( )lgx+1,则 f(10)值为(
1 x

)A.1

B.-1

C.10

D.

1 10

7.已知函数 y=f(x)的反函数为 f-1(x)=2x+1,则 f(1)等于( )A.0 B.1 C.-1 8.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)=log2a(x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围是( A.(0, )
1 2

D.4 )

B.(0, ? 2?

1?

C.( ,+∞)

1 2

D.(0,+∞)

9.已知函数 y=f(2x)定义域为[1,2],则 y=f(log2x)的定义域为( ) A.[1,2] B.[4,16] C.[0,1] D.(-∞,0] 10.已知 f(x)=x2-bx+c,且 f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),则有( ) A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx) C.f(bx)<f(cx) D.f(bx)、f(cx)大小不确定 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.方程 log2(2-2x)+x+99=0 的两个解的和是______. 12.当 x∈(1,2),不等式(x-1)2<logax,则 a 的取值范围是_____________. 13.若不等式 3 x 14.f(x)= ?
1 3 ? 2 x ? (??,1?
2

? 2 ax

>( )x+1 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为______.

?3 x ?1 ? ,则 f(x)值域为______. ?31? x ? 2 x ? ?1,?? ? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(8 分)已知函数 f(x)=log 1 2x-log 1 x+5,x∈[2,4] ,求 f(x)的最大值及最小值.
4 4

16.(10 分)已知 f(x)=lg

1? x .(1)求函数定义域.(2)求 f-1(lg2). 1? x

17.(12 分)已知函数 f(x)=

a (ax-a-x)(a>0 且 a≠1)是 R 上的增函数,求 a 的取值范围. a2 ? 2

18.(12 分)设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b),证明:ab<1.

19.(12 分)某种细菌每隔两小时分裂一次, (每一个细菌分裂成两个,分裂所须时间忽略不计) , 研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数 y 是研究时间 t 的函数,记作 y=f(t). (1)写出函数 y=f(t)的定义域和值域. (2)在所给坐标系中画出 y=f(t)(0≤t<6)的图象. (3)写出研究进行到 n 小时(n≥0,n∈Z)时,细菌的总数有多少个(用关于 n 的式子表示)? 指数函数与对数函数同步训练 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

1.考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价 ?

?( x ? 2 y) 2 ? xy ?x ? 2y ? 0

? x=4y



x =4 【答案】 B y

2.考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y=log 1 [(x-3)2+8]≤log 1 8=-3 【答案】 C
2 2

3.考查对数运算.【解析】 由 lg(a+b)=lga+lgb ? a+b=ab 即(a-1)(b-1)=1, ∴lg(a-1)+lg(b-1)=0 【答案】 A 4.考查对数函数性质及绝对值不等式. 【解析】 令 t=|x-3|+|x+7|,∴x∈R,∴tmin=10 y=lgt≥lg10=1,故 a<1 【答案】 D 2 5.考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=(2a) -16<0 ? -2<a<2 ②等价于 5-2a>1 ? a<2 ① ②有且只有一个为真,∴a∈(-∞,-2] 【答案】 D 6.考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f(x)=f( )lgx+1,∴f( )=f(x)lg +1 ∴f(10)=f(
1 1 1 )lg10+1,且 f( )=f(10)lg +1 10 10 10 1 x 1 x 1 x

解得 f(10)=1.

【答案】 A 【答案】 C
1 【答案】 A 2

7.考查反函数意义.【解析】 令 f(1)=x,则 f-1(x)=1,令 2x+1=1,∴x=-1 8.考查对数函数的单调性. 【解析】 f(x)=log2a(x+1)>0=log2a1 ∵x∈(-1,0),∴x+1<1,

∴0<2a<1,即 0<a<

9.考查函数定义域的理解. 【答案】 B 【解析】 由 1≤x≤2 ? 2≤2x≤4, ∴y=f(x)定义域为[2,4] 由 2≤log2x≤4,得 4≤x≤16 10.考查二次函数及函数单调性. 【解析】 由 f(0)=3 ? c=3, 由 f(1+x)=f(1-x)知对称轴为 x=1,∴b=2 ①x=0,2x=3x,∴f(2x)=f(3x)②x>0,1<2x<3x,∴f(2x)<f(3x)③x<0,1>2x>3x,∴f(2x)<f(3x) 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.【答案】 -99 考查对数运算.【解析】 由原式变形得 2-2x=
1 2 ? 299
x

设 2x=y,变形得:299y2-2100y+1=0 ? y1y2=2-99=2 x1 ? x2 ∴x1+x2=-99 12.【答案】 (1,2] 考查对数函数图象及数形结合思想.【解析】 考查两函数 y=(x-1)2 及 y=logax 图象可知 a∈(1,2] 13.【答案】 - <a<
1 2 3 2

考查指数函数单调性及化归能力.【解析】 由题意:x2-2ax>-x-1 恒成立 即 x2-(2a-1)x+1>0 恒成立 故Δ=(2a-1)2-4<0 ? - <a<
1 2 3 2

14.【答案】 (-2,-1] 考查分段函数值域.【解析】 x∈(-∞,1]时,x-1≤0,0<3x-1≤1, ∴-2<f(x)≤-1 x∈(1,+∞)时,1-x<0,0<31-x<1,∴-2<f(x)<-1 ∴f(x)值域为(-2,-1] 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 8 分)已知函数 f(x)=log 1 2x-log 1 x+5,x∈[2,4] ,求 f(x)的最大值及最小值.
4 4

考查函数最值及对数函数性质.【解】 令 t=log 1 x,∵x∈[2,4],t=log 1 x 在定义域递减有
4 4

log 1 4<log 1 x<log 1 2,∴t∈[-1,- ]
4 4 4

1 2

∴f(t)=t2-t+5=(t- )2+

1 2

1 19 ,t∈[-1,- ] 2 4

∴当 t=- 时,f(x)取最小值

1 2

23 4

当 t=-1 时,f(x)取最大值 7.
1? x .(1)求函数定义域.(2)求 f-1(lg2). 1? x

16.(本小题满分 10 分)已知 f(x)=lg

考查函数性质,互为反函数的函数间关系.

1? x >0,得-1<x<1 ∴函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1} 1? x 1? x 1? x 1 1 (2)由 lg =lg2 ? =2 ? x=- ∴f-1(lg2)=- 1? x 1? x 3 3 a x -x 17.(12 分)已知函数 f(x)= 2 (a -a )(a>0 且 a≠1)是 R 上的增函数,求 a 的取值范围. a ?2

【解】 (1)由

考查指数函数性质.【解】 f(x)的定义域为 R,设 x1、x2∈R,且 x1<x2
a a 1 (a x 2 -a ? x2 -a x1 +a ? x1 )= 2 (a x 2 -a x1 )(1+ x1 x2 ) a ?2 a ?2 a ?a 1 由于 a>0,且 a≠1,∴1+ x1 x2 >0 ∵f(x)为增函数,则(a2-2)( a x 2 -a x1 )>0 a a

则 f(x2)-f(x1)=

2

于是有 ?

? 2 ? 2 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 , 或? x ?a x2 ? a x1 ? 0 ?a 2 ? a x1 ? 0 ? ?

解得 a> 2 或 0<a<1

18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b),证明:ab<1. 考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设,显然 a、b 不能同在(1,+∞) 否则,f(x)=lgx,且 a<b 时,f(a)<f(b)与已知矛盾 由 0<a<b 可知,必有 0<a<1 ①当 0<b<1 时,∵0<a<1,0<b<1,∴0<ab<1 ②当 b>1 时,∵0<a<1 ∴f(a)=|lga|=-lga,f(b)=|lgb|=lgb 由 f(a)>f(b),得-lga>lgb,即
1 >b,∴ab<1 a

由①②可知 ab<1

19.考查函数应用及分析解决问题能力. 【解】 (1)y=f(t)定义域为 t∈[0,+∞),值域为{y|y=2n,n∈N*}
?2 ? (2)0≤t<6 时,为一分段函数 y= ?4 ?8 ?
(3)n 为偶数时,y=2
n ?1 2

(0 ? x ? 2) (2 ? x ? 4) 图象如图 (4 ? x ? 6)
n ?1 ?1 2

n 为奇数时,y=2

? n ?1 ?2 2 ∴y= ? n ?1 ? 2 ?1 ?2

n为偶数 n为奇数


更多相关文档:

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次 * 方根,其中 n >1,且 n ∈ ...

指数函数与对数函数知识总结及练习

指数函数与对数函数知识点: 1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数 名称 指数函数 对数函数 一般形 Y=ax (a>0 且 a≠1) ...

指数函数及对数函数知识点及习题

指数函数对数函数知识点及习题_数学_高中教育_教育专区。一:指数求定义域 1.函数 y= 3 2x-1 1 - 的定义域是___. 27 x 2.函数 f ( x) ? 1 ? ...

高中指数函数与对数函数知识点总结及对应的练习题_

高中指数函数与对数函数知识点总结及对应的练习题__数学_高中教育_教育专区。基本初等函数知识点 1.指数 (1)n 次方根的定义: 若 x ? a ,则称 x 为 a 的...

指数函数和对数函数的重点知识

指数函数和对数函数的重点知识重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象...(通过三个函数图象的相互关系的比较):(1)所有对数函数的图象都过点(1,0),...

...(指数运算与对数运算及指数函数与对数函数知识点)

高三一轮复习(指数运算与对数运算及指数函数与对数函数知识点)_数学_高中教育_...a (m n ) = ___ 练习 4 求下列各式的值 1 用 loga x ,loga y ,log...

指数函数与对数函数知识点总结2学生

指数函数与对数函数知识点总结2学生_学习总结_总结/汇报_实用文档。指数函数知识...1) 在 R 上单调递 减 函数图象都过定点 (0,1) 专项练习: 1、函数 y ?...

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数和对数函数复习(有详细知识点习题详解) 既有总结又有题目既有总结又有题目隐藏>> 指数函数与对数函数总结练习一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数...

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。指数函数与对数函数知识点...4、相关习题:白皮书 35 页例 2,巩固提高 1-4;36 页例 1 例 2,;37 页...

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数和对数函数复习(有详细知识点习题详解)_理学_高等教育_教育专区。例 1.求下列各式的值: 3 (1) 3 ? 8 ? ? (2) ?? 10 ?2 (3) 4 ?3 ?...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com